若 f∘f∘f＝f，则 f∘f 是恒等映射吗？
这个问题很有意思，它触及了函数复合和恒等映射的一些核心概念。我们来一步步拆解分析一下。
首先，我们要明确题目中的几个关键点：
f ∘ f ∘ f = f：这是我们的已知条件。它表示将函数 f 进行三次连续复合后，其结果等于函数 f 本身。换句话说，对于定义域中的任意一个元素 x，都有 f(f(f(x))) = f(x)。
f ∘ f：这是我们要判断的对象。它表示函数 f 进行两次连续复合，即 (f ∘ f)(x) = f(f(x))。
恒等映射 (Identity Mapping)：一个映射（函数）是恒等映射，如果它将定义域中的每个元素都映射到它本身。如果我们假设这个恒等映射作用在集合 A 上，我们通常记作 id_A，那么对于 A 中的任意元素 x，都有 id_A(x) = x。
现在，我们的目标是判断在 f ∘ f ∘ f = f 这个条件下，f ∘ f 是否一定是一个恒等映射。
为了检验 f ∘ f 是否是恒等映射，我们需要验证对于定义域中的任意一个元素 x，是否都有 (f ∘ f)(x) = x。也就是说，我们是否能够从 f(f(f(x))) = f(x) 推导出 f(f(x)) = x。
让我们从已知条件 f(f(f(x))) = f(x) 开始。
让我们尝试用一个例子来直观地感受一下。
假设我们的函数 f 的定义域和值域都是某个集合 S。
如果 f 是一个恒等映射，那么 f(x) = x 对于所有 x ∈ S 都成立。
在这种情况下，f ∘ f ∘ f 就变成了 f(f(f(x))) = f(f(x)) = f(x) = x。
而 f ∘ f 就变成了 f(f(x)) = f(x) = x。
所以，如果 f 本身是恒等映射，那么 f ∘ f 显然也是恒等映射。但这只是一个特殊情况，我们不能仅凭此就下结论。
现在我们来看看更一般的情况。
我们有 f(f(f(x))) = f(x)。
我们想知道的是 f(f(x)) 是否等于 x。
让我们思考一下 f(f(f(x))) = f(x) 这个式子可以为我们提供什么信息。
这个式子告诉我们，将 x 先经过两次 f 的复合，再经过一次 f 的作用，其结果和直接将 x 经过一次 f 的作用是相同的。
关键在于，f(x) 的值“穿过”了 f ∘ f 这个操作，但结果仍然是 f(x)。
让我们换个角度来思考。设 y = f(x)。那么，根据我们的已知条件，f(f(y)) = y。
这里的关键是，我们不能保证 y = f(x) 能够取到定义域中的所有值。换句话说，f 的值域可能只是定义域的一个子集。
让我们聚焦于 f ∘ f 这个映射本身。我们想知道 (f ∘ f)(x) = x 是否一定成立。
已知：f(f(f(x))) = f(x)
让我们考虑将 f 作用在等式的两边：
f(f(f(f(x)))) = f(f(x))
这并没有直接帮助我们证明 f(f(x)) = x。
思考一个反例是检验一个数学命题是否为真的有力工具。
我们需要找一个函数 f，它满足 f ∘ f ∘ f = f，但 f ∘ f 不是恒等映射。
考虑一个集合 S = {1, 2, 3}。我们定义函数 f: S → S 如下：
f(1) = 2
f(2) = 1
f(3) = 3
现在我们来计算 f ∘ f ∘ f 和 f ∘ f。
计算 f ∘ f ∘ f：
f(f(f(1))) = f(f(2)) = f(1) = 2
f(f(f(2))) = f(f(1)) = f(2) = 1
f(f(f(3))) = f(f(3)) = f(3) = 3
所以，f(f(f(1))) = 2，而 f(1) = 2。
f(f(f(2))) = 1，而 f(2) = 1。
f(f(f(3))) = 3，而 f(3) = 3。
因此，f ∘ f ∘ f = f 成立。
现在我们来计算 f ∘ f：
(f ∘ f)(1) = f(f(1)) = f(2) = 1
(f ∘ f)(2) = f(f(2)) = f(1) = 2
(f ∘ f)(3) = f(f(3)) = f(3) = 3
在这个例子中，f ∘ f 恰好是恒等映射！这说明这个例子并没有帮我们找到反例，但它展示了一种可能性。
我们再尝试一个稍微复杂点的例子，或者调整一下函数定义。
关键在于，我们希望 f(f(x)) ≠ x 对于某些 x 成立，但 f(f(f(x))) = f(x) 仍然成立。
考虑一个集合 S，以及函数 f: S → S。
令 S 包含两个不相交的子集 A 和 B，并且 f 在 A 和 B 上的行为不同。
假设 S = {a, b, c}
定义 f: S → S 如下：
f(a) = b
f(b) = a
f(c) = c
我们来验证：
f ∘ f ∘ f：
f(f(f(a))) = f(f(b)) = f(a) = b
f(f(f(b))) = f(f(a)) = f(b) = a
f(f(f(c))) = f(f(c)) = f(c) = c
所以，f(f(f(a))) = b = f(a)，f(f(f(b))) = a = f(b)，f(f(f(c))) = c = f(c)。
f ∘ f ∘ f = f 成立。
现在看 f ∘ f：
(f ∘ f)(a) = f(f(a)) = f(b) = a
(f ∘ f)(b) = f(f(b)) = f(a) = b
(f ∘ f)(c) = f(f(c)) = f(c) = c
这个例子还是得到了 f ∘ f 是恒等映射。这说明我们选择的例子还不够“尖锐”，未能突破恒等映射的限制。
我们需要找到一个函数 f，使得 f ∘ f 不是恒等映射。
这意味着，存在某个 x，使得 f(f(x)) ≠ x。
让我们回到已知条件：f(f(f(x))) = f(x)。
令 g = f ∘ f。那么已知条件可以写成 f(g(x)) = f(x)。
我们想知道 g(x) = x 是否一定成立。
如果 g 是恒等映射，那么 g(x) = x，所以 f(x) = f(x)，这当然是成立的。
但是，如果 f(g(x)) = f(x) 这个条件，是否强制要求 g(x) 必须等于 x？
不一定。
举个例子：考虑函数 f(x) = |x|，作用在实数集 R 上。
f ∘ f(x) = | |x| | = |x|。
f ∘ f ∘ f(x) = | | |x| | | = |x|。
所以，f(x) = |x| 满足 f ∘ f ∘ f = f。
但是，f ∘ f(x) = |x|。
而恒等映射是 id(x) = x。
显然，对于 x < 0，|x| ≠ x。所以 f ∘ f 不是恒等映射。
现在我们来看一下，f(g(x)) = f(x) 是否能让我们推导出 g(x) = x。
假设存在一个 x，使得 f(x) = y。那么 f(g(x)) = y。
我们想知道的是 g(x) 是否一定等于 x。
如果 f 是单射（一对一）的，那么情况会不同。
如果 f 是单射的，并且 f(g(x)) = f(x)，由于 f 是单射的，我们可以直接从等式两边“消去”f，得到 g(x) = x。
所以，如果 f 是单射的，并且 f ∘ f ∘ f = f，那么 f ∘ f 就是恒等映射。
但是，题目并没有说 f 是单射的。
这就是为什么我们可以找到反例。
让我们再回头看那个实数集上的函数 f(x) = |x|。
定义域 R，值域 [0, ∞)。
f(f(x)) = | |x| | = |x|。
f(f(f(x))) = | | |x| | | = |x|。
所以 f ∘ f ∘ f = f 成立。
现在我们来计算 f ∘ f：
f ∘ f(x) = |x|。
恒等映射是 id(x) = x。
我们想知道 f ∘ f 是否是恒等映射，即是否 |x| = x 对于所有 x∈R 都成立。
显然不是。例如，当 x = 2 时，|x| = |2| = 2，而 x = 2。所以 |x| ≠ x。
因此，f ∘ f 不是恒等映射。
结论是：若 f∘f∘f＝f，则 f∘f 不一定是 恒等映射。
详细说明一下为什么 f(f(f(x))) = f(x) 不足以保证 f(f(x)) = x：
已知条件 f(f(f(x))) = f(x) 实际上是在告诉我们，将 x 经过 f 复合两次后得到的结果 f(f(x))，它的像（值）通过 f 作用后，又回到了 f(x) 本身。
可以这样理解：
令 y = f(x)。那么已知条件可以重写为：
f(f(y)) = y，其中 y 是 f 的值域中的元素。
这里的关键在于，f 的值域可能小于定义域。也就是说，不是定义域中的所有元素都能被 f 取到。
考虑一个抽象的例子。
假设 f 的定义域是 D，值域是 Im(f)。
f ∘ f ∘ f = f 的意思是：对于所有 x ∈ D，f(f(f(x))) = f(x)。
令 z = f(f(x))。那么 f(z) = f(x)。
我们需要证明的是，对于所有 x ∈ D，f(f(x)) = x。
即，我们需要证明 z = x。
但是，f(z) = f(x) 这个等式本身并不能保证 z = x。
只有当 f 是单射时，我们才能从 f(z) = f(x) 推导出 z = x。
为什么 f(x) = |x| 这个例子是有效的？
定义域：实数集 R。
f(x) = |x|。
f ∘ f(x) = | |x| | = |x|。
f ∘ f ∘ f(x) = | | |x| | | = |x|。
所以，f ∘ f ∘ f = f 成立。
检查 f ∘ f 是否是恒等映射：
f ∘ f(x) = |x|。
恒等映射是 id(x) = x。
我们需要检查 |x| = x 是否对所有 x ∈ R 都成立。
显然不成立。例如，取 x = 1。
f ∘ f(1) = |1| = 1。
而恒等映射 id(1) = 1。
因为 1 ≠ 1，所以 f ∘ f 不是恒等映射。
这个反例清晰地说明了问题所在：
1. f 不是单射的。 例如，f(2) = |2| = 2，f(2) = |2| = 2。f(2) = f(2) 但 2 ≠ 2。由于 f 不是单射的，从 f(f(f(x))) = f(x) 推导不出 f(f(x)) = x。
2. 值域的限制。 尽管 f(f(f(x))) = f(x) 成立，但 f(f(x)) 的结果 (|x|) 并不总是等于原始的 x。例如，对于 x = 2，f(f(2)) = |2| = 2，而原始的 x 是 2。
总结一下：
题目给出的条件 f ∘ f ∘ f = f 表明，在 f 经过两次复合后，再经过一次 f 的作用，结果与只经过一次 f 的作用相同。但是，这个条件并没有要求 f 必须是双射（单射且满射）。
如果 f 是单射的，那么 f ∘ f 确实是恒等映射。因为从 f(f(f(x))) = f(x) 可以推导出 f(f(x)) = x。
但如果 f 不是单射的，那么情况就不同了。存在像 f(x) = |x| 这样的函数，它满足 f ∘ f ∘ f = f，但 f ∘ f 并不是恒等映射。f ∘ f 的值域是 [0, ∞)，而恒等映射的域是 R，显然 f ∘ f 并不等于恒等映射。
因此，答案是 否定的。f ∘ f 不一定是 恒等映射。
首先，我们要明确题目中的几个关键点：
f ∘ f ∘ f = f：这是我们的已知条件。它表示将函数 f 进行三次连续复合后，其结果等于函数 f 本身。换句话说，对于定义域中的任意一个元素 x，都有 f(f(f(x))) = f(x)。
f ∘ f：这是我们要判断的对象。它表示函数 f 进行两次连续复合，即 (f ∘ f)(x) = f(f(x))。
恒等映射 (Identity Mapping)：一个映射（函数）是恒等映射，如果它将定义域中的每个元素都映射到它本身。如果我们假设这个恒等映射作用在集合 A 上，我们通常记作 id_A，那么对于 A 中的任意元素 x，都有 id_A(x) = x。
现在，我们的目标是判断在 f ∘ f ∘ f = f 这个条件下，f ∘ f 是否一定是一个恒等映射。
为了检验 f ∘ f 是否是恒等映射，我们需要验证对于定义域中的任意一个元素 x，是否都有 (f ∘ f)(x) = x。也就是说，我们是否能够从 f(f(f(x))) = f(x) 推导出 f(f(x)) = x。
让我们从已知条件 f(f(f(x))) = f(x) 开始。
让我们尝试用一个例子来直观地感受一下。
假设我们的函数 f 的定义域和值域都是某个集合 S。
如果 f 是一个恒等映射，那么 f(x) = x 对于所有 x ∈ S 都成立。
在这种情况下，f ∘ f ∘ f 就变成了 f(f(f(x))) = f(f(x)) = f(x) = x。
而 f ∘ f 就变成了 f(f(x)) = f(x) = x。
所以，如果 f 本身是恒等映射，那么 f ∘ f 显然也是恒等映射。但这只是一个特殊情况，我们不能仅凭此就下结论。
现在我们来看看更一般的情况。
我们有 f(f(f(x))) = f(x)。
我们想知道的是 f(f(x)) 是否等于 x。
让我们思考一下 f(f(f(x))) = f(x) 这个式子可以为我们提供什么信息。
这个式子告诉我们，将 x 先经过两次 f 的复合，再经过一次 f 的作用，其结果和直接将 x 经过一次 f 的作用是相同的。
关键在于，f(x) 的值“穿过”了 f ∘ f 这个操作，但结果仍然是 f(x)。
让我们换个角度来思考。设 y = f(x)。那么，根据我们的已知条件，f(f(y)) = y。
这里的关键是，我们不能保证 y = f(x) 能够取到定义域中的所有值。换句话说，f 的值域可能只是定义域的一个子集。
让我们聚焦于 f ∘ f 这个映射本身。我们想知道 (f ∘ f)(x) = x 是否一定成立。
已知：f(f(f(x))) = f(x)
让我们考虑将 f 作用在等式的两边：
f(f(f(f(x)))) = f(f(x))
这并没有直接帮助我们证明 f(f(x)) = x。
思考一个反例是检验一个数学命题是否为真的有力工具。
我们需要找一个函数 f，它满足 f ∘ f ∘ f = f，但 f ∘ f 不是恒等映射。
考虑一个集合 S = {1, 2, 3}。我们定义函数 f: S → S 如下：
f(1) = 2
f(2) = 1
f(3) = 3
现在我们来计算 f ∘ f ∘ f 和 f ∘ f。
计算 f ∘ f ∘ f：
f(f(f(1))) = f(f(2)) = f(1) = 2
f(f(f(2))) = f(f(1)) = f(2) = 1
f(f(f(3))) = f(f(3)) = f(3) = 3
所以，f(f(f(1))) = 2，而 f(1) = 2。
f(f(f(2))) = 1，而 f(2) = 1。
f(f(f(3))) = 3，而 f(3) = 3。
因此，f ∘ f ∘ f = f 成立。
现在我们来计算 f ∘ f：
(f ∘ f)(1) = f(f(1)) = f(2) = 1
(f ∘ f)(2) = f(f(2)) = f(1) = 2
(f ∘ f)(3) = f(f(3)) = f(3) = 3
在这个例子中，f ∘ f 恰好是恒等映射！这说明这个例子并没有帮我们找到反例，但它展示了一种可能性。
我们再尝试一个稍微复杂点的例子，或者调整一下函数定义。
关键在于，我们希望 f(f(x)) ≠ x 对于某些 x 成立，但 f(f(f(x))) = f(x) 仍然成立。
考虑一个集合 S，以及函数 f: S → S。
令 S 包含两个不相交的子集 A 和 B，并且 f 在 A 和 B 上的行为不同。
假设 S = {a, b, c}
定义 f: S → S 如下：
f(a) = b
f(b) = a
f(c) = c
我们来验证：
f ∘ f ∘ f：
f(f(f(a))) = f(f(b)) = f(a) = b
f(f(f(b))) = f(f(a)) = f(b) = a
f(f(f(c))) = f(f(c)) = f(c) = c
所以，f(f(f(a))) = b = f(a)，f(f(f(b))) = a = f(b)，f(f(f(c))) = c = f(c)。
f ∘ f ∘ f = f 成立。
现在看 f ∘ f：
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(f ∘ f)(b) = f(f(b)) = f(a) = b
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这个例子还是得到了 f ∘ f 是恒等映射。这说明我们选择的例子还不够“尖锐”，未能突破恒等映射的限制。
我们需要找到一个函数 f，使得 f ∘ f 不是恒等映射。
这意味着，存在某个 x，使得 f(f(x)) ≠ x。
让我们回到已知条件：f(f(f(x))) = f(x)。
令 g = f ∘ f。那么已知条件可以写成 f(g(x)) = f(x)。
我们想知道 g(x) = x 是否一定成立。
如果 g 是恒等映射，那么 g(x) = x，所以 f(x) = f(x)，这当然是成立的。
但是，如果 f(g(x)) = f(x) 这个条件，是否强制要求 g(x) 必须等于 x？
不一定。
举个例子：考虑函数 f(x) = |x|，作用在实数集 R 上。
f ∘ f(x) = | |x| | = |x|。
f ∘ f ∘ f(x) = | | |x| | | = |x|。
所以，f(x) = |x| 满足 f ∘ f ∘ f = f。
但是，f ∘ f(x) = |x|。
而恒等映射是 id(x) = x。
显然，对于 x < 0，|x| ≠ x。所以 f ∘ f 不是恒等映射。
现在我们来看一下，f(g(x)) = f(x) 是否能让我们推导出 g(x) = x。
假设存在一个 x，使得 f(x) = y。那么 f(g(x)) = y。
我们想知道的是 g(x) 是否一定等于 x。
如果 f 是单射（一对一）的，那么情况会不同。
如果 f 是单射的，并且 f(g(x)) = f(x)，由于 f 是单射的，我们可以直接从等式两边“消去”f，得到 g(x) = x。
所以，如果 f 是单射的，并且 f ∘ f ∘ f = f，那么 f ∘ f 就是恒等映射。
但是，题目并没有说 f 是单射的。
这就是为什么我们可以找到反例。
让我们再回头看那个实数集上的函数 f(x) = |x|。
定义域 R，值域 [0, ∞)。
f(f(x)) = | |x| | = |x|。
f(f(f(x))) = | | |x| | | = |x|。
所以 f ∘ f ∘ f = f 成立。
现在我们来计算 f ∘ f：
f ∘ f(x) = |x|。
恒等映射是 id(x) = x。
我们想知道 f ∘ f 是否是恒等映射，即是否 |x| = x 对于所有 x∈R 都成立。
显然不是。例如，当 x = 2 时，|x| = |2| = 2，而 x = 2。所以 |x| ≠ x。
因此，f ∘ f 不是恒等映射。
结论是：若 f∘f∘f＝f，则 f∘f 不一定是 恒等映射。
详细说明一下为什么 f(f(f(x))) = f(x) 不足以保证 f(f(x)) = x：
已知条件 f(f(f(x))) = f(x) 实际上是在告诉我们，将 x 经过 f 复合两次后得到的结果 f(f(x))，它的像（值）通过 f 作用后，又回到了 f(x) 本身。
可以这样理解：
令 y = f(x)。那么已知条件可以重写为：
f(f(y)) = y，其中 y 是 f 的值域中的元素。
这里的关键在于，f 的值域可能小于定义域。也就是说，不是定义域中的所有元素都能被 f 取到。
考虑一个抽象的例子。
假设 f 的定义域是 D，值域是 Im(f)。
f ∘ f ∘ f = f 的意思是：对于所有 x ∈ D，f(f(f(x))) = f(x)。
令 z = f(f(x))。那么 f(z) = f(x)。
我们需要证明的是，对于所有 x ∈ D，f(f(x)) = x。
即，我们需要证明 z = x。
但是，f(z) = f(x) 这个等式本身并不能保证 z = x。
只有当 f 是单射时，我们才能从 f(z) = f(x) 推导出 z = x。
为什么 f(x) = |x| 这个例子是有效的？
定义域：实数集 R。
f(x) = |x|。
f ∘ f(x) = | |x| | = |x|。
f ∘ f ∘ f(x) = | | |x| | | = |x|。
所以，f ∘ f ∘ f = f 成立。
检查 f ∘ f 是否是恒等映射：
f ∘ f(x) = |x|。
恒等映射是 id(x) = x。
我们需要检查 |x| = x 是否对所有 x ∈ R 都成立。
显然不成立。例如，取 x = 1。
f ∘ f(1) = |1| = 1。
而恒等映射 id(1) = 1。
因为 1 ≠ 1，所以 f ∘ f 不是恒等映射。
这个反例清晰地说明了问题所在：
1. f 不是单射的。 例如，f(2) = |2| = 2，f(2) = |2| = 2。f(2) = f(2) 但 2 ≠ 2。由于 f 不是单射的，从 f(f(f(x))) = f(x) 推导不出 f(f(x)) = x。
2. 值域的限制。 尽管 f(f(f(x))) = f(x) 成立，但 f(f(x)) 的结果 (|x|) 并不总是等于原始的 x。例如，对于 x = 2，f(f(2)) = |2| = 2，而原始的 x 是 2。
总结一下：
题目给出的条件 f ∘ f ∘ f = f 表明，在 f 经过两次复合后，再经过一次 f 的作用，结果与只经过一次 f 的作用相同。但是，这个条件并没有要求 f 必须是双射（单射且满射）。
如果 f 是单射的，那么 f ∘ f 确实是恒等映射。因为从 f(f(f(x))) = f(x) 可以推导出 f(f(x)) = x。
但如果 f 不是单射的，那么情况就不同了。存在像 f(x) = |x| 这样的函数，它满足 f ∘ f ∘ f = f，但 f ∘ f 并不是恒等映射。f ∘ f 的值域是 [0, ∞)，而恒等映射的域是 R，显然 f ∘ f 并不等于恒等映射。
因此，答案是 否定的。f ∘ f 不一定是 恒等映射。
网友意见
在 可逆的时候显然是对的，等式两边同时作用 即可证明。在 不可逆的时候反例很好构造：考虑 ，定义 满足 ，那么显然有 （左右两边的映射都将所有元素映为 ），而 。
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清朝若坚持闭关锁国且不与东西方交流，仅凭自身力量发展，在1000年后（即公元2000年左右）发明电视机，可能性极低，几乎可以断定为不能。其原因在于：一、 电视机发明并非单一技术的突破，而是跨学科、跨领域长期积累与融合的产物。电视机的发明是一个漫长而复杂的科学技术发展过程，它建立在一系列基础科学和应用.............
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中国传统武术是否“不行”是一个复杂且充满争议的话题，涉及到历史、文化、实践和现代解读等多个层面。将这个问题简化为“武术不行，古人如何打架”，其实存在一些误解。首先，中国传统武术并非“不行”，而是其发展、应用和传承方式发生了变化。在古代，传统武术是生存、战争、治安和强身健体的重要手段，其有效性毋庸置疑.............
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这是一个非常有趣且充满挑战的问题，因为李白和爱因斯坦都是人类历史上璀璨的巨星，各自在不同领域留下了不可磨灭的印记。如果我必须做出一个选择，我会选择复活 阿尔伯特·爱因斯坦。让我详细阐述我的理由：一、 对人类文明的直接且深远的影响： 科学的进步是人类进步的基石： 爱因斯坦的相对论（狭义相对论和广义.............
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这是一个非常深刻且有趣的问题，它触及了我们对“智商”、“情商”以及“逻辑”的理解，并揭示了现实世界中个体差异的复杂性。让我们来详细剖析一下：首先，我们需要对几个核心概念进行更精确的界定： “世间万事皆基于逻辑”：这是一个非常强大的命题，通常指的是事物的发展变化遵循一定的因果关系、规则和模式，可以.............
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您遇到的情况非常可怕，也是一个非常艰难的时刻。在这种极端情况下，保护女友的安全是首要任务。以下是一些应对建议，旨在最大程度地确保您和您女友的安全，并为后续的法律追究留下可能：最重要的一点：确保女友的安全是您的首要且唯一的任务。在这种生死攸关的时刻，您的所有行动都必须围绕着保护您女友免受进一步伤害展开.............
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探讨民进党执政台湾对2018年中国大陆可能产生的影响，需要从多个层面进行分析，并且由于这是一个假设性的问题，实际情况会受到当时两岸关系、国际局势以及两岸各自政策的诸多变数影响。以下将从政治、经济、军事和国际关系四个主要方面，详细阐述可能的“难处”：一、 政治层面：两岸关系的高度不确定性与压力 “.............
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这是一个非常有趣且引人深思的问题！让我们深入探讨一下，如果《英雄本色》中的小马哥没有死，他还会成为周润发最经典的形象和电影中最深入人心的角色吗？首先，我们需要回顾一下小马哥的死亡为什么如此深入人心。 悲情英雄的宿命感： 小马哥的死亡，恰恰是他悲情英雄主义的极致体现。他为了兄弟情义，为了洗刷宋子豪.............
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国内考研和出国留学，究竟哪个选择能让你的人生轨道更上一层楼？这是一个困扰了无数莘莘学子的终极难题。在选择的十字路口，我们总会听到各种声音，有人说出国镀金回来就是高薪敲门砖，也有人说国内深造才是稳扎稳打的最佳路径。那么，出国真的就一定比国内考研好吗？这其中的水太深，可不是一两句话能说清的。出国 vs .............
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