李导数与协变导数有什么联系？
李导数 (Lie Derivative) 与协变导数 (Covariant Derivative) 的联系
李导数和协变导数都是微分几何中的重要概念，它们都用于描述张量场在流形上的变化，但它们的关注点和计算方式有所不同。理解它们的联系，需要深入理解它们各自的定义和几何意义。
核心思想：
协变导数 关注的是 切空间中的变化。它描述了在一个固定的坐标系下，一个向量场或张量场沿着另一个向量场（或者更一般地，沿着流形的测地线）移动时，在“同一”切空间中的变化。它保留了张量场的秩，并且保持了向量的线性组合关系。
李导数 关注的是 流形本身的变换。它描述了一个张量场在由一个向量场诱导的流形上的 流动 过程中的变化。它也保留了张量场的秩，但它会改变张量场在流形上的“位置”。
详细解释与联系：
我们先分别介绍这两个概念，然后再探讨它们的联系。
1. 协变导数 ($ abla$)
协变导数是一种广义的导数概念，它允许我们在流形上定义向量场或张量场沿着另一个向量场方向的变化率。在局部坐标系 $(x^1, dots, x^n)$ 下，一个向量场 $V = V^i frac{partial}{partial x^i}$ 沿着另一个向量场 $U = U^j frac{partial}{partial x^j}$ 方向的变化可以表示为：
$$ abla_U V = U^j abla_j V $$
其中 $ abla_j$ 是在 $x^j$ 方向上的协变导数。对于一个向量场 $V = V^k frac{partial}{partial x^k}$，协变导数定义为：
$$ abla_j V^k = frac{partial V^k}{partial x^j} + Gamma^k_{mj} V^m $$
这里的 $Gamma^k_{mj}$ 是 克里斯托费尔符号 (Christoffel symbols)，它依赖于度量张量 (metric tensor) $g_{ij}$，并反映了流形的曲率和坐标系的“非欧性”。
协变导数的核心特点：
平行移动 (Parallel Transport): 协变导数的定义与平行移动的概念密切相关。沿着一个向量场方向的协变导数为零，意味着该向量场在该方向上是平行移动的。
保持张量性: 协变导数作用在一个张量上，结果仍然是一个张量，且秩相同。
依赖于度量: 在黎曼流形上，协变导数（特别是 LeviCivita 联络）是唯一的，并且完全由度量张量决定。
局部性: 协变导数主要作用于切空间中的向量或张量，它描述的是局部变化。
2. 李导数 ($ mathcal{L}_X $)
李导数衡量的是一个张量场 $T$ 在一个向量场 $X$ 诱导的流形 局部变换 (flow) 过程中的变化。更具体地说，考虑由向量场 $X$ 诱导的一个局部流（flow），记为 $phi_t$。 $phi_t(p)$ 是点 $p in M$ 在向量场 $X$ 方向上移动时间 $t$ 后的位置。
李导数 $mathcal{L}_X T$ 可以直观地理解为：
$$ mathcal{L}_X T = lim_{t o 0} frac{phi_{t}^ T T}{t} $$
这里 $phi_{t}^$ 是拉回算子 (pullback operator)。拉回算子将一个张量场从流形的“新”位置拉回到“旧”位置，以便在同一个切空间进行比较。
李导数的核心特点：
流形变换: 李导数关注的是流形本身的变换，以及张量场如何在这个变换中被“拖动”而发生变化。
保留张量性: 李导数作用在一个张量上，结果仍然是一个张量，且秩相同。
不依赖于度量 (某种程度上): 李导数的定义不直接依赖于度量张量，它只依赖于向量场 $X$ 和张量场 $T$ 本身。然而，在计算李导数时，我们经常会使用到张量场的局部坐标表示，而这些表示间接依赖于坐标系和度量。
计算公式: 对于一个 $k$ 次协变张量 $T_{i_1 dots i_k}$，李导数的计算公式如下（这里需要注意，对于反变张量或混合张量，公式会更复杂）：
$$ mathcal{L}_X T_{i_1 dots i_k} = X^m abla_m T_{i_1 dots i_k} T_{i_1 dots j dots i_k} abla_{i_1} X^j dots T_{j dots i_k} abla_{i_k} X^j $$
这个公式看起来有点复杂，我们可以将其拆解成几个部分：
$X^m abla_m T_{i_1 dots i_k}$：这部分是将张量场 $T$ 沿着向量场 $X$ 的方向进行 协变求导。这与我们前面提到的协变导数有关。
后面的几项：这些项则是因为流形变换导致张量场在坐标系中的分量发生改变。例如，$ abla_{i_1} X^j$ 表示在 $x^{i_1}$ 方向上，向量场 $X$ 的分量 $X^j$ 的变化。
3. 联系：李导数可以表示为协变导数与度量张量和克里斯托费尔符号的组合
最直接的联系在于，李导数的计算公式可以通过协变导数来表达。 实际上，很多关于李导数的推导都会用到协变导数。
我们可以从李导数的一般性质入手：李导数满足 莱布尼茨法则 (Leibniz rule)，即它作用在两个张量的乘积上时，等于分别作用在每个张量上再相加。这个性质与协变导数也类似。
李导数与协变导数的关系可以从几个角度来理解：
a) 李导数包含了协变导数项：
如上文的李导数计算公式所示：
$$ mathcal{L}_X T_{i_1 dots i_k} = X^m abla_m T_{i_1 dots i_k} sum_{j=1}^k T_{i_1 dots i_{j1} m i_{j+1} dots i_k} abla_{i_j} X^m $$
其中，$X^m abla_m T_{i_1 dots i_k}$ 正是张量场 $T$ 沿着向量场 $X$ 方向的 协变导数。
b) 李导数和协变导数可以从不同的角度看待流形上的“变化”：
协变导数 描述了张量场在 固定切空间中 的变化。它本质上是在“平行移动”张量场时，它在基向量方向上的分量如何变化。
李导数 描述了张量场在 流形流动 过程中，在 固定坐标系下 的分量如何变化。它考虑了张量场本身的位置变化以及其在新的位置上的值。
c) 某些情况下，李导数可以转化为协变导数的变化：
考虑一个向量场 $V$。其李导数为：
$$ mathcal{L}_X V = [X, V] $$
其中 $[X, V]$ 是 $X$ 和 $V$ 的李括号 (Lie bracket)，定义为：
$$ [X, V]^k = X^j abla_j V^k V^j abla_j X^k $$
将协变导数的定义代入李括号的公式：
$$ [X, V]^k = X^j left( frac{partial V^k}{partial x^j} + Gamma^k_{mj} V^m ight) V^j left( frac{partial X^k}{partial x^j} + Gamma^k_{mj} X^m ight) $$
$$ [X, V]^k = X^j frac{partial V^k}{partial x^j} V^j frac{partial X^k}{partial x^j} + X^j Gamma^k_{mj} V^m V^j Gamma^k_{mj} X^m $$
我们可以看到，李导数（在这里是李括号）包含了向量场 $V$ 的 方向导数（即 $X^j frac{partial V^k}{partial x^j}$）以及涉及到克里斯托费尔符号的项。
d) 在特殊情况下，两者可以有更紧密的联系：
平行向量场: 如果一个向量场 $V$ 是沿着向量场 $X$ 方向平行的，也就是说 $ abla_X V = 0$，那么 $V$ 的李导数 $mathcal{L}_X V = [X, V]$ 会是什么呢？这取决于 $X$ 本身。如果 $X$ 是一个 Killing 向量场（即它保留度量），那么 $[X, V]$ 的行为会更特殊。
度量张量: 度量张量 $g$ 的李导数表示的是度量张量在流形变换下的变化。如果度量张量是固定的（如在黎曼流形上），那么度量张量的李导数必须为零。这个条件在定义李群和李代数时非常重要。
$$ mathcal{L}_X g_{ij} = 0 $$
展开这个公式，我们发现它与协变导数以及曲率张量有关。
e) 几何意义上的区别：
协变导数 描述的是在 切空间内部 的“扭曲”或“变化”。例如，在一个曲面上，即使你沿着一个方向平行移动一个向量，它的分量也可能因为曲面的弯曲而改变。
李导数 描述的是张量场在 流形上“移动” 的效果。想象一下，你给流形打上标记，然后让它沿着向量场 $X$ 的方向“流动”。李导数就是这个流动过程给张量场带来的变化。
总结联系：
李导数可以使用协变导数来计算。 李导数的定义包含了一个通过协变导数进行的“方向导数”项。
两者都保留张量性。
李导数关注的是流形上的“流动”和“变换”，而协变导数关注的是切空间中的“变化”。
李导数提供了一种计算张量场在流形变换下变化的方法，而协变导数提供了在特定方向上测量张量场变化率的方法。
可以这样理解：协变导数告诉你张量场在“当前位置”的“瞬时变化率”，而李导数告诉你张量场在整个流形“流动”后，“整体变化”。
举个简单的例子：考虑地球表面上的一个向量场，它表示风的方向和强度。
协变导数 告诉你，如果你沿着某条经线（或纬线）移动一个固定长度的距离，风的向量在那个方向上有什么变化。它会考虑地球的曲率。
李导数 告诉你，如果你跟随一段风（即沿着风向移动），风本身的方向和强度会如何变化。
理解李导数和协变导数的关系，是掌握微分几何和几何分析的关键一步。它们在物理学（广义相对论、规范场论）和数学（李群、李代数）中有广泛的应用。
李导数和协变导数都是微分几何中的重要概念，它们都用于描述张量场在流形上的变化，但它们的关注点和计算方式有所不同。理解它们的联系，需要深入理解它们各自的定义和几何意义。
核心思想：
协变导数 关注的是 切空间中的变化。它描述了在一个固定的坐标系下，一个向量场或张量场沿着另一个向量场（或者更一般地，沿着流形的测地线）移动时，在“同一”切空间中的变化。它保留了张量场的秩，并且保持了向量的线性组合关系。
李导数 关注的是 流形本身的变换。它描述了一个张量场在由一个向量场诱导的流形上的 流动 过程中的变化。它也保留了张量场的秩，但它会改变张量场在流形上的“位置”。
详细解释与联系：
我们先分别介绍这两个概念，然后再探讨它们的联系。
1. 协变导数 ($ abla$)
协变导数是一种广义的导数概念，它允许我们在流形上定义向量场或张量场沿着另一个向量场方向的变化率。在局部坐标系 $(x^1, dots, x^n)$ 下，一个向量场 $V = V^i frac{partial}{partial x^i}$ 沿着另一个向量场 $U = U^j frac{partial}{partial x^j}$ 方向的变化可以表示为：
$$ abla_U V = U^j abla_j V $$
其中 $ abla_j$ 是在 $x^j$ 方向上的协变导数。对于一个向量场 $V = V^k frac{partial}{partial x^k}$，协变导数定义为：
$$ abla_j V^k = frac{partial V^k}{partial x^j} + Gamma^k_{mj} V^m $$
这里的 $Gamma^k_{mj}$ 是 克里斯托费尔符号 (Christoffel symbols)，它依赖于度量张量 (metric tensor) $g_{ij}$，并反映了流形的曲率和坐标系的“非欧性”。
协变导数的核心特点：
平行移动 (Parallel Transport): 协变导数的定义与平行移动的概念密切相关。沿着一个向量场方向的协变导数为零，意味着该向量场在该方向上是平行移动的。
保持张量性: 协变导数作用在一个张量上，结果仍然是一个张量，且秩相同。
依赖于度量: 在黎曼流形上，协变导数（特别是 LeviCivita 联络）是唯一的，并且完全由度量张量决定。
局部性: 协变导数主要作用于切空间中的向量或张量，它描述的是局部变化。
2. 李导数 ($ mathcal{L}_X $)
李导数衡量的是一个张量场 $T$ 在一个向量场 $X$ 诱导的流形 局部变换 (flow) 过程中的变化。更具体地说，考虑由向量场 $X$ 诱导的一个局部流（flow），记为 $phi_t$。 $phi_t(p)$ 是点 $p in M$ 在向量场 $X$ 方向上移动时间 $t$ 后的位置。
李导数 $mathcal{L}_X T$ 可以直观地理解为：
$$ mathcal{L}_X T = lim_{t o 0} frac{phi_{t}^ T T}{t} $$
这里 $phi_{t}^$ 是拉回算子 (pullback operator)。拉回算子将一个张量场从流形的“新”位置拉回到“旧”位置，以便在同一个切空间进行比较。
李导数的核心特点：
流形变换: 李导数关注的是流形本身的变换，以及张量场如何在这个变换中被“拖动”而发生变化。
保留张量性: 李导数作用在一个张量上，结果仍然是一个张量，且秩相同。
不依赖于度量 (某种程度上): 李导数的定义不直接依赖于度量张量，它只依赖于向量场 $X$ 和张量场 $T$ 本身。然而，在计算李导数时，我们经常会使用到张量场的局部坐标表示，而这些表示间接依赖于坐标系和度量。
计算公式: 对于一个 $k$ 次协变张量 $T_{i_1 dots i_k}$，李导数的计算公式如下（这里需要注意，对于反变张量或混合张量，公式会更复杂）：
$$ mathcal{L}_X T_{i_1 dots i_k} = X^m abla_m T_{i_1 dots i_k} T_{i_1 dots j dots i_k} abla_{i_1} X^j dots T_{j dots i_k} abla_{i_k} X^j $$
这个公式看起来有点复杂，我们可以将其拆解成几个部分：
$X^m abla_m T_{i_1 dots i_k}$：这部分是将张量场 $T$ 沿着向量场 $X$ 的方向进行 协变求导。这与我们前面提到的协变导数有关。
后面的几项：这些项则是因为流形变换导致张量场在坐标系中的分量发生改变。例如，$ abla_{i_1} X^j$ 表示在 $x^{i_1}$ 方向上，向量场 $X$ 的分量 $X^j$ 的变化。
3. 联系：李导数可以表示为协变导数与度量张量和克里斯托费尔符号的组合
最直接的联系在于，李导数的计算公式可以通过协变导数来表达。 实际上，很多关于李导数的推导都会用到协变导数。
我们可以从李导数的一般性质入手：李导数满足 莱布尼茨法则 (Leibniz rule)，即它作用在两个张量的乘积上时，等于分别作用在每个张量上再相加。这个性质与协变导数也类似。
李导数与协变导数的关系可以从几个角度来理解：
a) 李导数包含了协变导数项：
如上文的李导数计算公式所示：
$$ mathcal{L}_X T_{i_1 dots i_k} = X^m abla_m T_{i_1 dots i_k} sum_{j=1}^k T_{i_1 dots i_{j1} m i_{j+1} dots i_k} abla_{i_j} X^m $$
其中，$X^m abla_m T_{i_1 dots i_k}$ 正是张量场 $T$ 沿着向量场 $X$ 方向的 协变导数。
b) 李导数和协变导数可以从不同的角度看待流形上的“变化”：
协变导数 描述了张量场在 固定切空间中 的变化。它本质上是在“平行移动”张量场时，它在基向量方向上的分量如何变化。
李导数 描述了张量场在 流形流动 过程中，在 固定坐标系下 的分量如何变化。它考虑了张量场本身的位置变化以及其在新的位置上的值。
c) 某些情况下，李导数可以转化为协变导数的变化：
考虑一个向量场 $V$。其李导数为：
$$ mathcal{L}_X V = [X, V] $$
其中 $[X, V]$ 是 $X$ 和 $V$ 的李括号 (Lie bracket)，定义为：
$$ [X, V]^k = X^j abla_j V^k V^j abla_j X^k $$
将协变导数的定义代入李括号的公式：
$$ [X, V]^k = X^j left( frac{partial V^k}{partial x^j} + Gamma^k_{mj} V^m ight) V^j left( frac{partial X^k}{partial x^j} + Gamma^k_{mj} X^m ight) $$
$$ [X, V]^k = X^j frac{partial V^k}{partial x^j} V^j frac{partial X^k}{partial x^j} + X^j Gamma^k_{mj} V^m V^j Gamma^k_{mj} X^m $$
我们可以看到，李导数（在这里是李括号）包含了向量场 $V$ 的 方向导数（即 $X^j frac{partial V^k}{partial x^j}$）以及涉及到克里斯托费尔符号的项。
d) 在特殊情况下，两者可以有更紧密的联系：
平行向量场: 如果一个向量场 $V$ 是沿着向量场 $X$ 方向平行的，也就是说 $ abla_X V = 0$，那么 $V$ 的李导数 $mathcal{L}_X V = [X, V]$ 会是什么呢？这取决于 $X$ 本身。如果 $X$ 是一个 Killing 向量场（即它保留度量），那么 $[X, V]$ 的行为会更特殊。
度量张量: 度量张量 $g$ 的李导数表示的是度量张量在流形变换下的变化。如果度量张量是固定的（如在黎曼流形上），那么度量张量的李导数必须为零。这个条件在定义李群和李代数时非常重要。
$$ mathcal{L}_X g_{ij} = 0 $$
展开这个公式，我们发现它与协变导数以及曲率张量有关。
e) 几何意义上的区别：
协变导数 描述的是在 切空间内部 的“扭曲”或“变化”。例如，在一个曲面上，即使你沿着一个方向平行移动一个向量，它的分量也可能因为曲面的弯曲而改变。
李导数 描述的是张量场在 流形上“移动” 的效果。想象一下，你给流形打上标记，然后让它沿着向量场 $X$ 的方向“流动”。李导数就是这个流动过程给张量场带来的变化。
总结联系：
李导数可以使用协变导数来计算。 李导数的定义包含了一个通过协变导数进行的“方向导数”项。
两者都保留张量性。
李导数关注的是流形上的“流动”和“变换”，而协变导数关注的是切空间中的“变化”。
李导数提供了一种计算张量场在流形变换下变化的方法，而协变导数提供了在特定方向上测量张量场变化率的方法。
可以这样理解：协变导数告诉你张量场在“当前位置”的“瞬时变化率”，而李导数告诉你张量场在整个流形“流动”后，“整体变化”。
举个简单的例子：考虑地球表面上的一个向量场，它表示风的方向和强度。
协变导数 告诉你，如果你沿着某条经线（或纬线）移动一个固定长度的距离，风的向量在那个方向上有什么变化。它会考虑地球的曲率。
李导数 告诉你，如果你跟随一段风（即沿着风向移动），风本身的方向和强度会如何变化。
理解李导数和协变导数的关系，是掌握微分几何和几何分析的关键一步。它们在物理学（广义相对论、规范场论）和数学（李群、李代数）中有广泛的应用。
网友意见
滑翔的鸟看流水的速度就是李导数；世界上的航海家说道的航速就是协变导数；我们凝望着日月经天，它们的角速度里既有李导数（关于地球自转）又有协变导数（关于天球度量）。
所以李导数是处在运动中而不自知，协变导数是处在弯曲中而不自知。
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