埃式筛为什么只要筛到根号n就好了？
这个问题问得相当好，也很核心！埃氏筛法之所以只筛到根号 n，是因为它背后的数学原理，而且理解了这一点，你会发现这个算法的设计非常巧妙。
我们来一点点拆解它，就像剥洋葱一样，一层一层地看清楚。
什么是埃氏筛法？
首先，快速回顾一下埃氏筛法的基本操作：
1. 从 2 开始，将所有 2 的倍数标记为合数。
2. 找到下一个未被标记的数（也就是 3），将所有 3 的倍数标记为合数。
3. 重复这个过程：找到下一个未被标记的数（也就是 5），将所有它的倍数标记为合数，直到我们考虑完所有的数。
最后，那些没有被标记的数，就是质数。
核心问题：为什么只需要检查到 $sqrt{n}$？
这里的关键在于一个性质：任何一个合数 $N$，它一定有一个小于或等于它的平方根的质因数。
让我们来证明一下这个性质。
假设 $N$ 是一个合数，那么根据定义，它可以被分解成两个更小的正整数的乘积：
$N = a imes b$
这里，我们假设 $a$ 和 $b$ 都是大于 1 的整数。
现在考虑 $a$ 和 $b$ 的大小关系：
情况一：$a = b$
那么 $N = a imes a = a^2$。
此时，$a = sqrt{N}$。所以，$N$ 有一个因数 $a$，而 $a$ 等于 $sqrt{N}$。
情况二：$a eq b$
不失一般性，我们假设 $a < b$。
如果 $a > sqrt{N}$，那么由于 $a < b$，我们自然就有 $b > sqrt{N}$。
那么 $a imes b > sqrt{N} imes sqrt{N} = N$。
但是我们知道 $a imes b$ 正好等于 $N$。这就产生了矛盾！
所以，为了避免这个矛盾，我们必须接受一个事实：在 $a imes b = N$ 的分解中，至少有一个因数（在 $a < b$ 的假设下就是 $a$）必须小于或等于 $sqrt{N}$。
埃氏筛法的逻辑与 $sqrt{n}$ 的关系
现在，我们把这个性质应用到埃氏筛法上。我们的目标是找出所有小于等于 $n$ 的质数。
埃氏筛法的过程是这样的：
我们用一个数字（我们称它为“筛子”）去筛掉它的倍数。
比如，我们用 2 去筛掉所有 2 的倍数（4, 6, 8, ...）。
然后用 3 去筛掉所有 3 的倍数（6, 9, 12, ...）。
然后用 5 去筛掉所有 5 的倍数（10, 15, 20, ...）。
当我们在筛掉一个合数 $N$ 的倍数时，我们实际上是在执行这个动作：
如果 $N$ 是合数，那么 $N$ 肯定已经被某个更小的质数 $p$ 筛过了（即 $N$ 是 $p$ 的倍数）。
当轮到用 $p$ 去筛掉它的倍数时，所有 $N$ 的倍数（例如 $k imes N$）也都会被筛掉。
而因为 $N$ 本身已经被筛过了，那么当轮到用 $N$ 这个合数去筛掉它的倍数时，这些倍数实际上早已经被 $p$ 或其他更小的质数筛过了。
我们只需要用质数去筛掉它们的倍数。 因为任何合数都一定能被它的最小质因数筛掉。
考虑一个合数 $N le n$。
根据上面证明的性质，我们知道 $N$ 一定有一个质因数 $p$ 满足 $p le sqrt{N}$。
由于 $N le n$，所以 $p le sqrt{N} le sqrt{n}$。
这意味着什么呢？
任何一个小于或等于 $n$ 的合数 $N$，在我们的埃氏筛过程中，它必然会在我们用某个小于或等于 $sqrt{n}$ 的质数 $p$ 来筛掉它的倍数时被标记为合数。
也就是说，我们只要确保我们已经用完了所有小于或等于 $sqrt{n}$ 的质数来筛除它们的倍数，那么所有小于等于 $n$ 的合数就已经都被标记过了。
举个例子，我们想找出 100 以内的质数。
我们需要筛到 $sqrt{100} = 10$。
我们需要用 2, 3, 5, 7 来筛。
用 2 筛掉：4, 6, 8, 10, ..., 100
用 3 筛掉：6, 9, 12, 15, ..., 99
用 5 筛掉：10, 15, 20, 25, ..., 100
用 7 筛掉：14, 21, 28, 35, 42, 49, ..., 98
现在，我们来看看那些还没有被筛掉的数字，比如 11。
11 是质数。
如果 11 是一个合数，那么它一定有一个小于等于 $sqrt{11}$ 的质因数。 $sqrt{11}$ 大约是 3.3。比 3.3 小的质数只有 2 和 3。
11 不是 2 的倍数。
11 不是 3 的倍数。
所以，11 不可能是合数，它必然是质数。
再看一个例子，比如 13。$sqrt{13}$ 大约是 3.6。比 3.6 小的质数是 2, 3。
13 不是 2 的倍数。
13 不是 3 的倍数。
所以 13 是质数。
再看 91。91 的平方根大约是 9.5。比 9.5 小的质数是 2, 3, 5, 7。
91 不是 2 的倍数。
91 不是 3 的倍数 (9+1=10，不能被 3 整除)。
91 不是 5 的倍数 (末尾不是 0 或 5)。
91 是 7 的倍数！ $91 = 7 imes 13$。
你看，当轮到我们用 7 来筛掉它的倍数时，91 就会被标记为合数。而我们之所以能做到这一点，是因为 7 小于等于 $sqrt{91}$。
重点在于：
当埃氏筛进行到某个质数 $p$ 时，它会筛掉所有 $p$ 的倍数。
我们只需要进行到 $sqrt{n}$ 就可以了，因为：
1. 所有小于等于 $sqrt{n}$ 的质数，它们在筛过程中会正确地将它们的倍数标记为合数。
2. 所有大于 $sqrt{n}$ 的合数，它们自身肯定有一个小于等于 $sqrt{n}$ 的质因数。这个质因数在前面的步骤中就已经被用来标记这个合数了。
举个例子，假设我们要找 50 以内的质数，$sqrt{50} approx 7.07$。所以我们要用 2, 3, 5, 7 来筛。
2 会筛掉 4, 6, 8, ..., 50。
3 会筛掉 6, 9, 12, ..., 48。
5 会筛掉 10, 15, 20, ..., 50。
7 会筛掉 14, 21, 28, 35, 42, 49。
现在，考虑一个比 7 大但小于等于 50 的合数，比如 25。$25 = 5 imes 5$。5 小于 $sqrt{25}$，也小于 $sqrt{50}$。所以在用 5 筛的时候，25 就被标记了。
再比如 39。$39 = 3 imes 13$。3 小于 $sqrt{39}$，也小于 $sqrt{50}$。所以在用 3 筛的时候，39 已经被标记了。
再比如 49。$49 = 7 imes 7$。7 小于 $sqrt{49}$，也小于 $sqrt{50}$。所以在用 7 筛的时候，49 被标记了。
再比如 38。$38 = 2 imes 19$。2 小于 $sqrt{38}$，也小于 $sqrt{50}$。所以在用 2 筛的时候，38 已经被标记了。
最后，剩下的所有未被标记的数字，它们必然没有小于等于 $sqrt{n}$ 的质因数。
如果一个数 $x$ 没有小于等于 $sqrt{x}$ 的质因数，那么它就一定是质数。因为如果 $x$ 是合数，它必然能分解成 $a imes b$，而其中至少有一个因子（比方说 $a$）是小于等于 $sqrt{x}$ 的。
所以，当埃氏筛法执行完用所有小于等于 $sqrt{n}$ 的质数去筛除倍数的步骤后，所有小于等于 $n$ 的合数都已经因为存在一个小于等于 $sqrt{n}$ 的质因数而被标记了。剩下的未被标记的数，自然就是小于等于 $n$ 的质数。
总结一下：
任何一个合数 $N$ 都至少有一个小于或等于其平方根 $sqrt{N}$ 的质因数。
埃氏筛法是通过用质数去“筛”掉它们的倍数来工作的。
如果我们要找出所有小于等于 $n$ 的质数，我们只需要用所有小于等于 $sqrt{n}$ 的质数去执行这个筛除操作就足够了。
原因在于，任何一个小于等于 $n$ 的合数 $N$，它一定有一个小于等于 $sqrt{N}$ 的质因数 $p$。而 $sqrt{N} le sqrt{n}$。这意味着，这个质因数 $p$ 一定小于等于 $sqrt{n}$。所以在我们用所有小于等于 $sqrt{n}$ 的质数进行筛除时，这个合数 $N$ 必然会被它的这个“小”质因数 $p$ 筛掉。
因此，当筛到 $sqrt{n}$ 这一步为止时，所有小于等于 $n$ 的合数都已经无一例外地被标记出来了。剩下的未被标记的数，就是我们要找的质数。
这个设计非常简洁高效，因为它避免了不必要的计算。我们不必用比 $sqrt{n}$ 大的质数去筛除它们的倍数，因为这些倍数（如果它们本身小于等于 $n$ 的话）早就被它们更小的质因数筛掉了。
我们来一点点拆解它，就像剥洋葱一样，一层一层地看清楚。
什么是埃氏筛法？
首先，快速回顾一下埃氏筛法的基本操作：
1. 从 2 开始，将所有 2 的倍数标记为合数。
2. 找到下一个未被标记的数（也就是 3），将所有 3 的倍数标记为合数。
3. 重复这个过程：找到下一个未被标记的数（也就是 5），将所有它的倍数标记为合数，直到我们考虑完所有的数。
最后，那些没有被标记的数，就是质数。
核心问题：为什么只需要检查到 $sqrt{n}$？
这里的关键在于一个性质：任何一个合数 $N$，它一定有一个小于或等于它的平方根的质因数。
让我们来证明一下这个性质。
假设 $N$ 是一个合数，那么根据定义，它可以被分解成两个更小的正整数的乘积：
$N = a imes b$
这里，我们假设 $a$ 和 $b$ 都是大于 1 的整数。
现在考虑 $a$ 和 $b$ 的大小关系：
情况一：$a = b$
那么 $N = a imes a = a^2$。
此时，$a = sqrt{N}$。所以，$N$ 有一个因数 $a$，而 $a$ 等于 $sqrt{N}$。
情况二：$a eq b$
不失一般性，我们假设 $a < b$。
如果 $a > sqrt{N}$，那么由于 $a < b$，我们自然就有 $b > sqrt{N}$。
那么 $a imes b > sqrt{N} imes sqrt{N} = N$。
但是我们知道 $a imes b$ 正好等于 $N$。这就产生了矛盾！
所以，为了避免这个矛盾，我们必须接受一个事实：在 $a imes b = N$ 的分解中，至少有一个因数（在 $a < b$ 的假设下就是 $a$）必须小于或等于 $sqrt{N}$。
埃氏筛法的逻辑与 $sqrt{n}$ 的关系
现在，我们把这个性质应用到埃氏筛法上。我们的目标是找出所有小于等于 $n$ 的质数。
埃氏筛法的过程是这样的：
我们用一个数字（我们称它为“筛子”）去筛掉它的倍数。
比如，我们用 2 去筛掉所有 2 的倍数（4, 6, 8, ...）。
然后用 3 去筛掉所有 3 的倍数（6, 9, 12, ...）。
然后用 5 去筛掉所有 5 的倍数（10, 15, 20, ...）。
当我们在筛掉一个合数 $N$ 的倍数时，我们实际上是在执行这个动作：
如果 $N$ 是合数，那么 $N$ 肯定已经被某个更小的质数 $p$ 筛过了（即 $N$ 是 $p$ 的倍数）。
当轮到用 $p$ 去筛掉它的倍数时，所有 $N$ 的倍数（例如 $k imes N$）也都会被筛掉。
而因为 $N$ 本身已经被筛过了，那么当轮到用 $N$ 这个合数去筛掉它的倍数时，这些倍数实际上早已经被 $p$ 或其他更小的质数筛过了。
我们只需要用质数去筛掉它们的倍数。 因为任何合数都一定能被它的最小质因数筛掉。
考虑一个合数 $N le n$。
根据上面证明的性质，我们知道 $N$ 一定有一个质因数 $p$ 满足 $p le sqrt{N}$。
由于 $N le n$，所以 $p le sqrt{N} le sqrt{n}$。
这意味着什么呢？
任何一个小于或等于 $n$ 的合数 $N$，在我们的埃氏筛过程中，它必然会在我们用某个小于或等于 $sqrt{n}$ 的质数 $p$ 来筛掉它的倍数时被标记为合数。
也就是说，我们只要确保我们已经用完了所有小于或等于 $sqrt{n}$ 的质数来筛除它们的倍数，那么所有小于等于 $n$ 的合数就已经都被标记过了。
举个例子，我们想找出 100 以内的质数。
我们需要筛到 $sqrt{100} = 10$。
我们需要用 2, 3, 5, 7 来筛。
用 2 筛掉：4, 6, 8, 10, ..., 100
用 3 筛掉：6, 9, 12, 15, ..., 99
用 5 筛掉：10, 15, 20, 25, ..., 100
用 7 筛掉：14, 21, 28, 35, 42, 49, ..., 98
现在，我们来看看那些还没有被筛掉的数字，比如 11。
11 是质数。
如果 11 是一个合数，那么它一定有一个小于等于 $sqrt{11}$ 的质因数。 $sqrt{11}$ 大约是 3.3。比 3.3 小的质数只有 2 和 3。
11 不是 2 的倍数。
11 不是 3 的倍数。
所以，11 不可能是合数，它必然是质数。
再看一个例子，比如 13。$sqrt{13}$ 大约是 3.6。比 3.6 小的质数是 2, 3。
13 不是 2 的倍数。
13 不是 3 的倍数。
所以 13 是质数。
再看 91。91 的平方根大约是 9.5。比 9.5 小的质数是 2, 3, 5, 7。
91 不是 2 的倍数。
91 不是 3 的倍数 (9+1=10，不能被 3 整除)。
91 不是 5 的倍数 (末尾不是 0 或 5)。
91 是 7 的倍数！ $91 = 7 imes 13$。
你看，当轮到我们用 7 来筛掉它的倍数时，91 就会被标记为合数。而我们之所以能做到这一点，是因为 7 小于等于 $sqrt{91}$。
重点在于：
当埃氏筛进行到某个质数 $p$ 时，它会筛掉所有 $p$ 的倍数。
我们只需要进行到 $sqrt{n}$ 就可以了，因为：
1. 所有小于等于 $sqrt{n}$ 的质数，它们在筛过程中会正确地将它们的倍数标记为合数。
2. 所有大于 $sqrt{n}$ 的合数，它们自身肯定有一个小于等于 $sqrt{n}$ 的质因数。这个质因数在前面的步骤中就已经被用来标记这个合数了。
举个例子，假设我们要找 50 以内的质数，$sqrt{50} approx 7.07$。所以我们要用 2, 3, 5, 7 来筛。
2 会筛掉 4, 6, 8, ..., 50。
3 会筛掉 6, 9, 12, ..., 48。
5 会筛掉 10, 15, 20, ..., 50。
7 会筛掉 14, 21, 28, 35, 42, 49。
现在，考虑一个比 7 大但小于等于 50 的合数，比如 25。$25 = 5 imes 5$。5 小于 $sqrt{25}$，也小于 $sqrt{50}$。所以在用 5 筛的时候，25 就被标记了。
再比如 39。$39 = 3 imes 13$。3 小于 $sqrt{39}$，也小于 $sqrt{50}$。所以在用 3 筛的时候，39 已经被标记了。
再比如 49。$49 = 7 imes 7$。7 小于 $sqrt{49}$，也小于 $sqrt{50}$。所以在用 7 筛的时候，49 被标记了。
再比如 38。$38 = 2 imes 19$。2 小于 $sqrt{38}$，也小于 $sqrt{50}$。所以在用 2 筛的时候，38 已经被标记了。
最后，剩下的所有未被标记的数字，它们必然没有小于等于 $sqrt{n}$ 的质因数。
如果一个数 $x$ 没有小于等于 $sqrt{x}$ 的质因数，那么它就一定是质数。因为如果 $x$ 是合数，它必然能分解成 $a imes b$，而其中至少有一个因子（比方说 $a$）是小于等于 $sqrt{x}$ 的。
所以，当埃氏筛法执行完用所有小于等于 $sqrt{n}$ 的质数去筛除倍数的步骤后，所有小于等于 $n$ 的合数都已经因为存在一个小于等于 $sqrt{n}$ 的质因数而被标记了。剩下的未被标记的数，自然就是小于等于 $n$ 的质数。
总结一下：
任何一个合数 $N$ 都至少有一个小于或等于其平方根 $sqrt{N}$ 的质因数。
埃氏筛法是通过用质数去“筛”掉它们的倍数来工作的。
如果我们要找出所有小于等于 $n$ 的质数，我们只需要用所有小于等于 $sqrt{n}$ 的质数去执行这个筛除操作就足够了。
原因在于，任何一个小于等于 $n$ 的合数 $N$，它一定有一个小于等于 $sqrt{N}$ 的质因数 $p$。而 $sqrt{N} le sqrt{n}$。这意味着，这个质因数 $p$ 一定小于等于 $sqrt{n}$。所以在我们用所有小于等于 $sqrt{n}$ 的质数进行筛除时，这个合数 $N$ 必然会被它的这个“小”质因数 $p$ 筛掉。
因此，当筛到 $sqrt{n}$ 这一步为止时，所有小于等于 $n$ 的合数都已经无一例外地被标记出来了。剩下的未被标记的数，就是我们要找的质数。
这个设计非常简洁高效，因为它避免了不必要的计算。我们不必用比 $sqrt{n}$ 大的质数去筛除它们的倍数，因为这些倍数（如果它们本身小于等于 $n$ 的话）早就被它们更小的质因数筛掉了。
网友意见
理由很简单。如果 含有大于 的素因子，那么它一定也同时含有小于 的素因子。于是，如果它不含小于 的素因子，那么它也一定不会再有大于 的素因子。
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