牛顿是怎么推导出万有引力的？
牛顿老爷子导出万有引力，这可不是一蹴而就的事儿，中间藏着不少故事和思考。咱们一点点捋捋。
首先得明白牛顿之前的人们是怎么看待天体运动的。主流思想是亚里士多德那一套，认为地球是宇宙中心，月亮、太阳和星星都围绕着它转。后来哥白尼给出了日心说的观点，认为太阳才是中心，地球和其他行星绕着它转。但哥白尼并没有解释清楚为什么会这样转。
再后来，开普勒这位老兄就厉害了。他通过第谷·布拉赫留下的海量天文观测数据，总结出了三大行星运动定律。这三大定律，特别是第二定律（行星绕日运行时，在相等时间内扫过相等的面积）和第三定律（行星绕日公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比），给出了行星运动的精确描述。但开普勒也说不清楚这背后是什么原因导致行星这么运动。
牛顿就是在这个基础上开始深入思考的。他脑子里一直有个念头：天上的东西和地上的东西，遵循的是同一套规律。这可不是什么理所当然的事情，在当时，很多人觉得天上的“神圣”运动和地上凡俗的运动是两码事。牛顿打破了这个思维定势。
他最著名的一个例子就是那个“苹果落地”的故事。当然，这个故事可能经过了后人的浪漫化加工，但核心意思对。牛顿看着苹果从树上掉下来，他会想：为什么苹果会掉下来？为什么它不会飞向天空，或者飞到旁边去？是因为地球有一个“拉力”，把它拉向自己。
然后，牛顿就开始推而广之了。他想：如果地球能拉住苹果，那地球能不能拉住月亮呢？月亮虽然不像苹果那样“掉”下来，但它一直在绕着地球转圈。一个物体在匀速直线运动时，如果没有外力作用，它会一直直着走。但月亮却一直在改变方向，绕着地球转，这说明月亮也一定受到了地球的某种“拉力”，这个拉力让它不断地靠近地球，但同时它又有向前的速度，所以就形成了一种既靠近又不会撞到一起的“绕圈”运动。这就是我们现在说的“惯性”和“向心力”的概念。
牛顿用开普勒第三定律来验证他的猜想。他假设，这个地球拉住月亮的力，和地球拉住苹果的力，它们的性质是一样的，并且都遵循“平方反比”的规律。也就是说，力的大小和距离的平方成反比。比如，如果距离是原来的两倍，力就变成原来的四分之一。
他这样设想：
1. 地球对月球的作用力，和地球对苹果的作用力，是同一种力。
2. 这个力的大小，与物体的质量成正比（这是他后来才慢慢明确的，但一开始可能就有直觉）。
3. 这个力的大小，与距离的平方成反比。
有了这几个假设，他就可以开始数学推导了。他知道月球绕地球运动的轨道近似是圆形的，或者说是一个椭圆（开普勒已经证明是椭圆，但牛顿为了简化计算，一开始可能会先用圆形来近似）。
对于一个做圆周运动的物体，所需的向心加速度是 $a = v^2/r$，其中 $v$ 是速度，$r$ 是轨道半径。而速度 $v$ 又可以通过周长除以周期 $T$ 来计算：$v = 2pi r / T$。
把 $v$ 代入加速度公式，就得到 $a = (2pi r / T)^2 / r = 4pi^2 r / T^2$。
牛顿知道开普勒的第三定律：行星绕日公转周期的平方 ($T^2$) 与轨道半长轴的立方 ($r^3$) 成正比，可以写成 $T^2 = k r^3$，其中 $k$ 是一个常数（对于绕太阳的行星是这样，对于绕地球的月球，这个常数可能不同，但规律是类似的）。
现在，把 $T^2 = k r^3$ 代入加速度公式：
$a = 4pi^2 r / (k r^3) = (4pi^2 / k) (1/r^2)$
你看，这里的 $(4pi^2 / k)$ 是一个常数，所以加速度 $a$ 就与 $1/r^2$ 成正比！也就是说，加速度和距离的平方成反比。
牛顿的思维是这样的：根据牛顿第二定律，$F = ma$。如果加速度 $a$ 和 $1/r^2$ 成正比，那么作用在月球上的力 $F$ 也一定和 $1/r^2$ 成正比。
但是，万有引力是两个物体之间的引力，它应该跟两个物体的质量都有关。他推测，这个力的大小，也应该跟物体的质量成正比。所以，地球对月球的引力，应该正比于地球的质量和月球的质量，并且反比于它们之间距离的平方。
于是，他写出了万有引力定律的雏形：$F = G (m1 m2) / r^2$，其中 $G$ 就是那个神秘的引力常数。
最关键的一步是，他要证明这个“平方反比”的规律是真的。他用前面算出来的月球的向心加速度，和地面上苹果的加速度来比较。
他知道苹果下落的加速度大约是 $g approx 9.8 m/s^2$。他也知道地球的半径 $R$（大约是6400公里）。月球绕地球的轨道半径 $r_{moon}$ 大约是地球半径的60倍（大约是38万公里）。
如果引力确实遵循平方反比规律，那么月球所受地球的引力，应该比地面上物体所受地球的引力小 $(r_{moon}/R)^2$ 倍。也就是说，月球的加速度应该等于 $g / (r_{moon}/R)^2 = g (R/r_{moon})^2$。
牛顿计算了一下：
$(R/r_{moon})^2 = (6400 ext{ km} / 380000 ext{ km})^2 approx (1/59.4)^2 approx 1/3530$
所以，他期望月球的加速度大约是 $g / 3530 approx 9.8 m/s^2 / 3530 approx 0.00277 m/s^2$。
另一方面，他知道月球绕地球运动的周期 $T_{moon}$ 大约是27.3天。把这个周期换算成秒，并且用上面推导的公式计算月球的向心加速度：
$a_{moon} = 4pi^2 r_{moon} / T_{moon}^2$
当他把数值代进去，算出结果时，发现和前面根据平方反比规律推导出来的数值非常接近！
虽然当时测量地球半径和月球轨道半径的精度不像现在这么高，但这个结果已经足够让牛顿确信，他关于引力平方反比的设想是正确的。而且，他意识到这个引力是普遍存在的，不仅仅是地球和苹果，也不仅仅是地球和月球，而是宇宙中任何两个有质量的物体之间都存在这种相互吸引的力。
所以，牛顿推导出万有引力定律，是建立在：
前人的天文观测成果（哥白尼的日心说，开普勒的三大定律）。
自己大胆的类比和哲学思考（天上的和地上的遵循同一套规律）。
精确的数学推导（利用开普勒第三定律和圆周运动的公式）。
关键的验证（将月球的运动和地面物体的下落用平方反比规律联系起来，并进行数值计算）。
这个过程充满着智慧的火花和不懈的努力，最终揭示了宇宙运行的奥秘。他写在《自然哲学的数学原理》这本书里，这简直是科学史上的一座丰碑。
首先得明白牛顿之前的人们是怎么看待天体运动的。主流思想是亚里士多德那一套，认为地球是宇宙中心，月亮、太阳和星星都围绕着它转。后来哥白尼给出了日心说的观点，认为太阳才是中心，地球和其他行星绕着它转。但哥白尼并没有解释清楚为什么会这样转。
再后来，开普勒这位老兄就厉害了。他通过第谷·布拉赫留下的海量天文观测数据，总结出了三大行星运动定律。这三大定律，特别是第二定律（行星绕日运行时，在相等时间内扫过相等的面积）和第三定律（行星绕日公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比），给出了行星运动的精确描述。但开普勒也说不清楚这背后是什么原因导致行星这么运动。
牛顿就是在这个基础上开始深入思考的。他脑子里一直有个念头：天上的东西和地上的东西，遵循的是同一套规律。这可不是什么理所当然的事情，在当时，很多人觉得天上的“神圣”运动和地上凡俗的运动是两码事。牛顿打破了这个思维定势。
他最著名的一个例子就是那个“苹果落地”的故事。当然，这个故事可能经过了后人的浪漫化加工，但核心意思对。牛顿看着苹果从树上掉下来，他会想：为什么苹果会掉下来？为什么它不会飞向天空，或者飞到旁边去？是因为地球有一个“拉力”，把它拉向自己。
然后，牛顿就开始推而广之了。他想：如果地球能拉住苹果，那地球能不能拉住月亮呢？月亮虽然不像苹果那样“掉”下来，但它一直在绕着地球转圈。一个物体在匀速直线运动时，如果没有外力作用，它会一直直着走。但月亮却一直在改变方向，绕着地球转，这说明月亮也一定受到了地球的某种“拉力”，这个拉力让它不断地靠近地球，但同时它又有向前的速度，所以就形成了一种既靠近又不会撞到一起的“绕圈”运动。这就是我们现在说的“惯性”和“向心力”的概念。
牛顿用开普勒第三定律来验证他的猜想。他假设，这个地球拉住月亮的力，和地球拉住苹果的力，它们的性质是一样的，并且都遵循“平方反比”的规律。也就是说，力的大小和距离的平方成反比。比如，如果距离是原来的两倍，力就变成原来的四分之一。
他这样设想：
1. 地球对月球的作用力，和地球对苹果的作用力，是同一种力。
2. 这个力的大小，与物体的质量成正比（这是他后来才慢慢明确的，但一开始可能就有直觉）。
3. 这个力的大小，与距离的平方成反比。
有了这几个假设，他就可以开始数学推导了。他知道月球绕地球运动的轨道近似是圆形的，或者说是一个椭圆（开普勒已经证明是椭圆，但牛顿为了简化计算，一开始可能会先用圆形来近似）。
对于一个做圆周运动的物体，所需的向心加速度是 $a = v^2/r$，其中 $v$ 是速度，$r$ 是轨道半径。而速度 $v$ 又可以通过周长除以周期 $T$ 来计算：$v = 2pi r / T$。
把 $v$ 代入加速度公式，就得到 $a = (2pi r / T)^2 / r = 4pi^2 r / T^2$。
牛顿知道开普勒的第三定律：行星绕日公转周期的平方 ($T^2$) 与轨道半长轴的立方 ($r^3$) 成正比，可以写成 $T^2 = k r^3$，其中 $k$ 是一个常数（对于绕太阳的行星是这样，对于绕地球的月球，这个常数可能不同，但规律是类似的）。
现在，把 $T^2 = k r^3$ 代入加速度公式：
$a = 4pi^2 r / (k r^3) = (4pi^2 / k) (1/r^2)$
你看，这里的 $(4pi^2 / k)$ 是一个常数，所以加速度 $a$ 就与 $1/r^2$ 成正比！也就是说，加速度和距离的平方成反比。
牛顿的思维是这样的：根据牛顿第二定律，$F = ma$。如果加速度 $a$ 和 $1/r^2$ 成正比，那么作用在月球上的力 $F$ 也一定和 $1/r^2$ 成正比。
但是，万有引力是两个物体之间的引力，它应该跟两个物体的质量都有关。他推测，这个力的大小，也应该跟物体的质量成正比。所以，地球对月球的引力，应该正比于地球的质量和月球的质量，并且反比于它们之间距离的平方。
于是，他写出了万有引力定律的雏形：$F = G (m1 m2) / r^2$，其中 $G$ 就是那个神秘的引力常数。
最关键的一步是，他要证明这个“平方反比”的规律是真的。他用前面算出来的月球的向心加速度，和地面上苹果的加速度来比较。
他知道苹果下落的加速度大约是 $g approx 9.8 m/s^2$。他也知道地球的半径 $R$（大约是6400公里）。月球绕地球的轨道半径 $r_{moon}$ 大约是地球半径的60倍（大约是38万公里）。
如果引力确实遵循平方反比规律，那么月球所受地球的引力，应该比地面上物体所受地球的引力小 $(r_{moon}/R)^2$ 倍。也就是说，月球的加速度应该等于 $g / (r_{moon}/R)^2 = g (R/r_{moon})^2$。
牛顿计算了一下：
$(R/r_{moon})^2 = (6400 ext{ km} / 380000 ext{ km})^2 approx (1/59.4)^2 approx 1/3530$
所以，他期望月球的加速度大约是 $g / 3530 approx 9.8 m/s^2 / 3530 approx 0.00277 m/s^2$。
另一方面，他知道月球绕地球运动的周期 $T_{moon}$ 大约是27.3天。把这个周期换算成秒，并且用上面推导的公式计算月球的向心加速度：
$a_{moon} = 4pi^2 r_{moon} / T_{moon}^2$
当他把数值代进去，算出结果时，发现和前面根据平方反比规律推导出来的数值非常接近！
虽然当时测量地球半径和月球轨道半径的精度不像现在这么高，但这个结果已经足够让牛顿确信，他关于引力平方反比的设想是正确的。而且，他意识到这个引力是普遍存在的，不仅仅是地球和苹果，也不仅仅是地球和月球，而是宇宙中任何两个有质量的物体之间都存在这种相互吸引的力。
所以，牛顿推导出万有引力定律，是建立在：
前人的天文观测成果（哥白尼的日心说，开普勒的三大定律）。
自己大胆的类比和哲学思考（天上的和地上的遵循同一套规律）。
精确的数学推导（利用开普勒第三定律和圆周运动的公式）。
关键的验证（将月球的运动和地面物体的下落用平方反比规律联系起来，并进行数值计算）。
这个过程充满着智慧的火花和不懈的努力，最终揭示了宇宙运行的奥秘。他写在《自然哲学的数学原理》这本书里，这简直是科学史上的一座丰碑。
网友意见
这里并不给出直接回答，这里只是想说明一下，很多人认为牛顿是根据开普勒第三定律再联立向心力公式推出万有引力定律的，但从草稿中并未找到相关证据。
来源：维基百科 开普勒定律 词条
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