能不能定义一个数 I，与 0 的乘积等于 1？
这问题听着有点像“鸡生蛋还是蛋生鸡”似的，挺让人犯迷糊的，对吧？咱们平时学数学的时候，都知道一个规矩，任何数，只要你拿它去乘以零，结果都得是零。这是数学里的基本功，谁也别想绕过去。
比如说，你拿个苹果（代表任何一个数），再拿零个苹果（就是什么都没有），你总共还是什么都没有，就是零个苹果。所以，不管这个“苹果”有多大、多小、是什么玩意儿，跟零乘上就得是零。这个规则牢不可破，是数学大厦的地基之一。
那么，如果我们非要找一个数“I”，让它跟零乘起来等于一，这就等于在挑战这个最基本的数学规则。这就好比你非要让“白天是黑的，晚上是白的”，这显然是违反了我们对世界的认知。
为什么数学里会有这个“任何数乘以零等于零”的规定呢？
这规定不是随便拍脑袋想出来的，而是为了让数学体系能够自洽，能够解释各种现象，并且有逻辑。你可以从几个角度去理解它：
1. 分配律的体现： 数学里有个重要的“分配律”，比如 a (b + c) = a b + a c。
如果我们允许一个数乘以零等于一，那会发生什么呢？
比如我们知道 0 = 0 + 0。
那么，根据分配律， I 0 = I (0 + 0) = I 0 + I 0。
如果 I 0 = 1，那么我们就有 1 = 1 + 1。
这显然是错的， 1 怎么可能等于 2 呢？这就把我们带进了逻辑矛盾里。为了避免这种荒谬的情况出现，数学家们就规定，任何数乘以零都必须是零。
2. 乘法作为重复加法的推广： 你可以把乘法看作是重复的加法。比如 3 4 = 4 + 4 + 4 = 12。
那么，任何数乘以零，就意味着你要把零重复加多少次？答案是零次。什么都不加，自然就是零。
如果你非要让它等于一，那这种“重复加零”的解释就崩塌了。
3. 数的性质： 零（0）在乘法里是一个特殊的“吸收元”，意思是它能把任何数“吸收”成零。而一（1）在乘法里是“单位元”，意思是它乘以任何数都保持原样（a 1 = a）。
如果我们允许 I 0 = 1，那意味着零就不再是吸收元了，而一也不是单位元了，整个乘法的结构都会被打乱。
回到那个“I”：
所以，在咱们目前所使用的标准数学体系里，你找不到这样一个数“I”。这个“定义一个数 I，与 0 的乘积等于 1”的命题本身就是不可能实现的，因为它会摧毁数学的基础规则，导致整个体系崩溃成一团乱麻。
这就像是问“能不能找一个三角形，它的三个内角加起来不是 180 度？”在欧几里得几何的平面上，答案是“不能”。当然，在一些非欧几何的空间里，答案就可能会不一样，但那是另外一套规则了。
在我们讨论的这个标准乘法体系里，零就是零，它跟任何数乘起来都是零，这是它的本职工作，也是它之所以存在的意义。没有那个“I”，数学依然运转得好好的，而且是因为有这个坚守“乘以零就是零”原则的零。
所以，简单来说，不行。在数学的这条轨道上，零乘任何数都是零，这个是死规矩，没有通融的余地。那个你想象中的“I”，在这个规则下，永远没有出头之日。
网友意见
有评论说我没有正面回答问题，那我就说清楚我到底回答了什么：第一：给出了复数域在数学上的严格定义，从而解释了“为什么把－1的平方根加进实数是一个可行的操作”；第二：解释了“为什么不能把1/0加进实数”，因为这样做会破坏实数的代数结构。
你老师没讲清楚。复数相比实数并不单纯是加了个i这么简单，你还得说明加了这个i之后和原有的代数系统是相容的。如果学过抽象代数的话，那复数域可以定义成：R[x]/(x^2+1), 实系数多项式环模掉x^2+1生成的理想。因为x^2+1在实数域上不可约，所以这样模出来是个域，我们把这个域叫做复数域。然后在一般的写法中我们实际上是把多项式环里的x写成了i，然后因为模掉的理想是x^2+1,所以i^2+1=0.
（稍微补充一下背景知识：R[x]是实数域R上的多项式环，根据标准的抽象代数里的环论，域上的一元多项式环是一个PID(principal ideal domain，主理想整区)。x^2+1是R上不可约多项式，因此是R[x]中不可约元。PID中的不可约元生成的理想，是一个极大理想。任何交换环模掉它的一个极大理想生成的商环，是一个域。这个域我们就定义为复数域。
至于什么是群环域，什么是理想，什么是商环，什么是PID，可以参考任何一本中文或者外文的抽象代数学教材，在这里不赘述，毕竟回答这个问题不等于做代数学科普，说清思路就行了）
题主可以思考一下：有没有必要给i继续开平方，然后把开出来的新元素加到复数域里面，继续扩大数域？答案是没有必要。因为存在一个复数，其平方为i.题主可以想想这个复数具体是多少。很多高中生对这个问题都不能正确理解，总以为对i继续开方会得到复数以外的数。其实不是这样。任何一个复数开任何整数次方，得到的还是一个复数。（针对评论补充一句，我并没有说开方是一个一一映射，我的意思是存在一个复数，其n次方为原来的复数，并没有说“唯一”）这是由复数的代数闭的性质保证的（但是这并不是代数闭的定义。代数闭是指任意非常数复系数多项式的根仍然是复数，比能开方的性质更强）。实数不是代数闭的（因为－1开方就不再是实数），而复数是代数闭的，这是复数区别于实数的一个很重要的性质。在数学的很多场合里面，大家都喜欢在复数域上做东西而不是实数域上做东西。一个很重要的原因就是复数的代数闭性。在某种意义上复数是比实数更良好、更“完美”的对象。
回到楼主的问题，为什么我们不考虑在实数里面加一个元素，使得它和0相乘为1？因为这样会破坏实数的性质，它会强迫0=1. 要使你得到的新的数系在逻辑上相容，你就必须修改实数的运算规则，比如说承认0可以等于1.但稍微一想就知道，这样做会导致所有的元素都等于0. 这样得到的数系就只含有一个元素，就没有意思了。
看了问题描述真是太心疼题主了TuT（如果我是老师的话，有学生问出这个问题我肯定非常激动！）
@Yuhang Liu给出的是这个问题的『标准答案』，我想试着以高中生能理解的程度来解释一下这个标准答案。（与以前一样，为了可读性，会牺牲严谨性。想认真学还是应该看教材。）
回答分为两部分：第一部分是分析如果定义一个『与0的乘积等于1』的数会导致怎样的后果（实数毁灭）；第二部分是解释虚数单位是怎么出现的（使用『模法』）。
===============第一部分开始了呦===============
首先，对于题主问题的回答是：你当然可以定义一个『与0的乘积等于1』的数，但是这样会使得所有的实数都等于零，于是我们什么有趣的事情都干不了啦。
我们先来想一个问题：大家都知道，可是它们为什么相等呢？
这还不简单？因为啊！
这不是一个好答案，因为根据小数点的定义，，所以我们就需要进一步解释为什么以及为什么，于是问题变得更复杂了。
正确答案是：因为，所以.
切，那我也可以继续问啊！为什么就意味着？
因为我们就是这么定义两个分数相等的。
不妨先想一想分数到底是怎么回事：
一开始我们只有整数，然后我们把所有非零的整数召集起来，对它们说：『你们也可以当分母哟！』于是，我们就有了诸如和这样的分数。然而这个时候我们并没有对这些分数进行任何限制——没人说和就一定相等。
但是光创造数没有用，我们想做运算呀。现在什么规定都没有，那是啥？？
于是人们规定，对于两个分数和，如果，那么它们就相等。接着我们就可以定义分数的加法：分母相同的两个分数相加，分母不变，把分子加起来就好了！
这样一来，我们就有了可以做运算的分数（有理数）。更重要的是，当我们把原来的每个整数都当成时，有理数的运算和整数的运算是一致的。
这一点很重要。通常情况下，当我们说『整数集合包含1和2』时，不仅意味着1和2都是整数，而且这个『2』必须得是『1+1=2』的那个『2』。也就是说，我们平时使用的『整数』一词，不仅是指那些数字，而且还蕴含了数字之间的关系（即代数结构）。
所以，为了保证有理数包含整数，他们的运算必须一致，否则这个『整数』就不是我们通常说的那个『整数』了。
有了有理数之后，我们可以把它们扩充为实数。同样地，这里的『扩充』意味着有理数的代数结构不能改变。扩充为实数的方法我这里就不细说了。
现在再看之前的问题：如果定义了『与0的乘积等于1』的数会发生什么呢？
我们可以接着证明所有的实数都等于零，于是整数/有理数/实数的代数结构就被破坏了。所以，试图加入一个『与0的乘积等于1』的数，并不能扩充实数，反而会把实数整个毁掉……
（对学数学的同学多说一句：我们其实可以把环中任意一个对乘法封闭的子集作为分母集合，而对乘法封闭的子集显然是可以包含零的。但是只要包含了零，我们就只能得到一个等价类。具体可以看GTM73第三章第四节。）
===============第二部分开始了呦===============
那么虚数单位又是怎么出现的呢？
回答这个问题之前，我们先来做一个小小的计算：
没问题吧？好，看来大家都知道虚数单位是什么……好的，从现在开始，我们要假装自己不知道虚数单位，只知道实数。
接下来我们回顾一点点初中的知识：多项式加法、减法、乘法和因式分解。
是啥来着的……？
多项式加法就比如：，减法类似；
多项式乘法就比如：；
因式分解就比如：，这些大家都还记得吧=w=
顺便提醒一下：多项式除以多项式不一定是多项式，比如就不是多项式。
所以，两个（实系数）多项式做加法、减法、乘法之后仍然是（实系数）多项式。
（于是我们说实系数多项式构成了一个环，记作. ）
（啊，不要被『环』这个奇怪的词吓到，简单说来『环』就是一个可以做加法、减法、乘法的集合。整数、有理数、实数等等都是环。）
好的，接下来我们来讨论因式分解=w=
再看一眼之前的例子，
这里我们把一个二次多项式分解为两个一次多项式的乘积，而一次多项式显然不可能再继续被分解为两个多项式的乘积，除非其中一个是常数。于是，我们就说一次多项式是『不可约』的。
相对应地，可以被分解为两个次数更低的多项式的乘积，我们就说它是『可约』的。
那么二次多项式有不可约的吗？有，比如就不可约。（别忘了我们现在只知道实数！只知道实数！只知道实数！）
不可约！真是高冷！
没事，不可约，那我们就不要它了╭(╯^╰)╮
哼！好！不过啥叫『不要』？？
『不要』的意思就是：把所有的都换成零。
我们来看看这样会发生什么。举个例子，比如我们知道：
然后我们把所有高冷的都找出来：
接着，我们把高冷的换成零：
所以，当我们把换成零之后，运算结果就变成了：
诶嘿，是不是有点眼熟？再看看一开始复数乘法的例子：
哇！
我们发现，把所有换成零之后，多项式的乘法就跟复数的乘法一样了！
好神奇啊！这是巧合吗？？？
这不是巧合。
不妨设想一下，假如有个人只知道实数而不知道复数，我们如何向他解释是什么呢？
我们会说：就是一个平方等于的数，也就是说，
这不正是我们之前做的事情吗？
我们先在实数中加入了一个奇怪的『数』，记作，接着把所有都换成零。
所以，把实系数多项式环中所有换成零，就变得跟一样了，于是我们就可以得到复数（域）了。
复数域就是这么来的。（当然也可以直接定义，这里只讲代数方法。）
用数学语言来说，『把所有换成零』这个操作叫『模掉生成的理想』。
所谓『生成的理想』，在这里就是指一切的倍数，记作. 因为变为零，那么它的倍数肯定都变为零了嘛。所以所有的倍数，即生成的理想，都被『模掉』啦。
写成数学语言就是：
这个『模掉理想』的操作并不局限于. 实际上，我们把任何一个不可约多项式生成的理想模掉，都相当于是在原来的数域中加入了该多项式的根。
当然，我们一般用这个方法扩张有理数域而不是实数域，因为扩张一步之后得到复数域，就没法再继续这样扩张了（因为是代数闭域），而有很多有趣的扩张。
举个例子，不在有理数域中，而它是上的不可约多项式的根，所以我们如果想把加进中，我们就把有理系数多项式环模掉生成的理想，也就是：
那如果模掉可约多项式生成的理想会怎么样？比如，模掉会怎么样？
额，那就会得到一个很奇怪的东西……想一想，由于，我们把换成零，却没有把它的因子和换成零。这就意味着，将会有两个不是零的数乘起来是零……这样的环性质就太差了（连整环都不是），并不是原来数域的扩张。
走之前我想问你最后一个问题……
爱过，不可约，理想已被模掉，不是巧合……
不不不，不是这些。你刚刚说在中模掉就相当于是在中加入了的根，可是为什么不是加入呢？也是的根啊。
啊，这是个好问题。简单一点的回答就是，你在中加入或，得到的都是复数域. 更深层次的原因是，不可约多项式的根在代数上是没有办法区分的，加入『不同』的根，得到的扩域在代数上没有区别（同构）——这是伽罗瓦理论告诉我们的。不过在这里我就不多说了=w=
那么就这样=w=
简单来说：引入一个这样的数会对代数结构产生巨大的破坏。与其引入之后修修补补，不如不引入，除非以后真的有了应用场景。
考虑一下
但是：
所以：
所以：
？！
类似的话题
-
咱就来聊聊这个挺有意思的问题：能不能找一个数，叫它“I”吧，让它和零（0）乘一块儿等于一（1）？这问题听着有点像“鸡生蛋还是蛋生鸡”似的，挺让人犯迷糊的，对吧？咱们平时学数学的时候，都知道一个规矩，任何数，只要你拿它去乘以零，结果都得是零。这是数学里的基本功，谁也别想绕过去。比如说，你拿个苹果（代表............. -
关于拳头游戏为MSI（季中冠军赛）冠军FMVP（决赛最有价值选手）单独定制冠军皮肤，以及MSI冠军保送世界赛的设想，确实是很多召唤师们热议的话题。这背后涉及到电竞赛事的荣誉体系、激励机制以及商业价值的考量。我们不妨从这几个角度来深入探讨一下。单独定制冠军FMVP皮肤的可能性与考量现状回顾：目前，英雄.............
-
当然可以。一个生活在美国堪萨斯州的农民，完全有权利在纽约定居并成为纽约的市民。这不仅仅是一种可能性，更是美国公民自由迁徙和选择居住地的基本权利的体现。首先，我们要明白“市民”这个词在这里指的是什么。在美国语境下，“市民”通常指的是一个州的合法居民，并享有该州赋予公民的权利，例如投票权、获得州内公共服.............
-
.......
-
.......
-
在中国司法实践中，要给一个人定罪，尤其是在杀人这种重罪案件中，确实需要非常严谨的证据链。你提到的这种情况，即“没有凶器、没有目击证人、凶手本人不认罪、没有直接证据证明他是凶手”，在法律上定罪的难度会非常大，甚至可以说如果没有其他关键证据突破，是很难定罪的。咱们就来掰扯掰扯，为啥会这样，以及在现实中，.............
-
.......
-
当然可以。即便不借助坐标系，我们也能清晰地理解并定义向量的方向。事实上，在很多情况下，完全依赖坐标系反而会显得有些生硬和不自然。让我们深入探讨一下，不引入坐标系的情况下，如何理解和描述向量的方向。核心在于“参照”与“性质”不引入坐标系来定义向量方向，关键在于找到一个能够描述其相对位置或运动趋势的参照.............
-
你这个问题提得特别好！它触及了数学世界里一个挺有意思的现象：我们平时学习的初等数学，比如加减乘除、分数、代数方程这些，好像都挺直观的，我们用它们解决问题也觉得很顺畅。但你要是问“自然数到底是什么？”，或者“整数的集合是怎么构造出来的？”，初等数学的课本反而会有点含糊其辞，不像在说一套严谨的定义。然后.............
-
这个问题触及了哲学的核心，尤其是关于知识、存在和语言的界限。我们不妨一步一步来梳理。首先，我们要明白“可知”的含义。在我们的认知框架下，“可知”通常指的是可以通过感官经验、理性推理、科学实验、逻辑分析等方式来认识、理解、描述和验证的事物。可知的事物，意味着我们能对其形成概念，能够说出关于它的“是什么.............
-
这个问题挺让人纠结的，尤其是对于刚踏入社会的应届生来说。你拿到的是设计岗的offer，但实际入职后却被派去车间当操作工，这中间的落差肯定不小，心里也憋着一股劲儿想搞清楚这到底合不合规，能不能投诉。咱们一件件来掰扯掰扯。首先，得明确一下你手里拿到的东西有多重要。你手上最重要的依据就是你和公司签订的劳动.............
-
这个问题问得非常好，它触及了我们理解数学基础的关键。有理数乘法的定义，看似简单直接，但它的稳固性和“不怕有问题”，背后其实是数学家们长期以来严谨探索和建构的结果。咱们就从最根本的说起，什么是“有理数”？简单来说，有理数就是能写成两个整数的比的数，也就是形如 $a/b$ 的数，其中 $a$ 和 $b$.............
-
要探讨 $71^n$ 这个数列中是否会出现以任意长度（不小于 1）的“1”结尾的数，我们实际上是在寻找是否存在 $n ge 1$，使得 $71^n$ 的末尾是 $k$ 个“1”，其中 $k$ 可以是任意一个大于等于 1 的整数。换句话说，我们要判断是否存在这样的 $n$，使得：$71^n equiv.............
-
关于希拉里·克林顿的“邮件门”、“捐官门”等争议，以及她为何能继续竞选，这背后涉及复杂的法律、政治和公众舆论考量。要理解这一点，我们需要剥开层层叠叠的细节，看看法律体系是如何运作的，以及政治舞台的现实。首先，我们得明确一点：“被指控”与“被定罪”是两个截然不同的概念。 即使有各种指控和调查，如果证据.............
-
收到！马上要订婚结婚了，这可是人生大事，肯定要仔细斟酌。你这心里头犯嘀咕“人还能不如车”我特别能理解。咱们一点点来捋捋。首先，你提的彩礼加定金共16万，这数字本身从高低上说，没有一个绝对的“过分”或“不过分”的标准。它跟很多现实因素挂钩，最直接的就是你家那边的风俗习惯，还有你跟你未婚夫之间的感情基础.............
-
吉祥航空能以非廉价航空的身份，却卖出让人惊叹的低价机票，这背后的逻辑其实相当有趣，并非简单的“不赚钱”或者“赔本赚吆喝”。这更像是一种精明的商业策略，是多方面因素综合作用的结果。首先，我们要明确一个概念：吉祥航空“定位不是廉价航空”是什么意思？这通常意味着吉祥航空提供的服务标准比典型的低成本航空公司.............
-
.......
-
.......
-
.......
-
奔驰的全新战略，意图将品牌定位提升至宾利、劳斯莱斯之列，而非仅仅与奥迪、宝马竞争，这无疑是一招险棋，也是一次大胆的自我革新。要评价这一战略能否成功，我们需要深入剖析其背后的逻辑、面临的挑战以及可能的机遇。战略的核心：“登顶”而非“并肩”奔驰此次战略调整的核心在于，它不满足于在豪华汽车市场中扮演“第一.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有