什么情况下比值判别法失效？
比值判别法（Ratio Test），也称为达朗贝尔判别法（d'Alembert's criterion），是一种判断级数收敛性的强大工具。它的核心思想是比较级数项的绝对值之比与1的大小，从而推断级数的收敛性。
比值判别法的表述：
设 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 是一个级数，且 $a_n eq 0$ 对于充分大的 $n$ 成立。令 $L = lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$。
如果 $L < 1$，则级数 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 绝对收敛。
如果 $L > 1$（或 $L = infty$），则级数 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 发散。
如果 $L = 1$，则该判别法失效，不能确定级数的收敛性。
比值判别法失效的根本原因：
比值判别法失效的根本原因在于，当级数项的绝对值之比趋近于1时，级数的增长速度变得不那么显著，以至于无法与已知的收敛或发散级数（如几何级数）进行有效的“大小”比较。换句话说，当比值接近1时，级数的行为变得“模棱两可”，其收敛性取决于更精细的增长或衰减行为，而这些行为是比值判别法无法捕捉的。
具体解释比值判别法失效的情况：
比值判别法失效的典型情况是当极限 $L = lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1$ 时。在这种情况下，我们需要引入其他更强大的判别法来判断级数的收敛性。
以下是比值判别法失效的几种常见情况，并附有详细解释：
1. p级数 (pSeries) 的某些情况：
考虑 p级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$。
当 p > 1 时，级数收敛。
当 p ≤ 1 时，级数发散。
现在我们用比值判别法来分析它：
$a_n = frac{1}{n^p}$
$a_{n+1} = frac{1}{(n+1)^p}$
$left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = left| frac{1/(n+1)^p}{1/n^p} ight| = frac{n^p}{(n+1)^p} = left(frac{n}{n+1} ight)^p = left(frac{1}{1 + 1/n} ight)^p$
当 $n o infty$ 时，$1/n o 0$，所以 $lim_{n o infty} left(frac{1}{1 + 1/n} ight)^p = left(frac{1}{1+0} ight)^p = 1^p = 1$。
正如我们所见，对于任何 p 值，p级数的比值判别法的极限 $L$ 都等于 1。这意味着比值判别法对于所有 p级数都失效了。然而，我们知道 p级数在 p > 1 时收敛，在 p ≤ 1 时发散。这清楚地表明，当比值判别法的极限为1时，它无法区分收敛和发散的情况。
示例：
调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ (p=1)：比值判别法失效，但我们知道它是发散的。
平方倒级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ (p=2)：比值判别法失效，但我们知道它是收敛的（收敛到 $frac{pi^2}{6}$）。
2. 增长或衰减速度“刚好”是多项式速度的级数：
这类级数的特点是，$|a_{n+1}/a_n|$ 的极限趋近于1，但其趋近的方式使得级数的行为介于几何级数和发散级数之间。
示例：
级数 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$：
我们知道这个级数是发散的（这是柯西积分判别法的例子，因为 $int_2^{infty} frac{1}{x ln x} dx = [ln(ln x)]_2^{infty} = infty$）。
现在我们用比值判别法来分析：
$a_n = frac{1}{n ln n}$
$a_{n+1} = frac{1}{(n+1) ln(n+1)}$
$left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = frac{n ln n}{(n+1) ln(n+1)}$
为了求这个极限，我们可以使用洛必达法则或者近似。
当 $n o infty$，$frac{n}{n+1} o 1$。
我们关注 $frac{ln n}{ln(n+1)}$。令 $f(x) = ln x$，则 $ln(n+1) = f(n+1)$。
当 $n$ 很大时，$ln(n+1) approx ln n + frac{1}{n}$。
或者直接使用洛必达法则：
$lim_{n o infty} frac{ln n}{ln(n+1)}$ （形式为 $frac{infty}{infty}$）
对分子分母分别求导：
$lim_{n o infty} frac{1/n}{1/(n+1)} = lim_{n o infty} frac{n+1}{n} = lim_{n o infty} (1 + frac{1}{n}) = 1$。
所以，$lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1 imes 1 = 1$。
比值判别法失效。
级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ (再次强调)：
我们知道这个级数收敛。
比值判别法的极限也是1。
3. 级数项的符号会周期性地改变，但绝对值之比的极限仍然为1：
这种情况可能不太常见，因为比值判别法通常是针对正项级数而言的，但如果考虑交错级数或者其他项可以为负的级数，且要求绝对收敛性时，会遇到类似问题。
示例：
考虑一个构造的级数，其中 $|a_n|$ 的行为类似于 $frac{1}{n}$，但有额外的因子。
例如，考虑一个级数，其中 $a_n = frac{(1)^n}{n}$. 这是收敛的（由交错级数判别法）。
$|a_n| = frac{1}{n}$.
$left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = left| frac{(1)^{n+1}/(n+1)}{(1)^n/n} ight| = left| frac{1}{n+1} cdot n ight| = frac{n}{n+1} o 1$.
比值判别法失效。
4. 存在交替振荡或者比值不稳定的情况：
虽然比值判别法要求极限存在，但在某些情况下，比值的序列可能不是单调收敛到1，而是围绕着1进行振荡。如果这个振荡的范围太大，或者没有明确的收敛趋势，比值判别法就无法给出结论。
示例：
考虑一个级数，其比值序列 ${r_n} = {|a_{n+1}/a_n|}$ 可能是 ${1.1, 0.9, 1.1, 0.9, ...}$，或者更复杂地 ${1.2, 0.8, 1.1, 0.9, ...}$。如果这个序列不趋于一个确定的值，或者只是趋于一个值（如1），但存在“大的跳跃”，那么比值判别法就失效了。
更精确地说，如果 $limsup_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| > 1$ 或者 $liminf_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| < 1$，那么比值判别法也不会失效，而是会根据这两个极限的比较值来判断收敛或发散。失效仅仅发生在 $lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1$ 的时候。
当比值判别法失效时，我们应该怎么做？
当比值判别法失效时（即 $lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1$），我们需要求助于其他判别法，例如：
根值判别法 (Root Test)： 虽然根值判别法在很多情况下与比值判别法具有相同的失效点（当极限为1时），但它在某些特殊情况下可能有效，特别是当 $|a_n|$ 的 $n$ 次方根容易计算时。
比较判别法 (Comparison Test)： 将级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较。这是最基本也是最通用的判别法之一。
极限比较判别法 (Limit Comparison Test)： 计算待判级数与已知级数之比的极限。当这个极限是一个正的常数时，两个级数具有相同的收敛性。这个方法对于处理多项式形式的级数非常有用。
积分判别法 (Integral Test)： 如果级数 $a_n = f(n)$ 且 $f(x)$ 是正的、单调递减的连续函数，则级数 $sum a_n$ 与积分 $int_1^{infty} f(x) dx$ 具有相同的收敛性。
交错级数判别法 (Alternating Series Test)： 如果级数是交错的，且满足一定的条件，则该判别法可以用来判断收敛性。
总结：
比值判别法失效的主要情况是当级数项绝对值的比值 $left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$ 的极限 $L = 1$ 时。这通常发生在级数项的增长或衰减速度接近于一个“临界”速度，使得该判别法无法与简单的几何级数进行有效的比较。在这种情况下，就需要运用其他更精细的判别方法来确定级数的收敛性。
比值判别法的表述：
设 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 是一个级数，且 $a_n eq 0$ 对于充分大的 $n$ 成立。令 $L = lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$。
如果 $L < 1$，则级数 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 绝对收敛。
如果 $L > 1$（或 $L = infty$），则级数 $sum_{n=1}^{infty} a_n$ 发散。
如果 $L = 1$，则该判别法失效，不能确定级数的收敛性。
比值判别法失效的根本原因：
比值判别法失效的根本原因在于，当级数项的绝对值之比趋近于1时，级数的增长速度变得不那么显著，以至于无法与已知的收敛或发散级数（如几何级数）进行有效的“大小”比较。换句话说，当比值接近1时，级数的行为变得“模棱两可”，其收敛性取决于更精细的增长或衰减行为，而这些行为是比值判别法无法捕捉的。
具体解释比值判别法失效的情况：
比值判别法失效的典型情况是当极限 $L = lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1$ 时。在这种情况下，我们需要引入其他更强大的判别法来判断级数的收敛性。
以下是比值判别法失效的几种常见情况，并附有详细解释：
1. p级数 (pSeries) 的某些情况：
考虑 p级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^p}$。
当 p > 1 时，级数收敛。
当 p ≤ 1 时，级数发散。
现在我们用比值判别法来分析它：
$a_n = frac{1}{n^p}$
$a_{n+1} = frac{1}{(n+1)^p}$
$left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = left| frac{1/(n+1)^p}{1/n^p} ight| = frac{n^p}{(n+1)^p} = left(frac{n}{n+1} ight)^p = left(frac{1}{1 + 1/n} ight)^p$
当 $n o infty$ 时，$1/n o 0$，所以 $lim_{n o infty} left(frac{1}{1 + 1/n} ight)^p = left(frac{1}{1+0} ight)^p = 1^p = 1$。
正如我们所见，对于任何 p 值，p级数的比值判别法的极限 $L$ 都等于 1。这意味着比值判别法对于所有 p级数都失效了。然而，我们知道 p级数在 p > 1 时收敛，在 p ≤ 1 时发散。这清楚地表明，当比值判别法的极限为1时，它无法区分收敛和发散的情况。
示例：
调和级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ (p=1)：比值判别法失效，但我们知道它是发散的。
平方倒级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ (p=2)：比值判别法失效，但我们知道它是收敛的（收敛到 $frac{pi^2}{6}$）。
2. 增长或衰减速度“刚好”是多项式速度的级数：
这类级数的特点是，$|a_{n+1}/a_n|$ 的极限趋近于1，但其趋近的方式使得级数的行为介于几何级数和发散级数之间。
示例：
级数 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n ln n}$：
我们知道这个级数是发散的（这是柯西积分判别法的例子，因为 $int_2^{infty} frac{1}{x ln x} dx = [ln(ln x)]_2^{infty} = infty$）。
现在我们用比值判别法来分析：
$a_n = frac{1}{n ln n}$
$a_{n+1} = frac{1}{(n+1) ln(n+1)}$
$left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = frac{n ln n}{(n+1) ln(n+1)}$
为了求这个极限，我们可以使用洛必达法则或者近似。
当 $n o infty$，$frac{n}{n+1} o 1$。
我们关注 $frac{ln n}{ln(n+1)}$。令 $f(x) = ln x$，则 $ln(n+1) = f(n+1)$。
当 $n$ 很大时，$ln(n+1) approx ln n + frac{1}{n}$。
或者直接使用洛必达法则：
$lim_{n o infty} frac{ln n}{ln(n+1)}$ （形式为 $frac{infty}{infty}$）
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$lim_{n o infty} frac{1/n}{1/(n+1)} = lim_{n o infty} frac{n+1}{n} = lim_{n o infty} (1 + frac{1}{n}) = 1$。
所以，$lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1 imes 1 = 1$。
比值判别法失效。
级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ (再次强调)：
我们知道这个级数收敛。
比值判别法的极限也是1。
3. 级数项的符号会周期性地改变，但绝对值之比的极限仍然为1：
这种情况可能不太常见，因为比值判别法通常是针对正项级数而言的，但如果考虑交错级数或者其他项可以为负的级数，且要求绝对收敛性时，会遇到类似问题。
示例：
考虑一个构造的级数，其中 $|a_n|$ 的行为类似于 $frac{1}{n}$，但有额外的因子。
例如，考虑一个级数，其中 $a_n = frac{(1)^n}{n}$. 这是收敛的（由交错级数判别法）。
$|a_n| = frac{1}{n}$.
$left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = left| frac{(1)^{n+1}/(n+1)}{(1)^n/n} ight| = left| frac{1}{n+1} cdot n ight| = frac{n}{n+1} o 1$.
比值判别法失效。
4. 存在交替振荡或者比值不稳定的情况：
虽然比值判别法要求极限存在，但在某些情况下，比值的序列可能不是单调收敛到1，而是围绕着1进行振荡。如果这个振荡的范围太大，或者没有明确的收敛趋势，比值判别法就无法给出结论。
示例：
考虑一个级数，其比值序列 ${r_n} = {|a_{n+1}/a_n|}$ 可能是 ${1.1, 0.9, 1.1, 0.9, ...}$，或者更复杂地 ${1.2, 0.8, 1.1, 0.9, ...}$。如果这个序列不趋于一个确定的值，或者只是趋于一个值（如1），但存在“大的跳跃”，那么比值判别法就失效了。
更精确地说，如果 $limsup_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| > 1$ 或者 $liminf_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| < 1$，那么比值判别法也不会失效，而是会根据这两个极限的比较值来判断收敛或发散。失效仅仅发生在 $lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1$ 的时候。
当比值判别法失效时，我们应该怎么做？
当比值判别法失效时（即 $lim_{n o infty} left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight| = 1$），我们需要求助于其他判别法，例如：
根值判别法 (Root Test)： 虽然根值判别法在很多情况下与比值判别法具有相同的失效点（当极限为1时），但它在某些特殊情况下可能有效，特别是当 $|a_n|$ 的 $n$ 次方根容易计算时。
比较判别法 (Comparison Test)： 将级数与一个已知收敛或发散的级数进行比较。这是最基本也是最通用的判别法之一。
极限比较判别法 (Limit Comparison Test)： 计算待判级数与已知级数之比的极限。当这个极限是一个正的常数时，两个级数具有相同的收敛性。这个方法对于处理多项式形式的级数非常有用。
积分判别法 (Integral Test)： 如果级数 $a_n = f(n)$ 且 $f(x)$ 是正的、单调递减的连续函数，则级数 $sum a_n$ 与积分 $int_1^{infty} f(x) dx$ 具有相同的收敛性。
交错级数判别法 (Alternating Series Test)： 如果级数是交错的，且满足一定的条件，则该判别法可以用来判断收敛性。
总结：
比值判别法失效的主要情况是当级数项绝对值的比值 $left| frac{a_{n+1}}{a_n} ight|$ 的极限 $L = 1$ 时。这通常发生在级数项的增长或衰减速度接近于一个“临界”速度，使得该判别法无法与简单的几何级数进行有效的比较。在这种情况下，就需要运用其他更精细的判别方法来确定级数的收敛性。
网友意见
谢邀。
符号说明
- 余和：
- 代表一般级数 的通项
- ，表示存在与 无关的正常数 ，使得：
- 表示正常数
思路
级数，从最本质的观点看，就是部分和 这个数列的极限。试想，一个数列逼近其极限的方式何其丰富，甚至前 N 项都可以没有任何规律可言。不过，一个数列收敛是与前 N 项无关的；一个容易为人所忽视的级数收敛的充要条件——余和 趋于0（显然这与Cauchy收敛原理是等价的），而我们所学的一切判别法其实就是在描述余和以怎样的速度收敛到0.
我们最熟悉关系式： ，而余和也有与之对偶的关系：
所以，我们能构造出多少种余和 ，就能立即得到多少种收敛级数 ；那么，我们沿着这个思路，看看都能构造哪些收敛的级数.
常见绝对收敛级数
我们将以余和 作为收敛级数作为划分依据，借由 式，列之如下：
①
这个级数就不用多说什么了吧，从小到大经常被“裂项”的就是它！
更一般地，若
令 ，这就是我们最熟悉的 p-级数判别法. 下面我们试试其他类型的余和——
②
等比级数是根式、比值判别法的主角.
我们试试对数函数——
③
更一般地，若
由二项式定理：
代入最后可知
令 ，这是另外一个非常重要的判别收敛的级数. 类似地，当
进一步推广，设
需要说明一下符号： 表示对数函数的 m 层嵌套. 于是通过简单的计算可得，
按照此构造法，我们永远可以构造出以更慢的方式收敛的余和，那么所得到的判别标准无限精细……
级数收敛判别法
通过与上述我的级数相比较，我们可以使用比较判别法得到级数的收敛性，这个就不用多说了. 判别的另外一种思路：我们能否不借助别的级数，而只是对自身通项进行分析得到结果——这也是我们常用的判别法的思路.
不过常见的判别法基本上都是与等比级数比较，比如
- 比值判别法
- 根式判别法
对于等比级数的通项 ，
所以当某级数通项 满足：
那么自然也就有：
我们知道 时级数收敛. 这样看感觉上根式判别法和比值判别法似乎是等效的，因为它们都是在求级数的广义上的公比 （或者称指数增长率） ，但实际上，根式判别法较比值判别法更强一点，这个我就不展开谈了。
- 对数判别法
若某级数通项满足：
那么
当 时，级数收敛.
总结
可见余和是一种一以贯之的理解方法.
另外，又有 Ermakov 判别法，也是一个理解级数敛散性的思路，我打算以后有机会在我的专栏补充.
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