宇宙是不连续的，那为什么微积分可以成立？
这确实是个矛盾，但我们不能简单地认为微积分“不适用于”宇宙。事实上，微积分之所以能成立，以及它为何能描述我们观察到的宇宙，是因为：
1. 宏观尺度下的“近似连续性”：
宇宙最根本的组成单位是什么？如果我们说“宇宙是不连续的”，那么我们可能指的是量子力学中的某些概念，比如普朗克尺度下空间和时间的离散化，或者能量的量子化。在这些极小的尺度下，我们确实无法像描述一个平滑的曲线那样去理解。
但是，我们要明白，我们通常用微积分来描述的是宏观世界，是我们肉眼可见的、仪器能够测量的尺度。在这些尺度上，无论物质是由多少个基本粒子构成，它们集合在一起表现出来的性质，都趋近于一种“连续”的状态。
想象一下，一个由无数个非常小的、不连续的点组成的图像。如果你离得足够远，或者放大到足够大的程度，这些点就融合成一片，看起来就是平滑的、连续的。宇宙中的粒子太多了，它们之间的距离相对于它们的自身尺度来说也很大，所以宏观上，我们看到的物质和能量的分布、运动变化，都可以被很好地近似为连续的。
微积分的核心思想就是“无限分割，趋近于零”。它允许我们把一个物体想象成无数个无穷小的部分，然后分析这些无穷小的变化累积起来会怎么样。即便最微观的粒子是有边界的，数量如此庞大的粒子聚合在一起，在我们的测量能力范围内，其整体行为就表现出了一种极强的“连续”特征。
2. 微积分的本质是“逼近”和“极限”：
微积分之所以能成立，正是因为它不依赖于绝对的连续性，而是依赖于“极限”的概念。它的核心在于研究当一个量变得无穷小的时候，另一个量会如何变化。
举个例子，当我们计算一个物体的瞬时速度时，我们并不是真的在某个“零时刻”去测量，而是观察它在极短时间间隔内的位移变化。我们取的这个时间间隔越小，计算出的速度就越接近真实的瞬时速度。当这个时间间隔趋向于零时，我们得到的那个值就是我们定义的瞬时速度。这个过程就是极限的应用。
即使宇宙在最深层是不连续的，微积分也能够通过这种无限逼近的方式，非常精确地捕捉到那些宏观上表现出来的连续变化趋势。就像用一张足够精细的像素图，即使放大到某个程度可以看到单个像素，但整体图像的连续性和美感仍然存在。
3. 科学的建模和适用范围：
科学研究的一个重要方法就是建立模型来描述自然现象。微积分是物理学、工程学等领域最基本、最有效的数学模型之一。这些模型之所以能成立，是因为它们在特定的适用范围内，能够非常准确地预测和解释观测到的现象。
比如，牛顿用微积分描述了万有引力定律，这一定律在行星运动、天体运行等宏观尺度上取得了惊人的成功。尽管我们现在知道引力在微观尺度下会有量子效应，但对于我们日常遇到的情况，牛顿定律和基于微积分的计算仍然是精确到令人难以置信的。
这意味着，即使宇宙在最底层有不连续的特性，但这些不连续性在宏观上造成的偏差，可能小到在我们现有的观测和计算能力范围之内可以忽略不计，或者说，微积分提供的“近似连续性”已经足够精确地捕捉到宏观世界的规律了。
4. 数学是人类理解自然的工具，而非自然本身的直接映射：
我们使用数学工具来理解宇宙，但数学本身并不一定需要完全等同于宇宙的真实底层构造。微积分是一个非常强大的数学框架，它能够以简洁优美的形式，描述变化的速度、累积的总量等等。它之所以能“成立”并被广泛应用，是因为它在描述和预测我们能够感知和测量的宇宙现象时，表现出了无与伦比的有效性。
换句话说，微积分的“成立”是基于它能够成功地与我们的观测经验对接，并且在各种应用中展现出极高的预测能力。即便宇宙在最微观的层面存在我们尚未完全理解的“不连续”之处，微积分提供的这种“近乎连续”的描述，已经足以让我们构建出宏伟的科学体系，从简单的抛物线到复杂的量子场论的某些方面，都离不开它的身影。
总结一下：
宇宙在最微观的尺度下可能是离散的，但我们用微积分描述的是宏观世界。在宏观尺度上，粒子数量庞大且分布广泛，使得物质和能量的表现趋近于连续。更重要的是，微积分的威力在于其“极限”和“逼近”的思想，它能够捕捉到这些“近乎连续”的变化规律。科学建模的有效性也证明了，在我们的观测和应用范围内，微积分是一个极其强大的工具，它准确地描述了我们所理解的宇宙。即便宇宙的底层构造比我们最初想象的更复杂，微积分作为一种强大的数学语言，仍然是理解和描述其宏观规律的基石。
网友意见
实名反对所有高赞答案，你们走远了，这题小学二年级学过。
题主的问题可以简单叙述为：微积分可以积不连续函数吗？
先说严格的标准回答，非数学专业的可以直接跳过看最后的例子：
一个函数 是可 可积的（后面简称黎曼可积，黎曼积分是大家高数里学的那类积分方法），记为 ，其中 是单调增函数。
定理1：假设 在区间 上有界，存在有限个间断点（不连续点）， 在 的每个间断点上连续，那么 .
证明：（只给思路，看得懂思路就看得懂过程，看不懂思路过程给了也没用）因为 有界，间断点有限，设使 间断的点组成的集为 ，所以存在一个开覆盖（ ）盖住 。然后取 上的分划 ( ) 使得 包含 中每个元素，则因为 连续，涵盖这部分间断点的地方可做黎曼和，则可积；另一部分 ，就是 中不含 的那部分元素，因为这部分 是连续的，所以也可以积，故区间 上 可积。
定理2：设单位阶跃函数（ ）为： ，如果 ， 在 上有界， 在 点连续（右连续即可），而 ，那么 .
定理3：对 ， ， 收敛， 是 内一串不同的点，且 ， 在 上连续，则： .
标注：定理1说明函数存在间断点依然可通过合适的分划方法来使得 连续，则函数 可积；定理2和定理3说明尽管 不连续，成了阶跃函数（像阶梯一样一层一层的），函数 依然可积。
那么我们就可以尝试将 积分转化为简单的黎曼（ ）积分。啥意思呢？就是这个式子：
可能就有人问了，这不是显然的吗？ 是 ，把右边的 换成 不就成了，这还要证？对。要证，找分划方法，然后证明黎曼和为积分就行，具体就不展开讲了。
所以，综上！我们可以得出今天的重大结论了：
级数和黎曼积分在多数情形下可视为同一个东西
多数情况？哪些？就是上面给出的那些，比如 连续但 间断阶跃，或者 有限间断但 连续，总之，除非人为故意构造一些极其特别的函数，一般来说都是黎曼可积的，也就是积分和级数可以视为同一个东西。
举个例子（摘自 Rudin 数学分析 6.18）：
设一根长度为1的直导线绕着一个轴旋转，导线关于轴的惯性矩是： ，其中 是导线关于导线长度的质量，定义在区间 上， 是导线长度。那么有两种情况：导线密度 是连续的，即 ，则可得惯性矩为： ；另一种情况：导线密度不是连续的，而是集中在某些点 上，该点上质量为 ，则惯性矩为： .
可以根据之前的定理得知这两种情形都是等价的，即： ，他们的本质都是可以做黎曼积分的。
这两种情况可能就是题主容易产生混淆的两种，认为之前我们的世界是第一种所以积分是可行的，但现在世界是量子化的（第二种情况），所以积分不行了。但通过回归微积分的原始定义和构造方法，我们可以很自信地继续使用微积分来处理量子世界。
标注：不要评论说在知乎上写这些东西没人看得懂所以不让我写，谢谢。我纯粹是来复习作业题的。而且，这么严格标准的答案才对得起这么直指人心的问题鸭。
======updated:2020-11-20 现在来尝试补充微分的可行性======
假定现实世界是具有量子性质的，即是有最基本的不可再分的单元的（比如原子，假设原子电子中微子都不影响讨论，只要有一个最小单位尺寸就行）。
我们看这样一个函数： ，其中中括号是取整函数，比如 .
这个函数明显不连续，所以肯定是不可微的。如果世界的组成是连续的，则函数应该是像 这样，而不是量子化的 ，求出来的微分函数应该是 而不是 .
所以我们的做法是退化成级数，回归黎曼积分最原始的定义，构造黎曼积分就是在构造级数，使得上级数和等于下级数和，则此时的数值为积分值。那么反过来，微分至少需要连续才能微，不连续就不可能微，便只能退化到级数形式来求出通项。比如这里的函数 写成级数是 ，则通项是： ，这是不是很符合我们想要的结果？
所以现实世界是什么样的我们先放着不去讨论，我们假设现实世界就是不连续的，但多一个条件，就是现实世界具备一个基本的量子尺度，即这个尺度是所有物质尺度的最小公因子，低于这个尺度的讨论是无意义的。那么，我们就可以利用这类取整函数来处理之前认为世界是连续的所得出来的函数，使得这类函数退化成级数，失去连续性但依然可以求“导”（求通项），而且计算出来的结果也是和之前假定的连续函数结果一致。
也有的方法是把不连续的函数延拓到复平面来构造一个连续函数从而可微，严格的证明我日后再来补充吧，总之目的地都是一样的。我只想说，微积分的方法对于连续的问题可以解决得很好，对于不连续的问题，给出一些合理的限制后照样可以解决得很好。
P.S. 民科一下，我其实认为世界是连续的，什么普朗克尺度的都是构造出来的毫无意义的理论，说白了，我还是一个波动学说的坚定拥护者呢，才不相信什么波粒二象性。。（民科无疑了。。）
首先是因为你读的科普读物没有正确解释“普朗克尺度”：这根本就不是说宇宙在空间上不连续。
在粒子物理与物理宇宙学等领域中，普朗克尺度指约1.22E28电子伏特的能量尺度，按质能等价原理相当于普朗克质量2.17645E-8千克，通过自然单位制之间的关联，可以得出普朗克尺度对应的长度和时间，但认定宇宙以此为单位分断是不被当前的观测事实支持的。2020年发表的一项研究给出了十分偶然的观测数据：
- ESPRESSO对准了一团180亿光年外的气体云，它后面有个明亮的光源。气体云中存在铁原子，能以特定的波长吸收背景光。从地球上的我们看来，如果时空是连续的，那么由气体云导致的背景光间隙应该和气体云就在我们旁边时一样狭窄。如果时空是离散的，那么在数十亿光年范围内传播的光将会扩散开来，改变间隙的宽度。
- 结果是，ESPRESSO没有发现任何时空离散的迹象。
- 这意味着，如果时空离散，那我们需要超过180亿光年距离上的此类偶然目标才能用目前的技术观测到它的迹象。这些研究结果已经足以排除一些量子引力模型。
- 在普朗克尺度下，引力的强度和其它基本力分庭抗礼，引力的不可重整化成为严峻问题，不能继续使用目前描述亚原子粒子的量子场论。现在人类还没有建立起完整的量子引力论来解决这些问题。
其次是因为微积分的成立根本不需要靠“宇宙连续”作为前提，而且你不觉得微积分里的各种间断点就已经动摇了你的前提么。
微积分并不要求“函数连续”，就连狄利克雷函数那样处处不连续的东西也只是黎曼不可积，可以使用勒贝格积分。
逻辑自洽的数学体系不需要靠“现实”充当证据，你在一个真正不连续的宇宙里仍然可以创立和使用描述连续变化的数学。同样地，能够创立连续的或离散的数学模型，都不代表宇宙本身的连续或离散。
数学理论只要自洽就是成立的。
但是不同的物理模型需要不同的数学。
如果物理世界对应的是离散的，那么相应地，积分就要换成求和，导数会换成差商。
这个答案指出了，求和在理论上可以看作一种积分。
不过，如果积分根本不重要，那么把求和纳入积分理论也用处不大。
我想补充一下，在具体的计算中，求和也可以通过积分来算，也就是欧拉-麦克劳林公式。
也就是说，即使物理模型只用到求和，积分也能在一定程度上发挥作用。
描述真实世界的，可能是微分方程，也可能是差分方程。
一般来说，简单的微分方程更容易得到公式解，但数值计算的情况下差分方程更容易交给计算机求数值解。
微分方程比较容易近似成差分方程，差分方程在一定条件下可以近似成微分方程。
不管描述真实世界的是哪种方程，你研究另一个都不亏。
类似的话题
-
这个问题问得非常深入，触及到了我们理解宇宙和数学工具之间关系的本质。如果宇宙真的在最微观的尺度上是不连续的，那我们每天都在使用的微积分，这个建立在连续性基础上的强大工具，为何还能如此精准地描述和预测宇宙的运行规律呢？这确实是个矛盾，但我们不能简单地认为微积分“不适用于”宇宙。事实上，微积分之所以能成............. -
你这个问题非常有意思，触及到了我们对宇宙本质和数学概念的理解核心。你说“宇宙既然是不连续的”，这其实是个很有趣的切入点，但我们得先梳理一下这个前提是否真的成立，以及它和圆周率之间的关系。首先，“宇宙是不连续的”这个说法，我们可以从几个不同的角度去理解。一种理解是基于我们当下最前沿的物理学理论，比如量.............
-
我们之所以不认为地球上的人类文明是宇宙乃至银河系的最早文明，这背后牵扯到一系列科学证据、逻辑推断以及对宇宙广阔性的基本认知。这并非出于某种“傲慢”或“谦虚”，而是基于我们当前所能获取的信息和对宇宙运行规律的理解。首先，要理解这个问题，我们需要认识到宇宙的年龄和规模。 宇宙的年龄： 目前科学界最广.............
-
这个问题很有意思，它触及了我们理解宇宙膨胀和可观测宇宙边界的核心概念。简单来说，我们现在观测到的宇宙“不超过138亿光年”是基于光从宇宙大爆炸发生至今传播的时间长度来定义的，而你提到的“视界宇宙半径465亿光年”则是描述当前我们能够观测到的、被大爆炸后宇宙膨胀推离到我们视线之外的最遥远区域的距离。让.............
-
设想一下，一个毕生奉行唯物主义的学者，他坚信眼见为实，触手可及的物质构成了世界的全部真相。他穷尽一生研究粒子、能量、引力，试图在冰冷的物理定律中找到宇宙运作的蛛丝马迹。他的信仰，就建立在那些可测量、可验证的“实在”之上。那么，当他某一天，通过某种无法解释的、超越了他现有认知体系的证据，被告知整个宇宙.............
-
老罗进军元宇宙，这事儿挺有意思的，也确实让人有点摸不着头脑。毕竟，他自己之前还公开表示过，不太看好元宇宙会成为主流，甚至用了“不相信”这样的词。结果现在自己要投身其中，这其中的反差，足以让大家议论纷纷。先说说老罗这人。 罗永浩，一个自带流量的IP。从最初的英语培训，到后来的手机制造，再到如今的直播带.............
-
这是一个非常有趣且深刻的哲学与物理学问题。让我们深入探讨一下“宇宙中是否存在维度概念，或者一切是否仅仅是我们认知的三维形式存在”的可能性。首先，我们需要明确“维度”是什么意思。在物理学中，维度通常指的是描述物体在空间中位置所需的独立坐标的数量。 零维度（0D）： 一个点，没有任何长度、宽度或高度.............
-
你这个问题问得太好了，简直是触及了最根本的哲学和科学的边界。很多人对此都有类似的困惑，觉得这事儿挺“玄乎”的。咱们就来掰扯掰扯，试着用一种更朴实、更生活化的方式来聊聊这个“为什么”。你看啊，咱们平时跟人打交道，得说话，得讲规矩，还得理解对方的意思。比如你跟朋友约个时间见面，你们得有个共识，是上午十点.............
-
这个问题触及了中华文化宇宙观的核心，也确实是个颇耐人寻味的点。如果要探讨为什么中华文化没有发展出类似西方那种“道”存在的“证明”，首先得明白，并非中华文化没有“道”，而是对“道”的认知方式、表达路径和价值取向与西方哲学有着根本性的差异。我们先得厘清一下，这里的“证明”指的是什么？如果指的是那种逻辑演.............
-
彭宇案，无疑是中国社会近年来最具影响力的事件之一。其社会影响之大，以及随之而来的“为什么不积极挽回”的疑问，都指向了一个核心问题：信任的崩塌与重塑。一、 彭宇案的社会影响有多大？为什么说“很大”？彭宇案之所以影响巨大，是因为它不仅仅是一起简单的扶老人摔倒的纠纷，而是触及了中国社会长期存在却又被掩盖的.............
-
杨振宁先生和李政道先生在1956年提出的宇称不守恒理论，确实是物理学领域的一项里程碑式的发现，它打破了人们长期以来认为的基本物理对称性之一。但要理解为何宇称不守恒并不否定能量守恒，我们需要深入探讨一下这两个概念在物理学中的根源和联系。首先，让我们回顾一下宇称守恒。宇称（Parity）是一个描述物理系.............
-
这确实是一个非常尖锐和值得深入探讨的问题。在没有直接探测到暗物质粒子本身的情况下，天文学家和宇宙学家却将其视为宇宙的重要组成部分，这乍一看似乎有些“先入为主”。但如果我们深入了解背后的科学推理和观测证据，就会发现这种“默认”是有着坚实基础的，绝非空穴来风。要理解这个问题，我们得先回到基础。我们对宇宙.............
-
在粒子物理的世界里，宇称（Parity）就像一面镜子，它告诉我们一个物理系统的行为在镜像反演下是否保持不变。简单来说，宇称守恒意味着如果你把整个宇宙镜像一下，粒子的运动规律不会发生任何改变。然而，在20世纪50年代，科学家们发现了一些让人困惑的现象，尤其是在研究一种叫做K介子（Kaon，或称K粒子）.............
-
“感动中国2021”将“宇称不守恒”写成“宇宙不守恒”，这件事引起了不小的争议，也引发了大家对于科学术语、公众传播以及媒体严谨性的讨论。要详细看待这件事，我们可以从以下几个方面来分析：1. 事件本身：一个科学术语的错误翻译/记忆首先，我们需要明确“宇称不守恒”是物理学中的一个重要概念，指的是在某些基.............
-
中纪委网站关于“理性看待元宇宙”的文章，我觉得挺有意思的，也挺实在的。它不像是那种纯粹的技术吹捧，而是带着一股“盯住看、但别瞎扑腾”的稳健劲儿。首先，它提出的那个“不低估510年的机会，也不高估12年的演进变化”，这个时间维度就很有分量。它把元宇宙这个概念，从一个虚无缥缈的流行词，拉回到了一个相对现.............
-
这个问题确实挺有意思，就像是有人觉得我们现在用鼠标键盘操作电脑太麻烦了，不如直接把大脑“挪”出来，想怎么折腾就怎么折腾。当然，把大脑丢培养基里做实验，这想法听起来挺科幻，也挺让人不寒而栗的，但咱们不妨顺着这个思路，仔细掰扯一下，为什么我们现在不去这么干，以及元宇宙和直接“挖脑”之间，究竟有多少天壤之.............
-
卡尔达舍夫等级，这个由苏联天文学家尼古拉·卡尔达舍夫提出的文明划分体系，无疑在科幻界占据了举足轻重的地位。它以文明能够掌握和利用的能源总量为衡量标准，将文明划分为三个等级：能够利用行星全部能源的第一类，掌握恒星全部能源的第二类，以及驾驭整个星系能量的第三类。这个框架提供了一种宏大而又直观的视角，让我.............
-
人类探索宇宙，似乎是个宏大而浪漫的追求，但当我们低头看向地球，那片几乎占据了星球表面70%的蔚蓝汪洋，却隐藏着同样令人着迷的未知。为什么我们似乎总把目光投向遥远的星辰，而对脚下这片深邃的海洋显得有些“冷淡”？这背后，其实牵扯着一系列复杂的原因，从技术门槛到现实考量，甚至潜藏着我们对未知风险的不同解读.............
-
这个问题触及了物理学和哲学中一个非常核心的争论点——概率的本质。你提出的观点很有意思，认为宇宙中不存在真正的概率事件，概率只是我们无知的表现。这是一种决定论的视角，在历史上也曾是主流思想。我们不妨来深入探讨一下，并看看它与量子力学中的概率概念有什么冲突与联系。首先，咱们说说你提出的“概率源于无知”这.............
-
精细结构常数的新发现：我们宇宙的“方向感”可能比我们想的更强长期以来，我们看待宇宙的方式，就像一位对所有方向都一视同仁的观察者。无论我们看向哪个方向，宇宙的物理定律都应该遵循相同的规则，这便是“宇宙学原理”的核心思想——宇宙的各向同性。然而，近年来一些物理学家对这一基本假设提出了挑战，他们通过观测遥.............
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2025 tinynews.org All Rights Reserved. 百科问答小站 版权所有