累加的连续是积分，那么累乘的连续是什么？
那么，“累乘的连续”又是什么呢？这不像“累加”那样有一个直接且唯一的对应概念。但是，我们可以从几个不同的角度去理解和类比。
从离散到连续的过渡，累乘的连续化通常指向“乘积积分”或“指数积分”。
我们先回顾一下累加是怎么变成积分的。一个离散的数列 $x_1, x_2, dots, x_n$ 求和是 $sum_{i=1}^n x_i$。当我们考虑一个函数 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的“累加”时，我们将其分成许多小段，例如 $[x_0, x_1], [x_1, x_2], dots, [x_{n1}, x_n]$，其中 $x_0 = a, x_n = b$。然后在每个小段上取一个值 $f(c_i)$（$c_i$ 在 $[x_{i1}, x_i]$ 内），乘以小段的长度 $Delta x_i = x_i x_{i1}$，然后将这些乘积累加起来：$sum_{i=1}^n f(c_i) Delta x_i$。当小段越来越细（$Delta x_i o 0$），累加的项数趋于无穷时，这个求和就变成了积分：$int_a^b f(x) dx$。
现在，我们把“累加”换成“累乘”。如果我们有一个离散的数列 $y_1, y_2, dots, y_n$，它们的累乘就是 $y_1 imes y_2 imes dots imes y_n = prod_{i=1}^n y_i$。
如果我们试图将这个“累乘”概念连续化，我们可能会想到以下几种情况：
1. 连续的累乘：乘积积分 (Product Integral)
这是最直接的类比。就像积分是将无数个小的“加法”量通过极限求和一样，乘积积分是将无数个小的“乘法”因子通过极限求积。
想象一下，我们有一个函数 $f(x)$，并且我们想在区间 $[a, b]$ 上对其进行“累乘”。和积分一样，我们同样需要将区间 $[a, b]$ 分割成许多小段。假设我们选取 $[x_{i1}, x_i]$ 作为第 $i$ 个小段，其长度为 $Delta x_i$。
在积分中，我们在每个小段上取 $f(c_i)$ 乘以 $Delta x_i$，然后累加。这个 $f(c_i) Delta x_i$ 可以理解为在小段上“累加”的“量”。
在乘积积分中，我们考虑的不是“量”，而是“因子”。我们想要的是在每个小段上对 $f(x)$ 进行“累乘”。如何对一个函数在一个区间上进行“累乘”呢？这听起来有点抽象。
乘积积分的核心思想是，在每个小段 $[x_{i1}, x_i]$ 上，我们取一个代表性的值 $f(c_i)$，然后将它与这个区间的“乘积因子”关联起来。这个“乘积因子”通常是 $(1 + f(c_i) Delta x_i)$，或者是 $(1 f(c_i) Delta x_i)$，或者仅仅是 $f(c_i)$ 本身，这取决于具体的定义和应用场景。
一个比较常见的乘积积分定义（被称为“上乘积”或“下乘积”，具体取决于符号）：
上乘积 (Upper product integral): $prod_a^b (1 + f(x) dx) = lim_{|Delta x| o 0} prod_{i=1}^n (1 + f(c_i) Delta x_i)$
下乘积 (Lower product integral): $prod_a^b (1 f(x) dx) = lim_{|Delta x| o 0} prod_{i=1}^n (1 f(c_i) Delta x_i)$
这里的 $dx$ 是一个无穷小的增量，可以看作 $Delta x_i$ 的极限。
为什么是 $1 + f(x) dx$ 或 $1 f(x) dx$？
这是因为我们通常关心的是相对于“1”的乘法变化。想象一下复利计算，每期利息是上一期本金乘以一个增长因子。如果我们有初始本金 $P_0$，第一期的增长因子是 $(1+r_1)$，第二期是 $(1+r_2)$，那么两期后的本金就是 $P_0 (1+r_1)(1+r_2)$。如果增长率 $r$ 是连续变化的，我们就可以用类似积分的方式来计算最终的本金。
如果 $f(x)$ 代表的是一个“增长率”或者“变化率”，那么在极小的区间 $dx$ 内，这个变化可以近似为 $f(x) dx$。那么，在这个小区间内，原来的值乘以一个因子 $(1 + f(x) dx)$ 就代表了累乘的效果。
例如，如果我们考虑一个量 $y$ 随着 $x$ 的变化率是 $frac{dy}{dx} = f(x)y$。那么，我们可以写成 $frac{dy}{y} = f(x) dx$。两边取对数，$ln(y)$ 的变化量是 $int f(x) dx$。所以，$y$ 的变化就是 $e^{int f(x) dx}$。
而乘积积分是另一种处理连续变化的方式。它更直接地处理“因子”的累积。
乘积积分与指数函数的联系：
有一种特殊的乘积积分（当函数 $f(x)$ 的值域不包含 1 时）：
$prod_a^b e^{f(x) dx} = e^{int_a^b f(x) dx}$。
这说明了，某些形式的累乘（例如因子是 $e^{f(x)dx}$）与积分密切相关，只是通过指数函数进行了一个转换。
2. 级数表示的类比：指数函数 (Exponential Function)
我们知道，指数函数 $e^x$ 的泰勒展开是 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2!} + frac{x^3}{3!} + dots$。
如果我们把 $x$ 看作是某个量在无数个“小段”上的“累加”的离散结果。那么，$e^x$ 可以看作是“累乘”的某种连续化。
考虑 $e^x = lim_{n o infty} (1 + frac{x}{n})^n$。
这里的 $(1 + frac{x}{n})$ 是一个因子，我们将其进行 $n$ 次累乘。随着 $n$ 趋于无穷大，我们把一个有限的“累加”量 $x$ 分摊到无穷多个小段上，并在每个小段上做一个近似的“乘法”操作。
如果我们将 $x$ 看作是一个区间 $[0, X]$ 上常数函数 $f(t)=1$ 的积分 $int_0^X 1 dt = X$。那么，将这个积分值 $X$ 分成 $n$ 份，每份是 $frac{X}{n}$。当我们对这无穷多个小份的“增长因子” $(1 + frac{X/n}{1})$ 进行累乘时，我们就得到了 $e^X$。
从这个角度看，指数函数 $e^x$ 可以被看作是将一个“累加”的量 $x$ （可以看作函数 $f(t)=1$ 在区间 $[0, x]$ 上的积分）通过一种特定的“累乘”方式（将 $x$ 分成无穷多个小份，每一份对应一个增长因子 $(1 + ext{份})$，然后累乘）得到的连续结果。
3. 概率论中的“累乘”：风险模型和生存分析
在概率论的一些领域，比如风险模型（保险精算）或者生存分析，我们经常会遇到“累乘”的概念。
假设一个在时间段内存活的个体，其在每个小时间段内“存活的概率”是 $p_i$。那么，在整个时间段内存活的概率就是这些小时间段内存活概率的累乘：$P( ext{存活}) = p_1 imes p_2 imes dots imes p_n = prod p_i$。
当时间段变得无穷小，概率 $p_i$ 就变成了一个连续的“存活因子”。如果我们用 $S(t)$ 表示在时间 $t$ 时仍然存活的概率，那么在极小的时间间隔 $dt$ 内，它从 $S(t)$ 变为 $S(t+dt)$。这个变化可以看作是 $S(t+dt) = S(t) imes ( ext{在 } dt ext{ 内存活的因子})$。
如果我们在某个时间段内，每单位时间存活的“因子”是 $e^{lambda(t)}$（这里的 $lambda(t)$ 可以看作是“死亡率”或“失活率”），那么在时间 $T$ 时的总存活概率就是：
$S(T) = prod_{t in [0, T]} e^{lambda(t) dt} = e^{int_0^T lambda(t) dt}$。
这里，指数函数又一次出现了，它代表了连续的“因子”累乘的结果。
总结来说：
“累加的连续是积分”是一个非常形象的比喻。而“累乘的连续”，最直接和数学上严谨的对应概念是乘积积分 (Product Integral)。
乘积积分的核心思想是将区间上的“累乘”操作通过极限过程连续化，其形式通常是 $prod_a^b (1 + f(x) dx)$ 或类似的变体。
另一方面，指数函数 $e^x$ 在某种意义上也可以被看作是“累乘的连续”，它揭示了将一个累加量通过特定方式（如 $e^x = lim_{n o infty} (1 + frac{x}{n})^n$）进行“连续累乘”的深刻联系。
它们之间虽然表述不同，但都体现了将离散的“累加”或“累乘”推广到连续域的数学思想，只是侧重点和具体形式有所区别。积分是对函数“量”的累积，而乘积积分（或指数函数所代表的某些形式）是对函数“因子”的累积。
网友意见
这个问题其实非常好。对于实数而言，累乘可以通过取对数的方式变成累加，这里许多回答都说过了。
但这不足够。因为"乘法"不一定是对易的。比如说矩阵的乘法，不满足 X*Y = Y*X！这就绝对不能简单地用取对数的方式变成加法了！
那么，矩阵的累乘的连续是什么？这是真正有趣的问题。下面不妨讨论矩阵可逆的情况。
不好意思需要升级数学难度。对于可逆矩阵而言，“取对数”对应的其实是“李群”变成“李代数”的过程。先不看这些，我们先看个中学生可能可以理解的。对于实数而言，有：
log(e^X e^Y) = X+Y
这就是许多回答所说的“乘法变加法”的缘由。
但是对于矩阵而言，有 Baker–Campbell–Hausdorff 公式：
除了 X 和 Y，还多出来好多项。这里的 [X, Y] = XY - YX 是所谓“李括号”。比如展开之后，就是：
log(e^X e^Y) = X+Y + 1/2 (XY - YX) + ......
这个公式非常有趣。尤其是里面的系数，与 Bernoulli 数有关。
深究下去会发现，"累乘的连续"并不是一个容易定义好的东西。容易定义好的，是倒过来，用李代数的积分的exp来作为某种"累乘的连续"的定义。
为什么这么说，因为这种定义方法有一个非常实际的作用：它就是物理中的量子场论 Yang-Mills 理论 中的积分！因为 Yang-Mills 是在李代数上取值（Lie algebra-valued）。
譬如，最基本的积分是配分函数（partition function）：
其中 exp 里面的一群东西，就是在李代数上取值的微分形式（Lie algebra-valued differential form）在流形上的积分。
总结：
对于实数而言，"累乘的连续"，是用 exp(累加）。但如果乘法本身不对易，"累乘的连续"本身就很难定义。于是大家换个思路，直接只考虑 exp(李代数的累加)。
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2018.8 更新：如果您对数学感兴趣，欢迎看我在知乎的更多回答，只输出干货：
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因为看到这个生态学的背景不请自来了。题主 @Godfly 是个很聪明的高中生，这个概念对学习大学高年级的生态学相关内容还是挺有用的。
我看高赞几位大佬的评论区里面有人吐槽这个生物学的问题标签，其实这个问题和生物学还真的是大有渊源。累乘的连续形式，也就是 @罗旻杰 写的我们今天称为product integral（不知道怎么翻译，积·积分？）的概念，最早是由意大利数学家Volterra提出的。而Volterra最著名的一大贡献就是奠基了数学生物学，留下了描述捕食者和猎物种群涨落的Lotka-Volterra方程。当然只是一个间接地联系，product integral的发表时间上早于L-V方程，是不是起源于生物相关的问题不得而知，不过生态学恐怕的确是product integral最佳的应用场景之一，而且特别适合于理解Volterra原始版本的product integral定义。
如果我们从生态学的情景下，换个角度思考题主的原设问题，其实就没有那么抽象了。在只有一定的高中数学和生物基础的情况下也能很容易理解，也很容易算：
在种群生态学，我们比较容易观测的，是种群数量的变化曲线，也就是种群生长曲线（growth curve）。比如高中生物讲的“J型生长曲线”，“S型生长曲线”，都是说的生长曲线的形状。
那么对于生物学家而言，我们最最关心的一个问题就是种群的生长率随时间是如何变化的。
如果兔子种群的数量随时间的变化为 ，那么在某一个特定的时间 ，生长率 是多少：平均每只兔子，在单位时间内，能生几只兔子？
我们只要先算一下在一个时间间隔 内，一共多了多少只兔子： ，但是这个数值是没有多少生物学意义的，
还是要再平摊到每个兔头上才行：
取极限就得到了生长率的计算公式：
eq. I:
可以考虑一下兔子的种群是怎样积累，是通过老兔子不断的生新兔子，种群无时不刻地再成 倍的近乎连续地增加。
所以说，种群大小的变化实际上就是的一种product integral：
eq.II:
我们记 ，这个就是最早的Volterra最早描述的product integral的表达式，也被称为Type I product integral。
这样我们就很容易通过求解eq.I，然后代入eq.II，就可以把product integral转化为我们更熟悉的求和积分（sum integral）：
很容易注意到 （这也是这里唯一你需要提前知道的公式），变形eq.I得到
，即：
eq.III:
到这里，甚至不需要你学过多少微积分就能解出来了。而且我们并不需要知道 的实际方程是什么，它只起到一个“辅助线”的作用。
在实际问题的情境下思考，会帮助理解，但是注意，这不是严格的数学推导
有了eq.III，就可以去讨论其他形式的product integral，比如几何积分（geometric integral）：
现在如果用 来表示：从 到， 的product integral即累乘的连续：
令 ，这里利用 是小量时 的性质，两边取对数可以得到 ：
以上是我们讨论了数乘的求积积分product integral，现在我们要更进一步，考虑矩阵的累乘，尝试把 @PENG Bo 给挖出来没填完的大坑再加点土。
我们不妨还是先考虑一个生态学情景，再逐渐抽离出来，去考虑更抽象的数学。
现在大草原上有狼和羊，狼爱上羊啊……不是，是狼要吃羊，羊要吃草，所以大草原上狼 、羊 、草 的种群大小都在不断变化：
相似的，我们也还是可以定义一个种群的生长率矩阵：.
每个种群的生长率，除了和其自身的数量相关之外，还和其他的物种相关。
相似的，我们有种群大小 从 到 的变化，就是矩阵 的product integral：
eq.IV:
这里出现了问题的第一个困难， 是个向量不能直接除过去。这是需要我们把情景进一步抽象，想像这个生态系统是“线性”的， 生长率只和时间相关，而和种群大小无关，那么我们就可以在大草原设置多种不同的初始状态，观察他们在t0到t之间是怎样变化的。在只有三种物种的情况下，我们只需要设置3个线性无关的初始状态就足够了。
记3次实验为 ，那么就有 的product integral就能由 唯一的确定。
同样的，种群的生长率还可以通过另一种方式表达：
eq.V:
不过这次我们没有那么幸运了，这个微分方程怎么求还是个大问题（Matrix differential equation）。
在矩阵可以对易的情况下，也就是交换矩阵乘法的顺序不改变结果的情况下，我们有一个通解，定义矩阵的指数Matrix exponential，则：
类似的我们可以得到之前在数乘看到的结果：
这就是@PENG Bo 答主提到的exp(李代数的累加)。
很明显，矩阵不能对易是一个更一般的情况，就不能用矩阵的sum integral的指数来表示矩阵的product integral了。但是通过上述的构造，我们还可以知道，矩阵的Type I product integral，实际上是可以定义并求解的：
对给定 ，如果存在通解 ，则有Type I product integral为：
这样问题就被简化为我们“相对”比较熟悉的如何求微分方程的问题上了
如果看到这里还有气力，最后我们可以再尝试，想一想这其中的抽象概念。
当我们描述加法和乘法的时候，到底在描述什么？当我们描述累加和累乘的时候，到底在描述什么？
不管是加法还是乘法，其实都可以看做对原物体的一种变换。不管是原物体是一个数也好，还是一个向量，或是一个矩阵，加和乘都可以看做是平移旋转放缩这样的形变。
那么累加和累乘，无非就是多变换几次。
那么他们的“连续化”，也不过就是"连续的变化"。
只要这种连续性是可以“构造”出来的，就可以对应地取定义一种变换的“积分” ，剩下的就是如何形式化相关的语言和定义的问题了。
本回答图片摘自网络。
推荐一个stackexchange上的相关提问：Matrix-product-integrals?
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