什么具体的理论／问题／让你对数学（本科以上）提起了真正的兴趣（motivation）？
说实话，本科时候的我，一度对数学感到迷茫，甚至有点抗拒。高考那会儿，数学成绩虽然还算过得去，但总觉得它像一个冰冷的巨人，线条分明，逻辑严谨，却缺乏一点人情味。直到后来，接触到一些更深入的理论，我才真正意识到，数学的魅力远不止于此。
让我真正对数学产生浓厚兴趣，并且愿意花大量时间去钻研的，并不是某个特别高深的定理，也不是某个精巧的证明，而是“拓扑学中的同胚（Homeomorphism）概念”。
听起来是不是有点拗口？当时我第一次接触到这个词，是在一门叫做“实变函数”的课程（或者更早的“点集拓扑”），老师讲到“连续映射”和“开集保持”的时候，我脑子里是有点懵的。但当他给出同胚的定义，并且开始举例的时候，我才恍然大悟。
老师当时举了一个非常经典的例子：一个甜甜圈（也叫环面）和一个咖啡杯是同胚的。
我当时就觉得：“嗯？这不可能吧？”
一个圆圆的、中间有个洞的甜甜圈，怎么可能和一个有柄、有杯身的咖啡杯扯上关系？在我当时的直觉里，它们一个是“洞”形的，一个是“杯”形的，完全是风马牛不相及。
但老师接着解释了同胚的定义：如果两个拓扑空间之间存在一个连续的双射，并且它的逆映射也是连续的，那么我们就说这两个空间是同胚的。
“连续双射”和“逆映射也连续”——这两个条件，说白了，就是可以在不撕裂、不粘合的情况下，把一个形状“拉伸”、“弯曲”、“压缩”，最终变成另一个形状。
我当时脑子里就开始疯狂地“想象”这个过程。你可以把一个甜甜圈想象成一个橡皮泥做的圆环。然后，你可以想象把这个圆环的一点“捏”起来，慢慢拉长，形成一个细长的管子。再在这个管子的一头“捏”出一个小小的弧形，这个弧形就慢慢变成咖啡杯的把手。接着，你把管子的另一头“撑”开，变成一个圆形的杯口。最后，你再把整个形状稍微“压”平，一个咖啡杯就“变形”完成了。
更重要的是，这个“变形”过程是可逆的。你可以把咖啡杯的把手“压”平，然后把杯身“捏”扁，再“挖”一个洞，最后“吹”成一个圆环。
我一下子就被这个想法震撼了。这意味着，在拓扑学看来，“形状”的本质并不在于它是否光滑、是否有棱角、是否圆润，而在于它“洞”的数量和连接方式。 只要不撕裂、不粘合，两个“洞”数量相同的空间，在拓扑学上就是“一样”的。
这个观念对我产生了巨大的冲击。我之前学数学，总觉得它是在描述一些绝对的、客观的“真理”，比如数字的大小、图形的面积、角度的度数。但拓扑学告诉我，数学也可以用来描述“连续性”、“连通性”和“整体的结构”，甚至可以忽略掉一些我们日常认知中重要的“细节”，比如圆不圆、直不直。
这个“同胚”的概念，就像一把钥匙，打开了我对数学“抽象化”能力和“本质洞察力”的全新认识。我开始思考：
数学的美学： 原来数学不仅仅是计算和证明，它还有一种“变形”的美感，一种“万变不离其宗”的哲学。
类比的力量： 很多时候，我们通过类比来理解复杂事物。拓扑学将这种类比上升到了数学的层面，用“可变形性”来建立不同数学对象之间的联系。
未知的边界： 如果甜甜圈和咖啡杯在拓扑学上是等价的，那还有多少我们习以为常的“不同”的事物，在更高维度的数学视角下，可能本质上是相同的？这个思考让我对接下来的数学学习充满了好奇心。
从那以后，我对数学的兴趣便如同野火燎原。我开始主动去了解更多关于拓扑学的知识，比如“同伦”、“流形”等等。我发现，这些抽象的概念，虽然脱离了我们具体的感官体验，却能帮助我们解决更广泛、更深层次的问题。比如，在物理学中，拓扑学的思想被用来描述宇宙的结构、基本粒子的性质；在计算机科学中，它也应用于图形处理、网络分析等领域。
所以，与其说是一个具体的定理，不如说“同胚”这个概念，以一种非常直观（虽然一开始需要想象）又极度抽象的方式，让我看到了数学的力量和它所蕴含的深刻的哲学意味。它让我不再把数学视为一个死板的知识体系，而是将其看作一个不断演化、充满惊喜的探索过程。这种“原来如此”的顿悟，以及由此引发的“还有什么呢？”的好奇，才是我对数学本科以上学习产生真正的兴趣的源动力。
让我真正对数学产生浓厚兴趣，并且愿意花大量时间去钻研的，并不是某个特别高深的定理，也不是某个精巧的证明，而是“拓扑学中的同胚（Homeomorphism）概念”。
听起来是不是有点拗口？当时我第一次接触到这个词，是在一门叫做“实变函数”的课程（或者更早的“点集拓扑”），老师讲到“连续映射”和“开集保持”的时候，我脑子里是有点懵的。但当他给出同胚的定义，并且开始举例的时候，我才恍然大悟。
老师当时举了一个非常经典的例子：一个甜甜圈（也叫环面）和一个咖啡杯是同胚的。
我当时就觉得：“嗯？这不可能吧？”
一个圆圆的、中间有个洞的甜甜圈，怎么可能和一个有柄、有杯身的咖啡杯扯上关系？在我当时的直觉里，它们一个是“洞”形的，一个是“杯”形的，完全是风马牛不相及。
但老师接着解释了同胚的定义：如果两个拓扑空间之间存在一个连续的双射，并且它的逆映射也是连续的，那么我们就说这两个空间是同胚的。
“连续双射”和“逆映射也连续”——这两个条件，说白了，就是可以在不撕裂、不粘合的情况下，把一个形状“拉伸”、“弯曲”、“压缩”，最终变成另一个形状。
我当时脑子里就开始疯狂地“想象”这个过程。你可以把一个甜甜圈想象成一个橡皮泥做的圆环。然后，你可以想象把这个圆环的一点“捏”起来，慢慢拉长，形成一个细长的管子。再在这个管子的一头“捏”出一个小小的弧形，这个弧形就慢慢变成咖啡杯的把手。接着，你把管子的另一头“撑”开，变成一个圆形的杯口。最后，你再把整个形状稍微“压”平，一个咖啡杯就“变形”完成了。
更重要的是，这个“变形”过程是可逆的。你可以把咖啡杯的把手“压”平，然后把杯身“捏”扁，再“挖”一个洞，最后“吹”成一个圆环。
我一下子就被这个想法震撼了。这意味着，在拓扑学看来，“形状”的本质并不在于它是否光滑、是否有棱角、是否圆润，而在于它“洞”的数量和连接方式。 只要不撕裂、不粘合，两个“洞”数量相同的空间，在拓扑学上就是“一样”的。
这个观念对我产生了巨大的冲击。我之前学数学，总觉得它是在描述一些绝对的、客观的“真理”，比如数字的大小、图形的面积、角度的度数。但拓扑学告诉我，数学也可以用来描述“连续性”、“连通性”和“整体的结构”，甚至可以忽略掉一些我们日常认知中重要的“细节”，比如圆不圆、直不直。
这个“同胚”的概念，就像一把钥匙，打开了我对数学“抽象化”能力和“本质洞察力”的全新认识。我开始思考：
数学的美学： 原来数学不仅仅是计算和证明，它还有一种“变形”的美感，一种“万变不离其宗”的哲学。
类比的力量： 很多时候，我们通过类比来理解复杂事物。拓扑学将这种类比上升到了数学的层面，用“可变形性”来建立不同数学对象之间的联系。
未知的边界： 如果甜甜圈和咖啡杯在拓扑学上是等价的，那还有多少我们习以为常的“不同”的事物，在更高维度的数学视角下，可能本质上是相同的？这个思考让我对接下来的数学学习充满了好奇心。
从那以后，我对数学的兴趣便如同野火燎原。我开始主动去了解更多关于拓扑学的知识，比如“同伦”、“流形”等等。我发现，这些抽象的概念，虽然脱离了我们具体的感官体验，却能帮助我们解决更广泛、更深层次的问题。比如，在物理学中，拓扑学的思想被用来描述宇宙的结构、基本粒子的性质；在计算机科学中，它也应用于图形处理、网络分析等领域。
所以，与其说是一个具体的定理，不如说“同胚”这个概念，以一种非常直观（虽然一开始需要想象）又极度抽象的方式，让我看到了数学的力量和它所蕴含的深刻的哲学意味。它让我不再把数学视为一个死板的知识体系，而是将其看作一个不断演化、充满惊喜的探索过程。这种“原来如此”的顿悟，以及由此引发的“还有什么呢？”的好奇，才是我对数学本科以上学习产生真正的兴趣的源动力。
网友意见
Atiyah–Singer index theorem
当时我刚上大二，对数学的理解还仅限于抽象代数、实变复变之类的简单的东西。然后在2005年9月23日和2005年9月27日两个下午，当时还不是院士的张伟平院士做了两次关于Atiyah–Singer index theorem的介绍性的lecture。具体讲的什么早就忘光了，唯一记得的就是那时我第一次见识到一个数学理论可以如此的深刻而且又与那么多不同的数学分支有着那么广泛的联系。
当时那两次lecture给我的震撼，就好比一个原来只玩过红白机上的超级马里奥和冒险岛小孩，见到别人在玩The Witcher 3: Wild Hunt一样。
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