定点小数的取值范围是怎么推算出来的？
关于定点小数的取值范围推算，这其实是理解它内在表示方式的基础。咱们不讲那些听起来花哨的AI术语，就从最朴实的数字是怎么在计算机里安家的角度来聊。
核心问题：计算机只能存整数，那小数是怎么来的？
计算机的存储单元，最基本的就是二进制位（bit），要么是0，要么是1。直接表示小数在硬件层面是复杂的。所以，我们发明了一种“约定”，一种“规则”，来让这些二进制位也能表现出小数的样子。定点小数就是其中一种早期的、直观的约定。
定点小数的“定点”二字是关键
“定点”的意思就是，小数点的位置是固定的，不会随着数字大小变化而改变。我们事先就规定好了，在某个二进制位之后是整数部分，再往后是小数部分。
如何推算？从二进制的构成说起
咱们先回顾一下二进制数的表示。一个长度为 $n$ 位的二进制数，它的每一位都有一个对应的“权重”，这个权重就是2的幂次方。
最右边（最低位）的权重是 $2^0 = 1$
往左边一位是 $2^1 = 2$
再往左是 $2^2 = 4$，以此类推。
现在，我们把小数点固定在某一个位置。比如，我们有 $N$ 位二进制数，我们约定其中 $F$ 位是小数部分，那么剩下的 $I = N F$ 位就是整数部分。
举个例子，假设我们有一个 8 位的定点小数
最右边的 3 位（$F=3$）作为小数部分。
剩下的 5 位（$I=5$）作为整数部分。
那么，这 8 位二进制数 $b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 . b_2 b_1 b_0$ （这里的点是固定的小数点）代表的实际数值是多少呢？
它的计算方式就是：
$b_7 imes 2^4 + b_6 imes 2^3 + b_5 imes 2^2 + b_4 imes 2^1 + b_3 imes 2^0 + b_2 imes 2^{1} + b_1 imes 2^{2} + b_0 imes 2^{3}$
看到了吧？整数部分权重是正的2的幂次方，小数部分权重是负的2的幂次方。
推算取值范围，就是看能表示的最大值和最小值
有了上面这个计算公式，我们就能推算出这个定点小数的取值范围了。
1. 最大值：
要得到最大值，我们需要让所有能为正的位都取1。
在上面的例子中，所有位都取1，也就是 $11111.111$ (二进制)。
它代表的数值是：
$1 imes 2^4 + 1 imes 2^3 + 1 imes 2^2 + 1 imes 2^1 + 1 imes 2^0 + 1 imes 2^{1} + 1 imes 2^{2} + 1 imes 2^{3}$
= $16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125$
= $31 + 0.875$
= $31.875$
更普遍地来说，对于一个 $N$ 位定点小数，如果固定了 $F$ 位为小数部分，整数部分有 $I = NF$ 位。
那么，最大的整数部分是 $2^I 1$ (当整数部分的 $I$ 位全为1时)。
最大的小数部分是 $1 2^{F}$ (当小数部分的 $F$ 位全为1时，这相当于 $0.111...1$ (F个1)，它的值是 $1 1/2^F$)。
所以，最大的正数是 $(2^I 1) + (1 2^{F})$。
2. 最小值：
这稍微有点不同，取决于我们是否考虑负数。如果只考虑非负数，那么最小值就是 0 (所有位都为0)。
如果考虑负数，那么就需要引入符号位。
无符号定点小数：
在这种情况下，所有 $N$ 位都用来表示大小。最小值为 0。最大值如上所述。
有符号定点小数（以原码为例，最直观）：
通常，我们会用最高位（最左边）作为符号位。0表示正，1表示负。
假设我们还是 8 位，最高位是符号位，剩下 7 位表示大小。其中，小数点后的 3 位仍然是小数位。
那么，整数部分实际有 $I1 = 4$ 位来表示大小（加上符号位后）。
小数部分有 $F = 3$ 位。
正数部分：
符号位为 0。其余位表示大小。
最大的正数就是 $0 underbrace{1111}_{整数} . underbrace{111}_{小数}$ (二进制)。
它代表的值是 $(2^4 1) + (1 2^{3})$
= $(15) + (0.875)$
= $15.875$
负数部分：
最小的负数（绝对值最大）就是用最负的表示。
如果用原码，那就是符号位为 1，其余位表示大小的绝对值。
最小负数（最负）就是 $1 underbrace{1111}_{整数} . underbrace{111}_{小数}$ (二进制)。
它代表的值是 $((2^4 1) + (1 2^{3}))$
= $(15.875)$
所以，在这种带符号的定点小数（原码）中，取值范围大致是 $(2^{N1F} (12^{F}))$ 到 $+(2^{N1F} (12^{F}))$，加上符号位后的整数部分位数会少一个。
其他表示法（如补码）：
如果是补码表示，推算会稍微复杂一点点。在补码中，最小的负数通常比最大正数的绝对值要大一个量级（例如，128 的补码表示是 10000000，而 +127 的补码表示是 01111111）。但核心思想都是一样的：根据二进制位的组合和固定的位置，映射到数值。
假设还是 $N$ 位，其中 1 位是符号位（最高位），剩下的 $N1$ 位表示数值。如果我们再固定 $F$ 位为小数部分，那么整数部分实际有 $N1F$ 位来表示数值的整数部分（加上符号位后）。
在补码中，最小值为 $2^{N1F}$ (最高位是1，其余表示整数部分的位全是0，小数部分也是0)。
最大值为 $2^{N1F} 2^{F}$ (最高位是0，整数部分剩余位全1，小数部分全1)。
总结一下推算的关键点：
1. 总位数 $N$： 决定了能存储的总信息量。
2. 小数位数 $F$： 决定了精度，即能表示多小的非零小数。每多一位小数，最小可表示的非零值就减半 ($2^{F}$)。
3. 整数位数 $I$： 直接决定了表示范围。整数部分位数越多，能表示的整数部分就越大。
4. 符号表示： 如果是有符号数，最高位通常是符号位，这会减少一位用于表示数值大小。
取值范围的公式化表示：
考虑一个 $N$ 位的有符号定点小数，其中最高位是符号位，小数部分有 $F$ 位。那么整数部分用来表示大小的位数就是 $I_{val} = N 1 F$。
最小值（通常是负数）：
如果是补码，最小值为 $2^{I_{val}}$。
如果考虑小数部分，则为 $2^{I_{val}}$。
最大值（正数）：
最大值为 $(2^{I_{val}} 1) + (1 2^{F})$。
化简后是 $2^{I_{val}} 2^{F}$。
所以，在 $N$ 位有符号定点小数（补码），固定 $F$ 位小数的情况下，其取值范围大致是：
$[2^{N1F}, quad 2^{N1F} 2^{F}]$
需要注意的是：
表示精度和范围的权衡： 如果你想表示更大的范围，就需要牺牲小数部分的位数，反之亦然。
溢出： 如果计算结果超出了这个范围，就会发生溢出。
量化误差： 由于小数点位置是固定的，只能表示固定精度的小数，这就导致了量化误差（表示的数值和实际数值之间的差异）。
理解定点小数的取值范围，本质上就是理解二进制如何通过“小数点位置的约定”来映射实数。它就像是给数字规定了一个“尺子”，这把尺子有固定的刻度精度，并且能测量从某个最小值到某个最大值的长度。这个“尺子”的长度和精度是由我们事先分配的二进制位数决定的。
核心问题：计算机只能存整数，那小数是怎么来的？
计算机的存储单元，最基本的就是二进制位（bit），要么是0，要么是1。直接表示小数在硬件层面是复杂的。所以，我们发明了一种“约定”，一种“规则”，来让这些二进制位也能表现出小数的样子。定点小数就是其中一种早期的、直观的约定。
定点小数的“定点”二字是关键
“定点”的意思就是，小数点的位置是固定的，不会随着数字大小变化而改变。我们事先就规定好了，在某个二进制位之后是整数部分，再往后是小数部分。
如何推算？从二进制的构成说起
咱们先回顾一下二进制数的表示。一个长度为 $n$ 位的二进制数，它的每一位都有一个对应的“权重”，这个权重就是2的幂次方。
最右边（最低位）的权重是 $2^0 = 1$
往左边一位是 $2^1 = 2$
再往左是 $2^2 = 4$，以此类推。
现在，我们把小数点固定在某一个位置。比如，我们有 $N$ 位二进制数，我们约定其中 $F$ 位是小数部分，那么剩下的 $I = N F$ 位就是整数部分。
举个例子，假设我们有一个 8 位的定点小数
最右边的 3 位（$F=3$）作为小数部分。
剩下的 5 位（$I=5$）作为整数部分。
那么，这 8 位二进制数 $b_7 b_6 b_5 b_4 b_3 . b_2 b_1 b_0$ （这里的点是固定的小数点）代表的实际数值是多少呢？
它的计算方式就是：
$b_7 imes 2^4 + b_6 imes 2^3 + b_5 imes 2^2 + b_4 imes 2^1 + b_3 imes 2^0 + b_2 imes 2^{1} + b_1 imes 2^{2} + b_0 imes 2^{3}$
看到了吧？整数部分权重是正的2的幂次方，小数部分权重是负的2的幂次方。
推算取值范围，就是看能表示的最大值和最小值
有了上面这个计算公式，我们就能推算出这个定点小数的取值范围了。
1. 最大值：
要得到最大值，我们需要让所有能为正的位都取1。
在上面的例子中，所有位都取1，也就是 $11111.111$ (二进制)。
它代表的数值是：
$1 imes 2^4 + 1 imes 2^3 + 1 imes 2^2 + 1 imes 2^1 + 1 imes 2^0 + 1 imes 2^{1} + 1 imes 2^{2} + 1 imes 2^{3}$
= $16 + 8 + 4 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125$
= $31 + 0.875$
= $31.875$
更普遍地来说，对于一个 $N$ 位定点小数，如果固定了 $F$ 位为小数部分，整数部分有 $I = NF$ 位。
那么，最大的整数部分是 $2^I 1$ (当整数部分的 $I$ 位全为1时)。
最大的小数部分是 $1 2^{F}$ (当小数部分的 $F$ 位全为1时，这相当于 $0.111...1$ (F个1)，它的值是 $1 1/2^F$)。
所以，最大的正数是 $(2^I 1) + (1 2^{F})$。
2. 最小值：
这稍微有点不同，取决于我们是否考虑负数。如果只考虑非负数，那么最小值就是 0 (所有位都为0)。
如果考虑负数，那么就需要引入符号位。
无符号定点小数：
在这种情况下，所有 $N$ 位都用来表示大小。最小值为 0。最大值如上所述。
有符号定点小数（以原码为例，最直观）：
通常，我们会用最高位（最左边）作为符号位。0表示正，1表示负。
假设我们还是 8 位，最高位是符号位，剩下 7 位表示大小。其中，小数点后的 3 位仍然是小数位。
那么，整数部分实际有 $I1 = 4$ 位来表示大小（加上符号位后）。
小数部分有 $F = 3$ 位。
正数部分：
符号位为 0。其余位表示大小。
最大的正数就是 $0 underbrace{1111}_{整数} . underbrace{111}_{小数}$ (二进制)。
它代表的值是 $(2^4 1) + (1 2^{3})$
= $(15) + (0.875)$
= $15.875$
负数部分：
最小的负数（绝对值最大）就是用最负的表示。
如果用原码，那就是符号位为 1，其余位表示大小的绝对值。
最小负数（最负）就是 $1 underbrace{1111}_{整数} . underbrace{111}_{小数}$ (二进制)。
它代表的值是 $((2^4 1) + (1 2^{3}))$
= $(15.875)$
所以，在这种带符号的定点小数（原码）中，取值范围大致是 $(2^{N1F} (12^{F}))$ 到 $+(2^{N1F} (12^{F}))$，加上符号位后的整数部分位数会少一个。
其他表示法（如补码）：
如果是补码表示，推算会稍微复杂一点点。在补码中，最小的负数通常比最大正数的绝对值要大一个量级（例如，128 的补码表示是 10000000，而 +127 的补码表示是 01111111）。但核心思想都是一样的：根据二进制位的组合和固定的位置，映射到数值。
假设还是 $N$ 位，其中 1 位是符号位（最高位），剩下的 $N1$ 位表示数值。如果我们再固定 $F$ 位为小数部分，那么整数部分实际有 $N1F$ 位来表示数值的整数部分（加上符号位后）。
在补码中，最小值为 $2^{N1F}$ (最高位是1，其余表示整数部分的位全是0，小数部分也是0)。
最大值为 $2^{N1F} 2^{F}$ (最高位是0，整数部分剩余位全1，小数部分全1)。
总结一下推算的关键点：
1. 总位数 $N$： 决定了能存储的总信息量。
2. 小数位数 $F$： 决定了精度，即能表示多小的非零小数。每多一位小数，最小可表示的非零值就减半 ($2^{F}$)。
3. 整数位数 $I$： 直接决定了表示范围。整数部分位数越多，能表示的整数部分就越大。
4. 符号表示： 如果是有符号数，最高位通常是符号位，这会减少一位用于表示数值大小。
取值范围的公式化表示：
考虑一个 $N$ 位的有符号定点小数，其中最高位是符号位，小数部分有 $F$ 位。那么整数部分用来表示大小的位数就是 $I_{val} = N 1 F$。
最小值（通常是负数）：
如果是补码，最小值为 $2^{I_{val}}$。
如果考虑小数部分，则为 $2^{I_{val}}$。
最大值（正数）：
最大值为 $(2^{I_{val}} 1) + (1 2^{F})$。
化简后是 $2^{I_{val}} 2^{F}$。
所以，在 $N$ 位有符号定点小数（补码），固定 $F$ 位小数的情况下，其取值范围大致是：
$[2^{N1F}, quad 2^{N1F} 2^{F}]$
需要注意的是：
表示精度和范围的权衡： 如果你想表示更大的范围，就需要牺牲小数部分的位数，反之亦然。
溢出： 如果计算结果超出了这个范围，就会发生溢出。
量化误差： 由于小数点位置是固定的，只能表示固定精度的小数，这就导致了量化误差（表示的数值和实际数值之间的差异）。
理解定点小数的取值范围，本质上就是理解二进制如何通过“小数点位置的约定”来映射实数。它就像是给数字规定了一个“尺子”，这把尺子有固定的刻度精度，并且能测量从某个最小值到某个最大值的长度。这个“尺子”的长度和精度是由我们事先分配的二进制位数决定的。
网友意见
你在问题里说取值范围是“-(1-2^-n)到(1-2^-n)”是不准确的，这只是反码(1's complement)表示的范围。但最最常用的是补码(2's complement)，所以取值范围是-1到(1-2^-n)。你只用抓住二进制的本质就行了，N bit的二进制数，只有2^N种排列组合方式，也就是最多只能表示实数轴上的2^N个点。定点的好处是它是线性的，且相邻两点之间的距离是均匀的。相邻两点之间的距离等于多少（也就是定点表示的精度），取决于你的小数点打在哪里。而小数点打在哪里同时也决定了表示的数值范围。
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