薛定谔方程与狄拉克方程的区别是什么？

好的，我们来聊聊薛定谔方程和狄拉克方程，这两位可都是量子力学领域的大人物，但它们之间有着本质的区别，就像一个描述的是基本粒子在普通世界里的运动，另一个则是在更深邃的、考虑相对论的宇宙中的行为一样。

薛定谔方程：量子世界的“牛顿定律”

首先，咱们得从薛定谔方程说起。这个方程是量子力学的基石，由埃尔温·薛定谔在1926年提出。你可以把它想象成量子世界里的“牛顿第二定律”，它描述了量子系统的状态随时间如何演化。

核心思想：波函数（Ψ）

薛定谔方程的核心是“波函数”，我们通常用希腊字母 Ψ (psi) 来表示它。这个波函数不是一个具体的物理量，而是描述粒子“状态”的一种数学工具。它的模平方（|Ψ|²）代表了在某个位置发现粒子的概率密度。也就是说，波函数告诉我们粒子在哪儿出现的可能性有多大。

方程的形式（时间无关）：

我们常常会遇到两种形式的薛定谔方程：时间无关和时间有关。先来看时间无关的，它描述的是系统处于一个稳定的能量状态时的情形：

$$ hat{H}Psi = EPsi $$

这里面：

$hat{H}$ 是“哈密顿算符”。你可以理解它代表了系统的总能量。它包含了粒子的动能和势能等信息。比如，对于一个粒子，它的动能项通常是 $frac{hbar^2}{2m} abla^2$，势能项就是我们熟悉的 $V(r)$。
$Psi$ 就是我们前面提到的波函数。
$E$ 是系统的能量，是一个具体的数值，代表了该能量状态下的粒子拥有的能量。

这个方程本身是一个特征值方程。它告诉我们，当哈密顿算符作用在波函数上时，会得到波函数本身乘以一个常数（能量 $E$）。这就像数学上求一个向量的特征向量一样，特征向量在算符作用下只是被拉伸或缩短，方向不变。在量子力学中，能被哈密顿算符作用后只乘以一个常数的波函数就对应着系统的一个稳定能级。

时间有关：

而描述系统状态随时间如何变化的，是时间有关的薛定谔方程：

$$ ihbarfrac{partial}{partial t}Psi(r,t) = hat{H}Psi(r,t) $$

这里面：

$i$ 是虚数单位。
$hbar$ 是约化普朗克常数（普朗克常数除以 $2pi$）。
$frac{partial}{partial t}$ 表示对时间求偏导数。

这个方程更像是我们理解“运动”的直接体现。它告诉我们，系统状态随时间的变化率，是由系统的总能量（哈密顿算符作用在波函数上）和虚数单位决定的。

薛定谔方程的“世界观”：非相对论性

最关键的一点来了：薛定谔方程是非相对论性的。这意味着它没有考虑光速的限制，也没有考虑到狭义相对论中的一些效应，比如动量和能量之间的 $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$ 关系。它主要适用于描述粒子速度远小于光速的情况，比如原子中的电子在较低能级运动，或者宏观物体的量子行为（虽然很少见）。

局限性：

正因为是非相对论性的，薛定谔方程在描述高速运动的粒子时就会出现问题，而且它也无法解释一些重要的物理现象，比如：

电子的自旋： 薛定谔方程本身并不包含自旋这个概念。
反物质的出现： 薛定谔方程只能描述物质粒子，无法预测反物质的存在。
粒子产生和湮灭： 它也无法描述粒子是如何产生或相互湮灭的。

狄拉克方程：拥抱相对论的粒子描述

正是为了克服这些局限性，保罗·狄拉克在1928年提出了狄拉克方程。狄拉克的目标是将量子力学和狭义相对论结合起来，建立一个既能描述量子现象又能处理高速运动粒子的统一理论。

核心目标：相对论性量子力学

狄拉克方程的核心目标是建立一个“相对论性量子力学”方程。他希望这个方程能够：

1. 遵循洛伦兹协变性： 也就是说，在不同的惯性参考系下，方程的形式应该保持不变。这是狭义相对论的基本要求。
2. 包含自旋： 能够自然地导出电子的自旋以及自旋磁矩。
3. 解释反物质： 甚至能够预测反物质的存在。

方程的形式：矩阵与旋量

狄拉克方程的数学形式要复杂得多，它不是作用在一个简单的标量波函数上，而是作用在所谓的“旋量”（spinor）上。一个旋量通常是一个四维的复向量（或者说，一个 $4 imes 1$ 的列向量），它包含了描述粒子的所有信息。

狄拉克方程的标准形式是这样的：

$$ (ihbargamma^mupartial_mu mc)psi = 0 $$

我们来拆解一下：

$i$：虚数单位。
$hbar$：约化普朗克常数。
$gamma^mu$：这是四种狄拉克矩阵（或称伽马矩阵）。它们不是普通的数字或矩阵，而是满足特定代数关系的 $4 imes 4$ 的复数矩阵。例如，它们满足 $gamma^mugamma^ u + gamma^ ugamma^mu = 2eta^{mu u}I$，其中 $eta^{mu u}$ 是闵可夫斯基度规张量， $I$ 是 $4 imes 4$ 的单位矩阵。这些矩阵是狄拉克方程能够包含自旋和相对论性的关键。
$partial_mu$：这是四维的梯度算符，包含了时间和空间导数：$partial_mu = (frac{1}{c}frac{partial}{partial t}, frac{partial}{partial x}, frac{partial}{partial y}, frac{partial}{partial z})$。这个形式保证了方程的洛伦兹协变性。
$m$：粒子的静止质量。
$c$：光速。
$psi$：这就是狄拉克旋量。它是一个四分量的列向量，每个分量都可以被看作是某种状态的概率振幅。狄拉克旋量实际上包含了粒子本身以及其“伴随”信息。

狄拉克方程的“世界观”：相对论性与自旋

狄拉克方程是相对论性的，它成功地将量子力学和狭义相对论融合在一起。它最令人惊叹的成就包括：

1. 自旋的自然出现： 狄拉克方程在数学上要求粒子必须具有自旋 $1/2$ 的属性，并且它能够正确地描述电子的磁矩。这曾经是量子力学中一个需要额外引入的性质，在狄拉克方程中却成了内在属性。
2. 反物质的预言： 狄拉克方程的解出现了负能量态。一开始，狄拉克认为这可能意味着粒子会倾向于掉入这些负能量态，从而产生能量不守恒的问题。但他后来巧妙地提出了“狄拉克海”的概念，认为所有负能量态都被电子填满了，我们观察到的自由电子是“空穴”。而这些空穴，就是我们现在所说的反粒子。比如，电子的反粒子是正电子，它与电子质量相同，电荷相反。狄拉克方程的这个预言后来被实验证实，是理论物理史上最辉煌的成就之一。
3. 洛伦兹协变性： 如前所述，方程的形式在不同参考系下保持不变，完美地符合相对论的要求。

狄拉克方程与薛定谔方程的关系

那么，狄拉克方程和薛定谔方程之间是什么关系呢？

低速近似： 在粒子速度远小于光速 ($v ll c$) 的情况下，狄拉克方程可以近似地退化为薛定谔方程。这意味着薛定谔方程是狄拉克方程的一个在低速极限下的近似版本。所以，在描述原子中的电子等非相对论性情况时，薛定谔方程依然非常有用且准确。
描述的粒子不同： 薛定谔方程通常用于描述没有内在自旋的玻色子（比如光子，虽然更准确的描述是克莱因高登方程），或者将其扩展到自旋粒子时需要额外引入自旋算符。而狄拉克方程天生就是描述费米子（如电子、质子、中子等自旋为 $1/2$ 的粒子）的。

总结一下它们的核心区别：

| 特征 | 薛定谔方程 | 狄拉克方程 |
| : | : | : |
| 相对论性 | 非相对论性（适用于 $v ll c$） | 相对论性（同时考虑了量子力学和狭义相对论） |
| 描述对象 | 主要描述粒子波函数，可扩展至自旋，但非内在 | 自然描述自旋为 $1/2$ 的费米子（如电子） |
| 数学工具 | 作用于标量波函数 Ψ | 作用于四分量旋量 ψ，包含狄拉克矩阵（伽马矩阵） |
| 自旋 | 需要额外引入自旋算符 | 自旋是方程的内在属性，自然导出 |
| 反物质 | 无法解释 | 预言了反物质的存在（通过负能量解） |
| 复杂性 | 相对简单，易于计算 | 数学形式更复杂，涉及矩阵运算 |
| 应用范围 | 原子物理、分子物理、凝聚态物理（低速情况） | 高能物理、粒子物理、描述电子及其相互作用等相对论性效应 |

简单来说，薛定谔方程是我们量子力学入门的“第一课”，它描绘了量子世界在“慢速”运转时的奇妙之处。而狄拉克方程则是“进阶篇”，它更深刻地揭示了宇宙的规律，将量子世界与相对论的严谨结合起来，甚至“看见”了我们肉眼看不见的反物质世界。可以说，狄拉克方程是薛定谔方程在拥抱相对论后的一次华丽升级。

网友意见

这个很笼统啊，能说多少是多少吧

薛定谔方程：

狄拉克方程：

观察这两个方程的形式，形式上的差别主要有以下几点

1 薛定谔方程对于时间和空间的导数的阶数不一致，导致了如果和狭义相对论结合会有问题。

2 狄拉克方程是四分量的，方程里面的也都是四维的矩阵。

3 多余的自由度，使得狄拉克方程中的可以用螺旋度和哈密顿量的共同本征态来标记。这样它就可以包括自旋的结构以及负能解。狄拉克为了解释负能解引入反粒子，这些都是薛定谔方程没有的。

4 就是色散关系的不同，这一点前面的答案也提过了。正是因为线性色散的原因，在石墨烯中是可以存在狄拉克型的方程的（狄拉克点），而且有意思的是它是在非相对论情况的。

狄拉克方程正确的理解应该认为是一个场方程，薛定谔方程也可以理解成一个场方程只不过它不可重整化，在高能下不能用于描述物理，狄拉克方程可以看作是它在高能下的推广。

科研做不动来答个题。其他答主已经把 Schrodinger 方程与 Dirac 方程的区别讲的很清楚了，包括：Dirac 方程对时间和空间导数的阶数是一致的，它是相对论性的波动方程；Dirac 波函数是 4-分量的，它在 Lorentz 变换下满足旋量 (半阶张量) 的变换规律，从而 Dirac 方程具有 Lorentz 不变性；Dirac 方程可以描述带自旋的粒子 (电子)，得到负能量解。下面我主要想从 PDE 的角度谈谈两者数学结构的不同。

• Schrodinger 方程的数学结构

对于单粒子 Schrodinger 方程

可以发现它兼具热方程和波方程的性质。最简单的以自由粒子为例，此时 Schrodinger 方程写为

可以很明显的看到，这和热传导方程的形式几乎一样，唯一不同的是系数 是纯虚的。设

代入 Schrodinger 方程，分离实虚部，得到方程组

进一步令 可以把它们写成矩阵的形式

其中系数矩阵特征值纯虚，因此不是传统意义上的抛物型方程，称为退化抛物型方程组。

下面说明 Schrodinger 方程和波方程性质的相似之处，即时间反演不变性。通常的热方程描述的是热传导和扩散现象，因此是不可逆过程。而对于 Schrodinger 方程，可以简单验证如果 是 Schrodinger 方程的解，那么 也是它的解，也即沿着时间正负向 Schrodinger 方程的可解性相同，因此在求解 Cauchy 问题时，其解算子半群真的构成一个群。

说道 Cauchy 问题，这里就来谈谈如何利用基本解得到一维自由粒子 Schrodinger 方程 Cauchy 初值问题的解。之前说了 Schrodinger 方程与热方程形式上几乎一样，因此形式地可以通过热方程的基本解得到 Schrodinger 方程的基本解，也即直接用 替代热方程基本解里面的 ，得到 Schrodinger 方程的基本解为

其中 是 Herviside 函数。而初值为 的 Cauchy 问题的解为

可以看到，它与热方程的相似之处还在于，初值的小变动在任意短时间内可以影响全直线。

• Dirac 方程的数学结构

对于 Dirac 方程组

是复向量值函数，系数 式对称正定， 是 Hermitian 矩阵。这种形式的一阶 pde 称为一阶 Hermitian 双曲型偏微分方程组，它与一阶对称双曲组的性质与解法几乎一样，都是依赖于能量估计方法。

【对于一阶对称双曲组

其中 对称正定， 对称，可见它与一阶 Hermitian 双曲组结构几乎一样。事实上，令 ，Maxwell 方程组就可以写成一个一阶对称双曲组。利用能量估计方法解 Cauchy 问题 需要过 做弱类空超曲面 (类似于波方程里的特征锥)，即要求 上除 点外光滑，并且 半正定 (顶角很大的锥)，其中 是其法向量。记 平面被 截出来的区域为 ，曲面 夹在 之间的部分为 ，包围的区域为 ，如下图

在这个区域里面考虑双曲组，用 乘双曲组，并且在 上积分，利用 Green 公式，得到

其中 利用 的正定性，区域的有界性，以及 的弱类空性，对上面每一个积分做估计，最终可以得到下面的能量估计式

上式保证了 Cauchy 问题解的唯一性。考虑 在 点的值 ，取过 点的弱类空锥

其中 充分大，由上面的能量估计， 只依赖于 在 上的值，也即初值的扰动具有有限的传播速度，这体现出方程的双曲性。】

现在考虑作为一阶 Hermitian 双曲组的 Dirac 方程，定义 Dirac 波函数 ，概率密度为 . 考虑 Cauchy 初值问题 ，与一阶对称双曲组类似地，我们做光锥面，记 其与平面 的交为 ，此时依然有类似于能量估计的不等式

上式保证了 Cauchy 问题解的唯一性。可见， Dirac 方程初值的扰动传播速度不能超过光速，这是与 Schrodinger 方程的一个重要区别。

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