怎样学好动态规划？

学习动态规划（Dynamic Programming, DP）是一个非常有价值的过程，它能让你解决许多复杂的优化问题。但同时，DP也常常被认为是编程入门中的一道“坎”。别担心，只要掌握了正确的方法和思维方式，你也能游刃有余地运用它。

下面是一份详细的学习动态规划的指南，希望能帮助你：

第一步：理解动态规划的核心思想

动态规划的核心思想在于：将一个复杂的问题分解成若干个子问题，通过解决子问题并存储它们的结果，来避免重复计算，最终找到整个问题的最优解。

你可以把它想象成一个聪明的储钱罐，每次你存钱（解决一个子问题），它都会记下你存了多少（存储结果）。下次你需要这笔钱的时候，直接从罐子里拿，不用再辛苦地一点点攒。

要理解DP，你需要抓住以下几个关键点：

最优子结构 (Optimal Substructure): 如果一个问题的最优解包含了其子问题的最优解，那么这个问题就具有最优子结构。
例子：爬楼梯问题。爬到第n阶楼梯的最优解（最少步数），一定是从第n1阶爬一步，或者从第n2阶爬两步。而从第n1阶爬一步的最优解，就是爬到第n1阶的最少步数。
重叠子问题 (Overlapping Subproblems): 在解决问题的过程中，会多次遇到相同的子问题。
例子：斐波那契数列。计算 `fib(5)` 需要 `fib(4)` 和 `fib(3)`，而计算 `fib(4)` 又需要 `fib(3)` 和 `fib(2)`。你会发现 `fib(3)` 被计算了两次。DP就是为了避免这种重复计算。

第二步：掌握解决动态规划问题的通用框架

学习DP最有效的方法是理解并熟练运用一个通用的解决框架。这个框架可以帮助你系统地思考和构建DP解决方案。

通用框架（四步法）：

1. 定义状态 (Define the State):
这是DP中最关键的一步。你需要明确“状态”代表什么。一个状态通常是一个或多个变量的组合，用来描述一个子问题的当前情况。
考虑：你想要知道什么？什么信息是解决当前子问题必需的？
思考的切入点：
问题的规模（例如，到第i个物品，到第j个位置，前k个数）
问题的特征（例如，当前剩余的容量，当前的钱数，当前的状态是拿还是不拿）
最终想要得到的结果（例如，总价值，总步数，最小代价）
状态的表示：通常用一个数组或一个多维数组来表示。例如，`dp[i]` 表示解决与“i”相关的子问题的结果，`dp[i][j]` 表示解决与“i”和“j”相关的子问题的结果。

2. 写出状态转移方程 (Write the Recurrence Relation):
一旦定义了状态，就需要找到状态之间的关系，也就是如何从已知的子问题结果推导出当前子问题的结果。这就是状态转移方程。
思考的切入点：
对于当前状态 `dp[i]` 或 `dp[i][j]`，它可以由哪些更小的子问题的结果推导而来？
有哪些选择或决策可以到达当前状态？
每种选择会带来什么代价或收益？
关键：仔细分析问题的所有可能性，确保你的转移方程覆盖了所有情况，并且是正确的。

3. 确定初始条件 (Determine the Base Cases):
DP问题需要有明确的起始点，也就是最简单的子问题，它们的解是直接已知的，不需要通过转移方程计算。
思考的切入点：
当问题的规模为0或1时，结果是什么？
最简单的情况是什么？
重要性：初始条件是DP计算的起点，如果初始条件设置错误，整个DP结果都会出错。

4. 选择计算顺序和存储方式 (Choose the Order of Computation and Storage):
你需要决定如何计算DP数组中的值。通常有两种方式：
自顶向下（带备忘录的递归）: 使用递归函数来计算，但当某个子问题被计算过一次后，就将其结果存储起来，下次遇到时直接返回存储的结果。这是一种直观的方式，因为与递归的定义很接近。
自底向上（迭代）: 从最小的子问题开始，按照一定的顺序迭代计算，直到计算出最终问题的解。这种方式通常比递归效率更高（避免了函数调用的开销），也更容易理解状态之间的依赖关系。
存储方式：
一维数组: 如果状态只依赖于前一个或前几个状态，可以使用一维数组。
多维数组: 如果状态依赖于多个变量，就需要使用多维数组。
空间优化: 有时候可以进一步优化空间，比如当 `dp[i]` 只依赖于 `dp[i1]` 和 `dp[i2]` 时，只需要两个变量来存储即可，而不是整个数组。

第三步：选择合适的DP类型并练习

动态规划有很多经典类型，理解这些类型并针对性地练习是提升技能的关键。

常见的DP类型及代表性问题：

1. 计数型 DP: 计算满足某种条件的方案数量。
代表性问题：
爬楼梯 (Climbing Stairs): 多少种方法可以爬到第n阶楼梯？
不同路径 (Unique Paths): 在一个mn的网格中，从左上角到右下角有多少种不同的路径？
硬币找零 (Coin Change Count): 用给定的硬币找零，有多少种不同的组合方式？
思考要点：状态通常表示“到当前位置/数量的方案数”，转移方程是把所有可能导致当前状态的子问题的方案数相加。

2. 最值型 DP (最大/最小值): 寻找满足条件的方案中的最大值或最小值。
代表性问题：
背包问题 (Knapsack Problem): 0/1背包、完全背包、多重背包。如何选择物品放入背包，使得总价值最大，同时不超过背包容量？
最长递增子序列 (Longest Increasing Subsequence, LIS): 在一个序列中找到最长的一个递增子序列。
最长公共子序列 (Longest Common Subsequence, LCS): 找到两个序列中最长的公共子序列。
编辑距离 (Edit Distance): 将一个字符串转换为另一个字符串，最少需要多少次插入、删除或替换操作？
思考要点：状态通常表示“在某种约束下的最大/最小值”，转移方程是比较不同选择带来的结果，然后取最大/最小值。

3. 区间 DP: 通常用于解决在一段区间上进行操作，并从中找到最优解的问题。
代表性问题：
矩阵链乘法 (Matrix Chain Multiplication): 确定矩阵乘法的最佳顺序，以最小化计算量。
回文子串 (Palindrome Partitioning): 将一个字符串分割成若干个回文子串，使得分割次数最少。
思考要点：状态通常定义为 `dp[i][j]`，表示处理从索引 `i` 到 `j` 的区间的最优解。转移方程会遍历区间内的所有分割点 `k`，将问题分解为 `dp[i][k]` 和 `dp[k+1][j]`。

4. 树形 DP: 在树形结构上进行的动态规划。
代表性问题：
二叉树的最大独立集: 在二叉树中找到节点集合，使得任意两个节点都不相邻，且集合的总权值最大。
树的直径: 树上最长的简单路径的长度。
思考要点：通常在DFS遍历时，利用子节点的信息计算父节点的状态。状态可能包含“以当前节点为根的子树的某种最优解”，或者“以当前节点为根，且当前节点是否被选中的最优解”。

5. 状态压缩 DP: 当状态的数量很大，但状态之间可以巧妙地用二进制数表示时使用。
代表性问题：
旅行商问题 (Traveling Salesperson Problem, TSP) 的 DP 解法: 寻找访问所有城市并返回起点的最短路径。
状态压缩的棋盘问题: 例如，在棋盘上放置多少个互不攻击的皇后。
思考要点：状态通常是一个整数，其二进制位代表了某些信息（例如，哪些城市已被访问，哪些格子已经被占用）。

第四步：实践是检验真理的唯一标准

理论学习固然重要，但真正掌握DP的关键在于大量的实践。

1. 从简单问题开始: 不要一开始就挑战难题。从经典的、容易理解的DP问题入手，比如爬楼梯、斐波那契数列、0/1背包的简单版本等。
2. 动手写代码: 不要只看不练。每次学习一个新问题，都要自己动手写出状态定义、转移方程、初始条件和代码。调试和运行代码是理解DP的必经之路。
3. 分析和理解别人的代码: 在自己尝试解决问题后，可以去看看其他人的解决方案。理解别人是如何思考的，学习他们的优秀思路和代码实现技巧。
4. 多刷题: 平台如 LeetCode、牛客网等提供了大量的DP练习题。按照题目难度和类型进行系统刷题，是巩固和提升DP能力最有效的方法。
推荐刷题顺序（示例）：
Easy: 爬楼梯, 斐波那契数列, 最大子数组和 (Kadane's algorithm 也可以看作一种DP)
Medium: 0/1背包, 完全背包, 最长递增子序列, 最长公共子序列, 硬币找零, 不同路径, 编辑距离, 零钱兑换
Hard: 旅行商问题 (TSP) 的 DP, 状态压缩DP问题, 回文分割, 分数乘法
5. 反复回顾和总结: 遇到一个新类型的DP问题后，尝试将其归类到已知的类型中。理解该类型DP问题的通用解法，并总结出解决这类问题的关键技巧。
6. 学会画图: 对于一些复杂的DP问题，画出状态转移图或者DP表格非常有帮助，可以帮助你更直观地理解状态之间的依赖关系。

第五步：学习 DP 的常见技巧和陷阱

区分 DP 和贪心/分治: DP的关键在于“最优子结构”和“重叠子问题”。贪心算法是每一步都做出局部最优选择，而分治算法是将问题分解后独立解决再合并（子问题之间没有重叠）。
边界条件的处理: DP问题中边界条件的设置至关重要，务必仔细检查。
状态的定义是否合理: 如果一个状态定义无法覆盖所有子问题，或者包含冗余信息，都会导致问题无法解决或效率低下。
状态转移方程的正确性: 仔细检查方程是否覆盖了所有可能的情况，是否正确地组合了子问题的结果。
空间优化: 在理解基础解法后，思考是否可以通过优化空间复杂度来提高效率。例如，当 `dp[i]` 只依赖于 `dp[i1]` 时，可以用两个变量代替整个数组。

总结一下学习动态规划的流程：

1. 理解核心思想：最优子结构 + 重叠子问题。
2. 掌握通用框架：定义状态 > 写出转移方程 > 确定初始条件 > 选择计算顺序。
3. 熟悉经典类型：计数型、最值型、区间DP、树形DP、状态压缩DP。
4. 大量练习：从易到难，多动手写代码，多分析。
5. 注意技巧和陷阱：边界条件、状态定义、转移方程、空间优化。

学习动态规划是一个循序渐进的过程，需要耐心和坚持。不要因为一开始遇到困难就放弃。每次攻克一个DP问题，都会让你对DP的理解更上一层楼。祝你学习愉快！

网友意见

动态规划（DP）确实是一个难点。因为相对其他方面来说，DP也练得最少。加上坊间都在传，DP很难，就吓退了很多人吧。

虽然DP确实五花八门，想找一套普遍适用的方法是没有的。

但DP也就是解决编程问题的一种，见得多了，也就知道需要用DP来解了。无他，唯手熟尔。

举例来说，大部分学过一点DP的人，都知道要用DP来解斐波那契数列。原因大家也都知道，就是通过空间换时间，通过开销额外的空间，去降维时间复杂度。

其他的DP题也都是一样的思路，所以，先通过简单的例子入手，理解几个题目之后。就会发现DP也是有规律可循的了。

我在下面就列举三个对我有启发的资料吧！

希望对你也有帮助，如果有帮助，麻烦点赞，毕竟这也是我进一步写作的动力。

第一个资料，来自LeetCode去年圣诞节大奖的第一名，为了方便大家阅读，我把内容拷贝过来，放在分割线之间了，大家可以去看原文，还能看到原文下面的很多很有参考价值的评论。

原文作者：aatalyk

原文出处：LeetCode Discuss

原文链接：https://leetcode.com/discuss/general-discussion/458695/dynamic-programming-patterns

原文是英文写的，我觉得大家学编程，掌握基本的英文是必须的，我就不全文翻译啦。我会在关键的地方加上注释。

Before starting the topic let me introduce myself. I am a Mobile Developer currently working in Warsaw and spending my free time for interview preparations. I started to prepare for interviews two years ago. At that time I should say I could not solve the two sum problem. Easy problems seemed to me like hard ones so most of the time I had to look at editorials and discuss section. Currently, I have solved ~800 problems and time to time participate in contests. I usually solve 3 problems in a contest and sometimes 4 problems. Ok, lets come back to the topic.

Recently I have concentrated my attention on Dynamic Programming cause its one of the hardest topics in an interview prep. After solving ~140 problems in DP I have noticed that there are few patterns that can be found in different problems. So I did a research on that and find the following topics. I will not give complete ways how to solve problems but these patterns may be helpful in solving DP.

Patterns，DP模式

原作者把DP的题目分成了五类：

Minimum (Maximum) Path to Reach a Target
Distinct Ways
Merging Intervals
DP on Strings
Decision Making

Minimum (Maximum) Path to Reach a Target，到底目标通过一条最大或是最小的条件路径

Generate problem statement for this pattern

Statement，一般这类问题具有下面类似的描述

Given a target find minimum (maximum) cost / path / sum to reach the target.

Approach，解题方法

Choose minimum (maximum) path among all possible paths before the current state, then add value for the current state.

       routes[i] = min(routes[i-1], routes[i-2], ... , routes[i-k]) + cost[i]

Generate optimal solutions for all values in the target and return the value for the target.

       for (int i = 1; i <= target; ++i) {    for (int j = 0; j < ways.size(); ++j) {        if (ways[j] <= i) {            dp[i] = min(dp[i], dp[i - ways[j]]) + cost / path / sum;        }    } }   return dp[target]

Distinct Ways，第二类DP问题，达到目标的不同方式总数

Generate problem statement for this pattern

Statement，问题描述

Given a target find a number of distinct ways to reach the target.

Approach，解题方法

Sum all possible ways to reach the current state.

       routes[i] = routes[i-1] + routes[i-2], ... , + routes[i-k]

Generate sum for all values in the target and return the value for the target.

       for (int i = 1; i <= target; ++i) {    for (int j = 0; j < ways.size(); ++j) {        if (ways[j] <= i) {            dp[i] += dp[i - ways[j]];        }    } }   return dp[target]

Merging Intervals，第三类DP，区间合并

Generate problem statement for this pattern

Statement，问题描述

Given a set of numbers find an optimal solution for a problem considering the current number and the best you can get from the left and right sides.

Approach，解法方法

Find all optimal solutions for every interval and return the best possible answer.

       // from i to j dp[i][j] = dp[i][k] + result[k] + dp[k+1][j]

Get the best from the left and right sides and add a solution for the current position.

       for(int l = 1; l<n; l++) {    for(int i = 0; i<n-l; i++) {        int j = i+l;        for(int k = i; k<j; k++) {            dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i][k] + result[k] + dp[k+1][j]);        }    } }   return dp[0][n-1]

DP on Strings，第四类DP，字符串上面的DP

General problem statement for this pattern can vary but most of the time you are given two strings where lengths of those strings are not big

Statement，问题描述

Given two strings s1 and s2, return some result.

Approach，解决方法

Most of the problems on this pattern requires a solution that can be accepted in O(n^2) complexity.

       // i - indexing string s1 // j - indexing string s2 for (int i = 1; i <= n; ++i) {    for (int j = 1; j <= m; ++j) {        if (s1[i-1] == s2[j-1]) {            dp[i][j] = /*code*/;        } else {            dp[i][j] = /*code*/;        }    } }

If you are given one string s the approach may little vary

       for (int l = 1; l < n; ++l) {    for (int i = 0; i < n-l; ++i) {        int j = i + l;        if (s[i] == s[j]) {            dp[i][j] = /*code*/;        } else {            dp[i][j] = /*code*/;        }    } }

1143. Longest Common Subsequence Medium

       for (int i = 1; i <= n; ++i) {    for (int j = 1; j <= m; ++j) {        if (text1[i-1] == text2[j-1]) {            dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;        } else {            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);        }    } }

647. Palindromic Substrings Medium

       for (int l = 1; l < n; ++l) {    for (int i = 0; i < n-l; ++i) {        int j = i + l;        if (s[i] == s[j] && dp[i+1][j-1] == j-i-1) {            dp[i][j] = dp[i+1][j-1] + 2;        } else {            dp[i][j] = 0;        }    } }

516. Longest Palindromic Subsequence Medium

1092. Shortest Common Supersequence Medium

72. Edit Distance Hard

115. Distinct Subsequences Hard

712. Minimum ASCII Delete Sum for Two Strings Medium

5. Longest Palindromic Substring Medium

Decision Making，第五类DP，取舍决定（当前元素取或是不取）

The general problem statement for this pattern is forgiven situation decide whether to use or not to use the current state. So, the problem requires you to make a decision at a current state.

Statement，问题描述

Given a set of values find an answer with an option to choose or ignore the current value.

Approach，解决方法

If you decide to choose the current value use the previous result where the value was ignored; vice-versa, if you decide to ignore the current value use previous result where value was used.

       // i - indexing a set of values // j - options to ignore j values for (int i = 1; i < n; ++i) {    for (int j = 1; j <= k; ++j) {        dp[i][j] = max({dp[i][j], dp[i-1][j] + arr[i], dp[i-1][j-1]});        dp[i][j-1] = max({dp[i][j-1], dp[i-1][j-1] + arr[i], arr[i]});    } }

198. House Robber Easy

       for (int i = 1; i < n; ++i) {    dp[i][1] = max(dp[i-1][0] + nums[i], dp[i-1][1]);    dp[i][0] = dp[i-1][1]; }

121. Best Time to Buy and Sell Stock Easy

714. Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee Medium

309. Best Time to Buy and Sell Stock with Cooldown Medium

123. Best Time to Buy and Sell Stock III Hard

188. Best Time to Buy and Sell Stock IV Hard

I hope these tips will be helpful

第二个材料，是下面这个LeetCode最近的帖子，列出了LC上面的DP的经典题目：

第三个，则是educative上面的DP课：

该门课程中, 作者将DP的问题分成以下几类:

1. 0/1 Knapsack, 0/1背包，6个题

0/1 Knapsack，0/1背包问题

Equal Subset Sum Partition，相等子集划分问题

Subset Sum，子集和问题

Minimum Subset Sum Difference，子集和的最小差问题

Count of Subset Sum，相等子集和的个数问题

Target Sum，寻找目标和的问题

2. Unbounded Knapsack，无限背包，5个题

Unbounded Knapsack，无限背包

Rod Cutting，切钢条问题

Coin Change，换硬币问题

Minimum Coin Change，凑齐每个数需要的最少硬币问题

Maximum Ribbon Cut，丝带的最大值切法

3. Fibonacci Numbers，斐波那契数列，6个题

Fibonacci numbers，斐波那契数列问题

Staircase，爬楼梯问题

Number factors，分解因子问题

Minimum jumps to reach the end，蛙跳最小步数问题

Minimum jumps with fee，蛙跳带有代价的问题

House thief，偷房子问题

4. Palindromic Subsequence，回文子系列，5个题

Longest Palindromic Subsequence，最长回文子序列

Longest Palindromic Substring，最长回文子字符串

Count of Palindromic Substrings，最长子字符串的个数问题

Minimum Deletions in a String to make it a Palindrome，怎么删掉最少字符构成回文

Palindromic Partitioning，怎么分配字符，形成回文

5. Longest Common Substring，最长子字符串系列，13个题

Longest Common Substring，最长相同子串

Longest Common Subsequence，最长相同子序列

Minimum Deletions & Insertions to Transform a String into another，字符串变换

Longest Increasing Subsequence，最长上升子序列

Maximum Sum Increasing Subsequence，最长上升子序列和

Shortest Common Super-sequence，最短超级子序列

Minimum Deletions to Make a Sequence Sorted，最少删除变换出子序列

Longest Repeating Subsequence，最长重复子序列

Subsequence Pattern Matching，子序列匹配

Longest Bitonic Subsequence，最长字节子序列

Longest Alternating Subsequence，最长交差变换子序列

Edit Distance，编辑距离

Strings Interleaving，交织字符串

大家可以先把以上35个题目练熟，这样DP到达中等水平肯定是okay了的。再加以训练和提高。突破算法的硬骨头不在话下。一定要按照三种方式对照起来练。

这个平台的介绍，看这个文章：

Happy Dynamic Programming!

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学习英式口音是一个有趣且回报丰厚的过程。它需要耐心、坚持和一套系统的方法。下面我将详细地为你讲解如何学会英式口音，从基础到进阶，涵盖各种技巧和资源。一、理解英式口音的多样性与选择你的目标口音首先，要明确一点：英式口音并非单一的存在。英国是语言的宝库，拥有非常多样的口音，例如： Receive.............
怎样学习才能拥有所谓“高并发”的经验？

嘿，兄弟，想搞明白“高并发”这玩意儿，我给你掰开了揉碎了说，让你听着不费劲，也别整得跟教科书似的，咱们都是自己摸索过来的，所以这经验分享，绝对接地气。什么是“高并发”？咱先得有点儿概念你想啊，就像一个人坐在餐馆里吃饭，这叫“单用户”；十个人，这就叫“多用户”；结果门口排起了长龙，几百号人等着，这会儿.............
怎样学会怼人？

想要学好“怼人”，绝不是让你变成一个出口伤人、刻薄寡恩的家伙。这更像是一种高情商的沟通技巧，是用智慧和幽默去化解尴尬、捍卫自己，甚至让对方在不伤面子的前提下认识到问题。当然，也得看你用在什么场合，对什么人。咱们先聊聊，为什么有人会觉得“怼人”有用？捍卫边界：有时候别人会无意或有意地越界，说一.............

怎样学好动态规划？

网友意见

原文是英文写的，我觉得大家学编程，掌握基本的英文是必须的，我就不全文翻译啦。我会在关键的地方加上注释。

Patterns，DP模式

Minimum (Maximum) Path to Reach a Target，到底目标通过一条最大或是最小的条件路径

Statement，一般这类问题具有下面类似的描述

Approach，解题方法

Similar Problems，其他类似的问题还有：

Distinct Ways，第二类DP问题，达到目标的不同方式总数

Statement，问题描述

Approach，解题方法

Similar Problems，类似问题

Merging Intervals，第三类DP，区间合并

Statement，问题描述

Approach，解法方法

Similar Problems，类似问题

DP on Strings，第四类DP，字符串上面的DP

Statement，问题描述

Approach，解决方法

Decision Making，第五类DP，取舍决定（当前元素取或是不取）

Statement，问题描述

Approach，解决方法

1. 0/1 Knapsack, 0/1背包，6个题

2. Unbounded Knapsack，无限背包，5个题

3. Fibonacci Numbers，斐波那契数列，6个题

4. Palindromic Subsequence，回文子系列，5个题

5. Longest Common Substring，最长子字符串系列，13个题

类似的话题