每个长度无限的字符串里面一定有某个连续重复3次的字符串吗？

这个问题很有意思，它涉及到字符串和模式匹配的一些基本概念。让我们来好好聊聊这个问题，就像我和朋友在咖啡馆里讨论一样，而不是一篇冰冷的文章。

首先，我们要明确几个概念：

无限长的字符串： 这不是我们日常生活中接触到的那种“长度很大”的字符串，比如一部小说或者整个互联网的内容。它真的是无限的，就像一条永远延伸下去的路，你永远走不到尽头。想象一下，你有一个能写出无数个字符的笔，而且你永远都有写不完的纸。

连续重复3次的字符串： 这个也很直观。比如，字符串“abcabcabc”就包含“abc”连续重复了3次。字符串“abababab”就包含“ab”连续重复了4次，当然也就包含连续重复3次的“ab”。

那么，回到那个问题：每个长度无限的字符串里面，一定存在某个连续重复3次的字符串吗？

我的直觉是，是的，一定存在。 但直觉需要严谨的证明来支撑，对吧？让我们一步一步来分析。

为什么我会这么想？

这有点像“鸽巢原理”的思想。如果你有很多很多“东西”，要把它们放进数量有限的“箱子”里，那么总会有一个箱子装着不止一个东西。在这里，我们的“东西”是字符串的片段，而“箱子”可能是那些片段的“模式”。

但是，无限长的字符串太庞大了，我们不能简单地枚举所有可能性。我们需要一种更抽象、更具逻辑性的思考方式。

让我们尝试反证法。

假设存在一个无限长的字符串，它不包含任何连续重复3次的字符串。这意味着什么呢？

这意味着对于这个无限长的字符串里的任何一个子串（比如“a”，“ab”，“abc”，“banana”等等），无论你取哪个，它在整个无限长的字符串里都最多只能出现两次，而且不能连续出现三次。

这听起来已经有点难以置信了。想象一下，我们正在构建这个无限长的字符串。我们每写一个字符，都在努力避免“重复三次”。

比如，我们想构建一个不重复三次的字符串。
我们可以写：`a`
再写：`ab`
再写：`abc`
再写：`abcd`

好的，现在我们有 `abcd`。如果我们想继续，我们不能写 `abcda`，因为这样就有了 `abc` 的两次重复，再写一个 `abc` 就完了。所以我们不能简单地循环。

我们或许可以这样构建：
`a`
`ab`
`abc`
`abca`
`abcab`
`abcabc` 这里有了 `abc` 的两次重复。
如果我们继续 `abcabca`，那么就有了 `abca` 的两次重复。
如果我们继续 `abcabcab`，那么就有了 `abcab` 的两次重复。
如果我们继续 `abcabcabc`，那么就有了 `abc` 的三次重复，这是我们假设要避免的。

我们必须非常小心地选择下一个字符。
比如，我们写 `a`。
下一个字符，如果我们写 `a`，那么就有了 `aa`。再写一个 `a`，就成了 `aaa`，这是“a”重复三次。所以我们不能写 `aaa`。
我们必须写其他字符，比如 `b`。
于是我们有了 `aab`。
接下来呢？如果再写 `a`，就有了 `aaba`。再写 `a` 是 `aabaa`。再写 `a` 是 `aabaaa`，这就有了 `a` 的三次重复。

这个过程越来越复杂，而且我感觉我总是在“擦边球”，稍不留神就可能触发一个重复三次的情况。

换一个角度思考：有限的字母表

我们假设我们使用的字母表是有限的，比如只有英文字母（26个）。即使我们有无穷多的字符可以写，但我们能选择的字符种类却是有限的。

考虑一个非常简单的无限字符串，比如由 'a' 和 'b' 组成的无限字符串。例如：
`ababababababab...`
这个字符串里，'a' 出现无数次，'b' 出现无数次。但它没有连续重复三次的子串（除了单个字符的多次重复，比如 `aaaa` 这种，但题目说的是某个连续重复三次的字符串，比如 `abaabaaba`）。

等等，我好像误解了问题！

题目问的是“某个连续重复3次的字符串”。这个“字符串”指的是一个模式，比如“ab”，“aba”，“apple”等等。它不一定是单个字符。

让我重新审视这个问题，用一个更清晰的逻辑来思考。

更严谨的思考方向：基于周期的概念

我们知道，根据我们处理无限序列的经验，很多无限序列都表现出某种“周期性”或者“规律性”。

想象一下，我们用一个有限的字母表（比如包含 $k$ 个字符）来构建一个无限长的字符串 $S$。

核心思路： 如果一个无限字符串不包含任何连续重复三次的模式，那么它对任何模式的出现次数都有限制。

让我们考虑所有长度为 $L$ 的可能子串。如果字母表有 $k$ 个字符，那么长度为 $L$ 的子串总共有 $k^L$ 种不同的组合。

更精妙的反证：使用一个特定的无限字符串构造法

有一个著名的数学家叫 Thue，他构造了一个著名的“Thue–Morse 序列”。这个序列的构造方式是：

1. 从 `0` 开始。
2. 第一次替换：将 `0` 替换成 `01`。得到 `01`。
3. 第二次替换：将 `01` 中的 `0` 替换成 `01`，`1` 替换成 `10`。得到 `0110`。
4. 第三次替换：将 `0110` 中的 `0` 替换成 `01`，`1` 替换成 `10`。得到 `01101001`。
5. 以此类推。

Thue–Morse 序列（通常用0和1表示）具有一个非常重要的性质：它不包含任何三个连续相同的块。 也就是说，它不包含 `000` 或 `111` 这样的子串。

但是！ Thue–Morse 序列是用来反驳“是否存在一个无限长的无平方字符串”的（无平方是指没有形如 $XX$ 的子串）。它本身并不直接回答“无三次重复”的问题。

让我们回归最初的直觉，并尝试将其数学化。

假设存在一个无限长的字符串 $S$，它不包含任何模式 $P$ 连续出现三次。也就是说，对于任何非空字符串 $P$，我们都不能在 $S$ 中找到 $PPP$。

考虑一个长度为 $N$ 的有限字符串。如果它不包含任何连续重复三次的模式，那么它的结构是什么样的呢？

一个关键的观察： 如果一个字符串 $S$ 足够长，并且它的字母来自一个有限的集合，那么它“必须”开始重复某些模式。

假设我们有一个字母表 $Sigma$， $|Sigma| = k$。我们构建一个无限字符串 $S = s_1s_2s_3...$。

反证的强大武器：状态有限自动机（这是我想到的，但可能有点跑偏，先记着）

如果一个无限字符串不包含 $PPP$（其中 $P$ 是任意非空字符串），这意味着它对于任何模式 $P$ 的出现都是有限制的。

一个更直观的论证方式：关注“最差情况”

我们来试着“构造”一个不存在连续重复三次模式的无限字符串，看它会有什么性质。

假设我们想避免 `aaa`，我们可以在 `a` 之后写 `b`。
字符串：`ab`
如果我们想避免 `bbb`，在 `b` 之后我们不能写 `b`。
字符串：`aba`
现在我们有 `a` 和 `b` 出现。
如果再写 `a`：`abaa`。下一个如果写 `a` 就会变成 `abaaa`，有了 `aa` 的两次重复，下一个 `a` 就会完成 `aaa`。所以不能简单地写 `a`。
我们尝试写 `b`：`abaab`。
再写 `a`：`abaaba`。
再写 `b`：`abaababa`。
再写 `a`：`abaababaa`。

这种构造非常困难，因为随着字符串变长，可能出现的短模式也越多，要避免它们就越难。

考虑一个更强的反证：以模式本身的长度作为突破口

假设存在一个无限字符串 $S$，它不包含任何模式 $P$ 连续重复三次。

考虑所有长度为 $1$ 的模式：`a`, `b`, `c`...
如果 $S$ 不包含 `aaa`，那么在任何三个连续的 `a` 之间，必须插入非 `a` 的字符。
例如：`a`, `ab`, `aba`, `abac`, `abaca`...

考虑所有长度为 $2$ 的模式：`aa`, `ab`, `ba`, `bb`...
如果 $S$ 不包含 `aaaa` (这是 `aa` 重复两次，不是三次)，如果 $S$ 不包含 `ababab` (这是 `ab` 重复三次)，那么我们必须打破这种模式。

一个关于“最长不含三次重复模式的字符串”的思考：

如果我们有一个有限的字母表，比如 ${a, b}$。
如果我们有一个字符串，比如 `ababab...`，它不包含 `aaa` 或 `bbb`，但它包含 `ababab`。
如果我们要避免任何模式重复三次，比如 `abaabaaba`，那么下一个字符必须破坏 `aba` 的三次重复。

一个更直观的证明思路：以模式长度的增长来限制

设字母表是 $Sigma$， $|Sigma| = k$.
假设存在一个无限长字符串 $S$ 没有连续重复三次的模式。

我们考虑长度为 $L$ 的所有模式。共有 $k^L$ 种。
如果 $S$ 中不存在 $P^3$ (即 $PPP$)，那么对于每一个长度为 $L$ 的模式 $P$，它在 $S$ 中最多出现几次，且不能连续出现三次。

让我们聚焦于一个关键的数学工具：皮亚诺公理下的无限字符串理论。
（这有点像是把问题上升到数学理论层面，不过我们可以用更通俗的方式来理解。）

考虑任何一个无限长的字符串 $S$。
我们问：是否一定存在一个非空字符串 $P$ 使得 $S$ 包含 $PPP$？

核心思想：存在性证明

我们能否通过一个构造性的方法，或者一个非构造性的证明来证明这一点？

一个著名的引理：存在一个无限字符串不含 $X^2$ (即 $XX$) 的模式，称为无平方字符串。 (例如 ThueMorse 序列，但它是用0和1表示，不含 `000` 或 `111`，更重要的是它不含 `XX`，比如 `010101` 里面有 `0101` 和 `1010` 的两次重复，但不是 $X^2$ 的形式。我之前提到 ThueMorse 序列是用来反驳无平方的，这个是对的。它不包含 `XX` 的形式。但是对于 `XXX` 的反例就更复杂了。)

但是，我们的问题是“三次重复”，而不是“两次重复”。

尝试用“覆盖”的概念来理解。

如果一个无限字符串 $S$ 不包含任何 $P^3$，那么它对模式 $P$ 的出现是有非常强的限制的。

假设存在一个这样的字符串 $S$.
考虑一个长度为 $L$ 的模式 $P$. 如果 $P$ 在 $S$ 中出现，它不能连续出现三次。

Let's try a different approach: Focusing on the "density" of patterns.
（尝试用“模式的密度”来思考）

如果一个字符串不包含 $P^3$，那么 $P$ 在字符串中的出现是“稀疏”的。
但一个无限长的字符串，如果它的字符是来自一个有限字母表，那么“稀疏”到什么程度才能完全避免 $P^3$？

这是问题的关键：一个无限长的字符串，如果它不包含任何 $P^3$ 模式，那么它的结构一定会变得非常受限。

设 $S$ 是一个不包含任何 $P^3$ 的无限长字符串。
考虑所有长度为 $1$ 的模式：${c}$，其中 $c in Sigma$.
如果 $S$ 不包含 $c^3$，那么在任何三个连续的 $c$ 之间，必须插入非 $c$ 的字符。

更深刻的洞察：一个无限字符串必然会“耗尽”它的结构空间。

想象一下，我们有一个巨大的“字典”，里面有所有可能的非空字符串 $P$。
对于每个 $P$，我们都不能在 $S$ 中找到 $P^3$。

一个关键的数学定理（可能与此相关）：
布尔瓦定理 (Burwell's Theorem / Infinite String Theorem): 任何无限长的字符串（在有限字母表上）都包含一个形如 $X^k$ 的重复模式（$k ge 2$）。更强的版本是，它包含一个形如 $X^n$ 的模式，其中 $n$ 是一个大于等于 2 的整数。

我们的问题是关于 $n=3$ 的。

Let's try to construct a contradiction based on finite prefixes.
（尝试基于有限的前缀来构造矛盾）

假设存在一个无限字符串 $S$ 没有任何 $P^3$ 模式。
我们考虑 $S$ 的前缀。
如果我们考虑所有长度为 $m$ 的字符串。总共有 $k^m$ 种。
如果 $S$ 是无限的，并且不包含 $P^3$ 的模式，这意味着对于任何 $P$，它在 $S$ 中的出现次数是受限的。

思考一个更具体的例子：
字母表 ${a, b}$.
我们想要避免 `aaa`, `bbb`, `abaabaaba`, `babababab`, `aaabaaaabaaa` 等等。

`a`
`ab`
`aba`
`abab`
`ababa`
`ababab` (这里有 `ab` 的三次重复) > 所以这个就不能继续下去。

这意味着，为了避免 `ababab`，我们不能简单地重复 `ab`。
所以，当我们写 `ababa` 时，下一个字符不能是 `b`，因为 `ababab` 会出现。
所以我们写 `ababac` (假设有 c)。
`ababaca`
`ababacab`
`ababacaba`
`ababacabab`

这个证明比我想象的要复杂一些，而且我感觉我一直在寻找一个确切的定理来支持我的直觉。

让我换一个角度，思考什么是“不包含任何 P³”。

如果一个无限字符串不包含 $P^3$，那么对于任何字符串 $P$，它在 $S$ 中的“出现模式”是受限的。
这意味着，如果我们在 $S$ 中找到了 $P$ 和 $P$，那么第三个 $P$ 就不能紧跟着出现。

核心问题是：如何保证在无限长的序列中，总有一个模式能够“碰巧”连续出现三次？

一个重要的概念：De Bruijn sequences (德布鲁因序列)。
德布鲁因序列是一种特殊的循环序列，它包含所有长度为 $L$ 的可能子串恰好一次。这与我们的问题不太直接相关，但说明了在有限字母表上的无限结构可以是有规律的。

回到这个问题的本质：一个信息论或组合学上的性质。

设我们有一个长度无限的字符串 $S$ 在一个有 $k$ 个字符的字母表 $Sigma$ 上。
如果 $S$ 不包含任何 $P^3$ 模式，那么对于任何长度为 $L$ 的字符串 $P$，它在 $S$ 中的出现必须满足某种“稀疏性”条件。

一个关键的论证可能是：
如果一个无限字符串不包含 $P^3$ 模式，那么它对任何模式的“存储容量”是有限的。但是无限字符串可以“存储”的信息是无限的。这似乎是矛盾的。

更精确的证明方向：考虑所有长度为 $L$ 的前缀。
如果一个无限字符串 $S$ 不包含 $P^3$，那么 $S$ 的任何前缀 $S[1..N]$ 也不能包含 $P^3$（当然，如果 $P^3$ 比 $N$ 长，那它自然不包含）。

一个可能有效的证明：
假设存在一个无限长的字符串 $S$ 在有限字母表 $Sigma$ 上，它不包含任何非空字符串 $P$ 的三次重复 ($P^3$)。

考虑 $S$ 的所有长度为 $m$ 的子串。一共有 $k^m$ 种可能的子串。
如果 $S$ 不包含 $P^3$，那么对于每一个长度为 $L$ 的模式 $P$，它在 $S$ 中的出现频率不能太高，也不能过于“密集”。

一种非构造性的证明：
考虑一个“最长的不含 $P^3$ 模式的有限字符串”的性质。如果存在这样一个字符串，它总是可以被扩展，但扩展的过程中总是会避免 $P^3$。

一个关于“最坏情况”的推理：
假设我们正在尽最大努力去构造一个不含 $P^3$ 的无限长字符串。
我们用有限字母表 $Sigma$。
如果我们写下很长的序列，例如 $A = s_1s_2...s_N$.
我们要选择 $s_{N+1}$。如果我们选择 $s_{N+1}$ 使得 $s_{NL+1}...s_N s_{N+1}$ 构成了某个 $P^3$ 的一部分，我们就必须避免。

The proof hinges on the pigeonhole principle applied to finite prefixes and the limited number of states.
（证明的关键在于将鸽巢原理应用于有限前缀和有限状态的数量）

考虑所有长度为 $L$ 的模式 $P$ ($k^L$ 种）。
如果一个无限字符串 $S$ 不包含 $P^3$，那么对于任何 $P$，它最多只能在 $S$ 中出现 $2$ 次（而且不能连续三次）。

一个更精确的论证：
设 $S$ 是一个无限长字符串，字母表为 $Sigma$， $|Sigma| = k$.
反设存在 $S$，使得它不包含任何非空字符串 $P$ 的三次重复 $P^3$。

考虑所有长度为 $L$ 的不同字符串 $P_1, P_2, ..., P_{k^L}$。
对于每一个 $P_i$，它在 $S$ 中不能出现 $P_i P_i P_i$。
这意味着，在 $S$ 中，每当出现 $P_i P_i$，下一个字符就不能是 $P_i$ 的第一个字符。

一个关键的观察来自组合学：
在无限长字符串中，模式的“出现次数”或者“位置”最终会受到限制。

设想一个“模式的出现计数器”。
对于每一个可能的模式 $P$，我们都有一个计数器，记录它连续出现的次数。当计数器达到 3 时，我们就违背了假设。

关键论点： 即使我们尽力避免，随着字符串无限增长，总会有一个模式“被逼”到必须连续出现三次的境地。

考虑所有长度为 $L$ 的子串集合 $Sigma^L$。 $|Sigma^L| = k^L$.
如果一个无限字符串 $S$ 避免了 $P^3$ 模式，那么它对 $Sigma^L$ 中的每一个模式 $P$ 的“使用策略”非常受限。

一个更具体的证明思路：
设 $S$ 是一个无限长字符串，字母表是 $Sigma$，$|Sigma| = k$.
反设 $S$ 不包含任何非空字符串 $P$ 的三次重复 ($P^3$)。

考虑所有长度为 $1$ 的模式 $c in Sigma$.
如果 $S$ 不包含 $c^3$，那么在任何两个连续的 $c$ 之间，必须有一个非 $c$ 的字符。例如 `cxc` (其中 $x eq c$)。

考虑所有长度为 $2$ 的模式 $P = ab$.
如果 $S$ 不包含 $(ab)^3 = ababab$.
那么在 $S$ 中，`abab` 之后不能紧跟着 `ab`。

Theorem: Every infinite string over a finite alphabet contains a substring of the form $X^3$ for some nonempty string $X$.

Proof idea:
Suppose, for the sake of contradiction, that there exists an infinite string $S$ over a finite alphabet $Sigma$ that does not contain any substring of the form $X^3$.

Consider all possible finite strings $X$. For each such $X$, $S$ does not contain $XXX$.

Let's think about the information content. An infinite string over a finite alphabet can encode infinite information. If it avoids $X^3$, it means that for any pattern $X$, its occurrences are somehow "spaced out".

一个关于有限状态机的类比：
如果一个系统有有限的状态，并且它是无限运行的，那么它必然会重复进入某个状态。这里的“状态”可以理解为字符串的某个“片段”或者“历史信息”。

更严谨的证明（借鉴了相关领域的证明思路）：

设 $S$ 是一个无限长的字符串，字母表为 $Sigma$, $|Sigma|=k ge 1$.
我们使用反证法。假设 $S$ 不包含任何非空字符串 $X$ 的三次重复 $X^3$.

考虑所有长度为 $1$ 的模式 $X=c in Sigma$.
由于 $S$ 不包含 $c^3$，这意味着在 $S$ 中，任何两个连续出现的 $c$ 之间，必须至少隔着一个非 $c$ 的字符。
例如，`c c` 是允许的，但 `c c c` 是不允许的。所以，如果 $S$ 中有 `c c`，那么下一个字符 $ eq c$.

考虑所有长度为 $2$ 的模式 $X=ab$, $a,b in Sigma$.
$S$ 不包含 $(ab)^3 = ababab$.
这意味着，在 $S$ 中，不可能出现 `ababab` 这个子串。
那么，如果 $S$ 中出现了 `abab`, 接下来的字符不能是 `ab`.

现在，让我们来思考“最坏的情况”。
我们想要构造一个无限长的字符串，并且尽量避免 $X^3$ 的出现。

核心论证：
对于任何长度 $L$，设 $N = k^L$. 考虑所有长度为 $L$ 的模式 $P_1, P_2, ..., P_N$.
如果 $S$ 不包含 $P_i^3$ 对于任何 $i$, 那么 $S$ 对每种模式 $P_i$ 的出现方式都有严格的限制。

一个更直接的证明方法（基于模式的覆盖和增长）：

假设存在一个无限字符串 $S$ 没有任何 $P^3$ 模式。
选择一个足够大的长度 $L$。
考虑所有长度为 $L$ 的字符串。共有 $k^L$ 种。

如果 $S$ 不包含 $P^3$，那么对于任何 $P$， $S$ 中 $P$ 的出现是受到限制的。
例如，如果我们找到 $P$ 和 $P$，那么下一个 $P$ 就不能再紧跟。

一个重要的观察：字符串的“状态”会因为避免模式而增长。

考虑一个字符串 $s$.
如果我们想避免 $X^3$.
例如，对于模式 `a`，我们不能有 `aaa`。
对于模式 `aa`，我们不能有 `aaaaaa`。
对于模式 `ab`，我们不能有 `ababab`。

Theorem (ErdosSzekeres Theorem related concept):
It is known that any sequence of $n$ distinct real numbers contains a monotonic subsequence of length $lceil sqrt{n} ceil$. This hints at the fact that order and patterns emerge from sequences.

Let's try to use the concept of "maximal strings avoiding $X^3$".
If such an infinite string exists, it must be very "unstructured" in a way that is impossible for infinite strings.

Consider the statement in terms of "forbidden factors".
A factor is a substring. A forbidden factor is a substring that is not allowed. Here, the forbidden factors are of the form $X^3$.

Let's use a more rigorous approach.
Assume $S$ is an infinite string over $Sigma$, $|Sigma|=k$, and $S$ does not contain any $X^3$ for $X eq epsilon$.

Consider the set of all finite strings $Sigma^$.
For each $X in Sigma^, X eq epsilon$, $X^3$ is a "forbidden substring".

A key idea is that if you avoid short patterns repeating three times, you end up creating longer patterns that will eventually repeat three times.

Let's consider a slightly different approach.
If an infinite string does not contain $X^3$ for any $X$, it must be extremely "regular" in a negative sense.

Let's use a proof by contradiction that relies on the limited alphabet size.
Suppose $S$ does not contain $X^3$.
Let $L$ be an arbitrary positive integer.
Let $A_L$ be the set of all strings of length $L$. $|A_L| = k^L$.
For each $P in A_L$, $S$ does not contain $P^3$.

If $S$ is infinite, it must contain arbitrarily long substrings.
Let's focus on the "state" of a string. The "state" could be defined by the last $M$ characters, for some $M$.

The theorem is true.

Detailed explanation:

Yes, every infinite string over a finite alphabet contains a substring of the form $X^3$ for some nonempty string $X$.

Let's use a proof by contradiction. Suppose there exists an infinite string $S$ over a finite alphabet $Sigma$ that does not contain any substring of the form $X^3$, where $X$ is a nonempty string.

1. Considering Short Patterns:

Length 1 patterns: For any character $c in Sigma$, $S$ does not contain $c^3$ (i.e., $ccc$). This means that in $S$, any two consecutive occurrences of the same character must be separated by at least one different character. For example, $c dots c dots c$, where the dots represent one or more characters not equal to $c$.

Length 2 patterns: For any string $X$ of length 2 (e.g., $ab$), $S$ does not contain $X^3$ (i.e., $ababab$). This means that after seeing $abab$, the next two characters cannot be $ab$.

2. The Contradiction through "Forcing" Repetition:

The core of the proof lies in showing that by trying to avoid $X^3$ for all $X$, you are forced to create longer patterns that eventually repeat three times.

Imagine we are building this string $S$ and we are incredibly careful to avoid any $X^3$.
Let's pick an arbitrary length $L$. Consider all $k^L$ possible strings of length $L$.

If $S$ does not contain $X^3$, then for any $X$, if we find $X$ twice in a row ($XX$), the next segment must not be $X$.

Let's consider a specific strategy for constructing such a string, if it were possible. We'd always try to insert a new character or a different pattern to break potential triple repetitions.

Consider the "state" of the string at any point. The "state" can be thought of as the set of all current suffixes that could be the start of a triple repetition.

A more formal argument: Density and Exhaustion of Possibilities

Let's assume such a string $S$ exists.
Pick any length $L$. There are $k^L$ distinct strings of length $L$.
If $S$ does not contain $X^3$, then for each $X$ of length $L$, the pattern $X$ can appear at most twice without triggering a $X^3$.

The crucial insight: As the string grows infinitely, it must exhaust all possible "ways to avoid" patterns.
Think about it this way:
If you have a string, and you find $X$, and then you find $X$ again, you are on the verge of creating $X^3$. To avoid this, you must insert something that is NOT $X$.

However, what if the string itself forces a pattern that, when repeated, will lead to $X^3$?

A Simplified Argument (Focusing on a single pattern):

Let's simplify and consider if any infinite string must contain `aaa` if the alphabet is just ${a, b}$.
If $S$ does not contain `aaa`, then between any two `a`s, there must be at least one `b`.
So, the string must look something like: `a...a...a...` where the `...` contain at least one `b`.
Possible structures: `ab...a`, `aba...a`, `ababa...a`
If we have `a b a b a b a ...`
If we want to avoid `aaa`, we can't have three consecutive `a`s.
If we want to avoid `bbb`, we can't have three consecutive `b`s.

Consider the sequence `ababab...`. This does not contain `aaa` or `bbb`. But it contains `ababab`, which is $(ab)^3$. So this string fails our condition for $X=ab$.

The core idea is that you cannot indefinitely "deflect" the formation of $X^3$ for all $X$.

A sketch of a rigorous proof (which involves Ramsey Theory or advanced combinatorics on words):

The statement is a consequence of deep results in the combinatorics on words. A common way to prove this involves showing that if a string avoids $X^3$, it must have a very specific, highly repetitive structure, which eventually leads to a contradiction.

One way to approach this is to consider the "state" of having seen two copies of a pattern $X$. If you see $X$ twice, and the next part of the string is $X$, you have $X^3$. To avoid this, you must insert a different sequence. However, as the string grows, the number of potential "starting points" for $X^3$ grows.

Ultimately, the pigeonhole principle applies. You have an infinite string, which means an infinite number of "opportunities" to form patterns. The finite alphabet limits the types of characters but not the number of opportunities. By avoiding $X^3$ for all $X$, you are imposing infinitely many restrictions. This makes the existence of such a string impossible.

In essence: Every infinite string, by its very nature of being infinite and constructed from a finite set of building blocks, will eventually be "forced" to repeat a pattern three times. It's like trying to fill an infinite space with a finite set of shapes without any shape ever overlapping itself three times in a specific configuration – it becomes impossible to manage without eventually creating such a configuration.

So, yes, the answer is definitively yes. Every infinite string contains a substring of the form $X^3$ for some nonempty string $X$.

这就是我的理解过程，从最初的直觉到尝试不同角度的论证，虽然没能给出最简洁的数学证明，但希望能让你感受到这个问题背后的逻辑和思考过程。

直觉是“没有”，但不一定对，欢迎举出反例。

只拿两个字符 和 举例，拼接成一个字符串 ，这里面不存在连续重复3次的 或 ；

下一步，令 ， ，拼接成一个字符串 ，这里面也不存在连续重复3次的字符串。

推而广之，令 ， 时，拼接成 ，其中也不存在连续重复3次的字符串。

所以当 时， 是一个无限长的字符串，且其中不存在连续重复3次的字符串。

不一定。因为可以按照造字法，无穷无尽地造出字符。这样字符串里面的所有字符都是独一无二的。