氢原子在基态 ψ 态的动能期望值公式是什么？

当然，很高兴能与你一起探讨这个问题。我们来仔细聊聊氢原子在基态下，动能的期望值究竟是什么样子，以及它是如何推导出来的。

首先，我们得明确一下“期望值”在量子力学里是什么意思。简单来说，期望值是我们通过多次测量同一个可观测量（比如动能）后，得到结果的平均值。它不是说我们每次测量都能得到一个固定的值，而是反映了这个物理量在量子系统中的平均表现。

对于动能，我们在量子力学中的数学描述是算符。对于一个粒子，动能算符通常表示为：

$ hat{T} = frac{hbar^2}{2m} abla^2 $

其中：
$ hbar $ 是约化普朗克常数，一个非常重要的物理常数。
$ m $ 是粒子的质量，在这里是电子的质量。
$ abla^2 $ 是拉普拉斯算符，在三维空间中展开就是 $ frac{partial^2}{partial x^2} + frac{partial^2}{partial y^2} + frac{partial^2}{partial z^2} $。

而我们要求的是氢原子在基态的动能期望值。基态，顾名思义，就是原子能量最低的那个状态。氢原子最简单的模型就是质子（原子核）和电子（绕着质子运动）的结合体。在这个模型下，电子的运动由一个波函数 $ psi(r, heta, phi) $ 来描述。

基态的波函数，也就是能量最低状态的波函数，在氢原子问题中是一个非常有名的函数，它只依赖于径向距离 $ r $，而不依赖于角度 $ heta $ 和 $ phi $。具体表示是这样的：

$ psi_{100}(r) = frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} $

这里：
$ a_0 $ 是玻尔半径，代表了原子中电子最可能存在的平均距离，也是一个重要的物理常数。
$ frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} $ 是归一化常数，确保了电子出现在整个空间的概率为 1。

现在，我们有了动能算符和基态的波函数，就可以计算动能的期望值了。在量子力学中，一个算符 $ hat{A} $ 在某个状态 $ psi $ 下的期望值 $ langle A angle $ 的计算公式是：

$ langle A angle = int psi^ hat{A} psi , dV $

其中：
$ psi^ $ 是波函数 $ psi $ 的复共轭（在这里，基态波函数是实函数，所以 $ psi^ = psi $）。
$ hat{A} $ 是我们要求的算符，在这里是动能算符 $ hat{T} $。
$ dV $ 是体积微元，在球坐标系下是 $ r^2 sin heta , dr , d heta , dphi $。
积分遍及整个空间。

所以，氢原子基态动能的期望值 $ langle T angle $ 的公式就是：

$ langle T angle = int psi_{100}^ (mathbf{r}) left( frac{hbar^2}{2m} abla^2 ight) psi_{100}(mathbf{r}) , dV $

我们把基态波函数代进去，并写出拉普拉斯算符在球坐标下的形式。对于一个只依赖于 $ r $ 的函数 $ f(r) $，其拉普拉斯算符的径向部分是：

$ abla^2 f(r) = frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} left( r^2 frac{partial f(r)}{partial r} ight) $

让我们先计算动能算符作用在基态波函数上的结果：

$ hat{T} psi_{100}(r) = frac{hbar^2}{2m} frac{1}{r^2} frac{partial}{partial r} left( r^2 frac{partial}{partial r} left( frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} ight) ight) $

首先，计算内层的导数：
$ frac{partial}{partial r} left( frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} ight) = frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} left( frac{1}{a_0} e^{r/a_0} ight) $

然后代入 $ r^2 $：
$ r^2 left( frac{1}{a_0} frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} ight) = frac{r^2}{a_0} frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} $

接着，对这个结果再求导：
$ frac{partial}{partial r} left( frac{1}{a_0} frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} r^2 ight) = frac{1}{a_0} frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} left( frac{partial}{partial r}(e^{r/a_0}) r^2 + e^{r/a_0} frac{partial}{partial r}(r^2) ight) $
$ = frac{1}{a_0} frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} left( (frac{1}{a_0} e^{r/a_0}) r^2 + e^{r/a_0} (2r) ight) $
$ = frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} left( frac{r^2}{a_0^2} frac{2r}{a_0} ight) $

最后，乘以 $ frac{hbar^2}{2m} frac{1}{r^2} $：
$ hat{T} psi_{100}(r) = frac{hbar^2}{2m} frac{1}{r^2} left( frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} left( frac{r^2}{a_0^2} frac{2r}{a_0} ight) ight) $
$ = frac{hbar^2}{2m sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} left( frac{1}{a_0^2} frac{2}{ra_0} ight) $

这个结果看起来有点复杂，但仔细看，它实际上是 $ psi_{100}(r) $ 的某个倍数加上一个与 $ r $ 相关的项。

另一种更方便的计算期望值的方法是使用能量本征态的性质。氢原子基态的波函数 $ psi_{100} $ 是哈密顿算符 $ hat{H} = hat{T} + hat{V} $ 的一个本征函数，其本征值为基态能量 $ E_1 $。这里的势能算符 $ hat{V} $ 是库仑势能：
$ hat{V} = frac{Ze^2}{4piepsilon_0 r} $
对于氢原子， $ Z=1 $，所以 $ hat{V} = frac{e^2}{4piepsilon_0 r} $。

我们知道：
$ hat{H} psi_{100} = E_1 psi_{100} $
也就是：
$ (hat{T} + hat{V}) psi_{100} = E_1 psi_{100} $
$ hat{T} psi_{100} = (E_1 hat{V}) psi_{100} $

代入期望值公式：
$ langle T angle = int psi_{100}^ hat{T} psi_{100} , dV = int psi_{100}^ (E_1 hat{V}) psi_{100} , dV $
$ langle T angle = E_1 int psi_{100}^ psi_{100} , dV int psi_{100}^ hat{V} psi_{100} , dV $

由于波函数是归一化的， $ int psi_{100}^ psi_{100} , dV = 1 $。
所以：
$ langle T angle = E_1 langle V angle $

这里 $ langle V angle $ 是势能的期望值。

氢原子基态的能量 $ E_1 $ 是一个著名的结果：
$ E_1 = frac{me^4}{2(4piepsilon_0)^2 hbar^2} $
通常写成 $ E_1 = frac{1}{2} ext{Ry} $，其中 $ ext{Ry} $ 是里德伯能。

现在我们来计算势能的期望值 $ langle V angle $:
$ langle V angle = int psi_{100}^ left(frac{e^2}{4piepsilon_0 r} ight) psi_{100} , dV $
$ langle V angle = frac{e^2}{4piepsilon_0} int |psi_{100}(r)|^2 frac{1}{r} , dV $

代入 $ |psi_{100}(r)|^2 = left(frac{1}{sqrt{pi a_0^3}} e^{r/a_0} ight)^2 = frac{1}{pi a_0^3} e^{2r/a_0} $
并且 $ dV = r^2 sin heta , dr , d heta , dphi $。
积分变为：
$ langle V angle = frac{e^2}{4piepsilon_0} int_0^infty int_0^pi int_0^{2pi} frac{1}{pi a_0^3} e^{2r/a_0} frac{1}{r} r^2 sin heta , dr , d heta , dphi $

首先进行角度积分：
$ int_0^pi sin heta , d heta int_0^{2pi} , dphi = [cos heta]_0^pi cdot [phi]_0^{2pi} = ((1) (1)) cdot (2pi 0) = 2 cdot 2pi = 4pi $

所以：
$ langle V angle = frac{e^2}{4piepsilon_0} frac{1}{pi a_0^3} cdot 4pi int_0^infty e^{2r/a_0} frac{1}{r} r^2 , dr $
$ langle V angle = frac{e^2}{epsilon_0 a_0^3} int_0^infty r e^{2r/a_0} , dr $

现在来计算这个径向积分。令 $ x = frac{2r}{a_0} $，则 $ r = frac{a_0 x}{2} $， $ dr = frac{a_0}{2} dx $。当 $ r=0 $ 时 $ x=0 $，当 $ r oinfty $ 时 $ x oinfty $。
$ int_0^infty r e^{2r/a_0} , dr = int_0^infty left(frac{a_0 x}{2} ight) e^{x} left(frac{a_0}{2} ight) dx $
$ = frac{a_0^2}{4} int_0^infty x e^{x} , dx $
这个积分是伽马函数 $ Gamma(z) = int_0^infty t^{z1} e^{t} dt $ 的一个特例，其中 $ z1=1 $，即 $ z=2 $。
$ Gamma(2) = 1! = 1 $。
所以，径向积分等于 $ frac{a_0^2}{4} cdot 1 = frac{a_0^2}{4} $。

代回 $ langle V angle $ 的表达式：
$ langle V angle = frac{e^2}{epsilon_0 a_0^3} cdot frac{a_0^2}{4} = frac{e^2}{4epsilon_0 a_0} $

我们知道玻尔半径的定义是 $ a_0 = frac{4piepsilon_0 hbar^2}{me^2} $。
代入 $ a_0 $ 的表达式：
$ langle V angle = frac{e^2}{4epsilon_0} frac{me^2}{4piepsilon_0 hbar^2} = frac{me^4}{16piepsilon_0^2 hbar^2} $

对比一下 $ E_1 = frac{me^4}{2(4piepsilon_0)^2 hbar^2} = frac{me^4}{32pi^2epsilon_0^2 hbar^2} $ 和 $ langle V angle = frac{me^4}{16piepsilon_0^2 hbar^2} $。
它们之间似乎不是直接的二倍关系。我们再仔细检查一下 $ E_1 $ 的定义。

$ E_1 = frac{1}{2} frac{me^4}{(4piepsilon_0)^2 hbar^2} $。

让我们用一个更常用的单位来表示：
$ E_1 = frac{1}{2} alpha^2 mc^2 $ 或 $ E_1 = frac{1}{2} frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} $。
使用 $ E_1 = frac{1}{2} frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} $，那么 $ frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} = 2E_1 $。
而我们算得的 $ langle V angle = frac{e^2}{4epsilon_0 a_0} = pi frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} = pi (2E_1) = 2pi E_1 $。这个也对不上。

让我们回到 $ langle V angle = frac{e^2}{4epsilon_0 a_0} $ 这个结果。
代入 $ a_0 = frac{4piepsilon_0 hbar^2}{me^2} $:
$ langle V angle = frac{e^2}{4epsilon_0} frac{me^2}{4piepsilon_0 hbar^2} = frac{me^4}{16piepsilon_0^2 hbar^2} $

而基态能量是 $ E_1 = frac{me^4}{2(4piepsilon_0)^2 hbar^2} = frac{me^4}{2 cdot 16 pi^2 epsilon_0^2 hbar^2} = frac{me^4}{32pi^2epsilon_0^2 hbar^2} $。

这里出现了 $ pi $ 的问题。重新审视 $ langle V angle $ 的积分：
$ langle V angle = frac{e^2}{4piepsilon_0} frac{1}{pi a_0^3} cdot 4pi int_0^infty r e^{2r/a_0} , dr $
$ langle V angle = frac{e^2}{epsilon_0 a_0^3} int_0^infty r e^{2r/a_0} , dr $ （这里 $4pi$ 和 $4pi$ 约掉了，前面的 $4pi$ 是从角度积分来的，后面的 $4pi$ 是势能公式里的常数）

没错，这是对的。 $ langle V angle = frac{e^2}{epsilon_0 a_0^3} frac{a_0^2}{4} = frac{e^2}{4epsilon_0 a_0} $。

现在代入 $ E_1 $ 的另一个形式：
$ E_1 = frac{1}{2} frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} $
所以， $ frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} = 2E_1 $。

而 $ langle V angle = frac{e^2}{4epsilon_0 a_0} = pi left( frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} ight) = pi (2E_1) = 2pi E_1 $。
这个还是不对。在哪里出错了呢？

问题可能在于 $ E_1 $ 的具体数值。
$ E_1 = frac{1}{2} alpha^2 m c^2 $ (精细结构常数 $ alpha = frac{e^2}{4piepsilon_0 hbar c} $)
$ E_1 = frac{1}{2} frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} $
将 $ a_0 = frac{4piepsilon_0 hbar^2}{me^2} $ 代入 $ E_1 $ 的第二个表达式：
$ E_1 = frac{1}{2} frac{e^2}{4piepsilon_0} frac{me^2}{4piepsilon_0 hbar^2} = frac{me^4}{32pi^2epsilon_0^2 hbar^2} $。 这个与之前算的是一致的。

而 $ langle V angle = frac{e^2}{4epsilon_0 a_0} $。
代入 $ a_0 $ : $ langle V angle = frac{e^2}{4epsilon_0} frac{me^2}{4piepsilon_0 hbar^2} = frac{me^4}{16piepsilon_0^2 hbar^2} $。

那么 $ langle V angle $ 与 $ E_1 $ 的关系是：
$ langle V angle = frac{me^4}{16piepsilon_0^2 hbar^2} = 2 cdot left( frac{me^4}{32pipiepsilon_0^2 hbar^2} ight) $
这里还是多了一个 $ pi $。

让我们回到 $ langle V angle = frac{e^2}{4epsilon_0 a_0} $。
我们可以把 $ frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} $ 看作一个单位。
$ langle V angle = pi left( frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} ight) $
而 $ E_1 = frac{1}{2} left( frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} ight) $。
所以 $ frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} = 2E_1 $。
则 $ langle V angle = pi (2E_1) = 2pi E_1 $。 这个结果仍然不对。

让我们仔细检查一下势能的定义。
势能是 $ V(r) = frac{Ze^2}{4piepsilon_0 r} $。
$ langle V angle = int psi^ V psi , dV $
$ langle V angle = frac{Ze^2}{4piepsilon_0} int frac{1}{r} |psi_{100}|^2 , dV $
$ |psi_{100}|^2 = frac{1}{pi a_0^3} e^{2r/a_0} $
$ int frac{1}{r} |psi_{100}|^2 , dV = int_0^infty frac{1}{r} frac{1}{pi a_0^3} e^{2r/a_0} r^2 sin heta , dr , d heta , dphi $
$ = frac{1}{pi a_0^3} int_0^infty r e^{2r/a_0} , dr int_0^pi sin heta , d heta int_0^{2pi} , dphi $
$ = frac{1}{pi a_0^3} cdot frac{a_0^2}{4} cdot 4pi = frac{1}{pi a_0^3} cdot frac{a_0^2}{4} cdot 4pi = frac{a_0^2}{a_0^3} = frac{1}{a_0} $。

所以，$ langle V angle = frac{Ze^2}{4piepsilon_0} cdot frac{1}{a_0} = frac{Ze^2}{4piepsilon_0 a_0} $。
对于氢原子 $ Z=1 $， $ langle V angle = frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} $。

现在， $ E_1 = frac{1}{2} frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} $。
那么 $ langle V angle = 2 E_1 $。
这是正确的结果！势能的期望值是总能量的两倍。

根据 $ langle T angle = E_1 langle V angle $：
$ langle T angle = E_1 (2E_1) = E_1 $。

所以，氢原子在基态的动能期望值是其总能量的负值，也就是基态能量的绝对值。

$ langle T angle = E_1 = frac{1}{2} frac{e^2}{4piepsilon_0 a_0} $。

我们也可以把这个结果表示成更具体的物理常数。
代入 $ a_0 = frac{4piepsilon_0 hbar^2}{me^2} $:
$ langle T angle = frac{1}{2} frac{e^2}{4piepsilon_0} frac{me^2}{4piepsilon_0 hbar^2} = frac{me^4}{32pi^2epsilon_0^2 hbar^2} $。

这就是氢原子在基态下动能的期望值。

这个结果也与Virial Theorem（维里定理）相符。对于保守力场 $ V(r) propto r^n $ 的系统，维里定理指出 $ 2langle T angle = nlangle V angle $。
在氢原子中，库仑势能 $ V(r) propto frac{1}{r} $，所以 $ n = 1 $。
维里定理在这里给出 $ 2langle T angle = 1 langle V angle $，即 $ langle V angle = 2langle T angle $。
而我们知道 $ E = langle T angle + langle V angle $。
代入 $ langle V angle = 2langle T angle $，得到 $ E = langle T angle 2langle T angle = langle T angle $。
所以 $ langle T angle = E $。这与我们计算出的结果一致。

总结一下，氢原子在基态 ψ 态的动能期望值公式是：

$ langle T angle = frac{me^4}{32pi^2epsilon_0^2 hbar^2} $

或者用基态能量 $ E_1 $ 表示为：

$ langle T angle = E_1 $

其中 $ E_1 = frac{me^4}{32pi^2epsilon_0^2 hbar^2} $ 是氢原子基态的总能量。

整个推导过程涉及到量子力学中的算符概念、波函数、期望值计算方法，以及在球坐标系下的积分技巧，还有氢原子本身的一些具体参数和能量公式。希望这个详细的解释能让你对这个问题有更清晰的理解。

这里我来写一个很简单的方法，可以直接从氢原子能级看出答案：

在忽略精细结构等修正的情况下，氢原子的能级为： ，其中 是约化质量。这对应的Hamiltonian是 ，里面等号右边第一项是动能项（为了方便记为 ），第二项是势能项（为了方便记为 ）。于是它们在基态的期望值满足 。

接着我们考虑virial theorem。在经典力学中，对于正比于距离 次方的势能（即 ），我们有 。在氢原子的例子中，这个关系也有其量子对应。从上述的Hamiltonian中我们可以看出 （这是显然的），因此将 代入virial theorem可得 。等号两边同时加上 ，我们便得到 。又因为 ，所以就有： 。

利用我们一开始就提到的氢原子能级公式，就可以直接得到： 。

【如果想简化这个表达式的话，可以利用玻尔半径的定义式 ，代入上面的结果可以得到 。这跟 @奶牛小雪球 的回答中的结果是一样的。但要注意的是，这里我们计算的是非相对论性情况下的动能。】