如何通俗易懂地解释卷积？

好的，我们来尝试用最通俗易懂的方式，一步步地拆解卷积，并且讲得详细一些。

想象一下你正在做一件很有趣的事情，我们把这个过程叫做“信息融合”或者“特征提取”。卷积就是一种实现这种“信息融合”或“特征提取”的强大工具。

核心思想：滑动和相乘，然后求和

卷积最核心的操作可以用一个简单的比喻来概括：

就像你用一把尺子（核/卷积核）在一个长长的纸条（输入/图片）上轻轻地滑动，每滑到一个位置，你就把尺子和纸条上重叠的部分对应着相乘，然后把乘出来的结果加起来。

这就是卷积最基础的动作。

为什么我们需要卷积？

我们为什么要这么做呢？想象一下你有一张照片（比如一张猫咪的照片）。你想从中提取一些有用的信息，比如：

猫咪的边缘在哪里？
猫咪的胡须是什么样子的？
猫咪眼睛的形状？

直接看一张很大的像素点组成的图片，这些信息隐藏得比较深，不容易直接看出来。这时候，卷积就像一个“聪明的滤镜”或“小侦探”，能帮我们把这些隐藏的信息找出来。

拆解卷积的几个关键角色

1. 输入 (Input)：这是我们要处理的数据。在图像处理中，输入通常就是一张图片。你可以把它想象成一张写满了数字的纸条，每个数字代表一个像素点的亮度或颜色信息。
细节解释：如果是彩色图片，它会更复杂，比如有红、绿、蓝三个通道，每个通道都是一张灰度图。卷积操作也会分别作用在这些通道上。但为了简单理解，我们先想象成一张黑白图片，只有亮度信息。

2. 卷积核 (Kernel) / 过滤器 (Filter)：这是卷积的核心“工具”。它本身也是一个小的数字矩阵（可以想象成一个很小的纸条）。卷积核的作用就是“扫描”输入，寻找特定的模式或特征。
细节解释：
小尺寸：卷积核通常比输入小得多，比如 3x3、5x5 这种尺寸。
特殊的设计：每个卷积核都经过精心设计，用来检测特定的特征。比如，有些核可能专门用来检测垂直边缘，有些用来检测水平边缘，有些用来检测某个特定角度的线条，有些甚至可以检测到更复杂的纹理。
权重：卷积核里的数字（权重）决定了它对输入中不同位置信息的“重视”程度。

3. 输出 (Output) / 特征图 (Feature Map)：这是卷积操作完成后产生的结果。它记录了卷积核在输入中的哪些位置“检测”到了它想要寻找的特征。
细节解释：输出的大小通常会比输入小一些（除非我们加上了特殊的填充），因为卷积核在输入的两侧滑动时，可重叠的部分会越来越少。输出中的每个值都代表了在输入中对应位置“匹配”到的程度。值越大，表示该特征越明显。

卷积的“滑动”过程（以二维卷积为例）

我们来详细看看这个“滑动”的过程：

假设我们有一个简单的输入（一个 5x5 的灰度图，数字代表亮度值）：

```
[ 1 2 3 4 5 ]
[ 6 7 8 9 10 ]
[11 12 13 14 15 ]
[16 17 18 19 20 ]
[21 22 23 24 25 ]
```

还有一个 3x3 的卷积核，用来检测“边缘”：

```
[ 1 0 1 ]
[ 1 0 1 ]
[ 1 0 1 ]
```
（注意：这个核设计得比较简单，专门用来检测垂直边缘。当右边比左边亮很多时，输出会比较大。）

现在，我们开始卷积：

1. 初始位置：将卷积核的左上角放在输入的左上角。

```
输入的一部分: 卷积核:
[ 1 2 3 ] [ 1 0 1 ]
[ 6 7 8 ] [ 1 0 1 ]
[11 12 13 ] [ 1 0 1 ]
```

2. 对应相乘并求和：将卷积核中的每个元素与其覆盖的输入中的对应元素相乘，然后将所有乘积加起来。

(1 1) + (2 0) + (3 1) +
(6 1) + (7 0) + (8 1) +
(11 1) + (12 0) + (13 1)
= 1 + 0 + 3 + 6 + 0 + 8 + 11 + 0 + 13
= 6

这个结果 6 就成为了输出（特征图）中的第一个值，它代表了输入左上角 3x3 区域的垂直边缘特征强度。

3. 滑动：现在，将卷积核向右移动一个像素（步长/stride = 1）。

```
输入的一部分: 卷积核:
[ 2 3 4 ] [ 1 0 1 ]
[ 7 8 9 ] [ 1 0 1 ]
[12 13 14 ] [ 1 0 1 ]
```

4. 再次相乘求和：

(2 1) + (3 0) + (4 1) +
(7 1) + (8 0) + (9 1) +
(12 1) + (13 0) + (14 1)
= 2 + 0 + 4 + 7 + 0 + 9 + 12 + 0 + 14
= 6

这个 6 就成为了输出中的第二个值。

5. 继续滑动：继续向右滑动，直到卷积核到达输入的右侧边缘。然后，再从第二行开始，重复向右滑动，直到覆盖整个输入。

填充 (Padding)：你可能会注意到一个问题：当卷积核滑动到输入的边缘时，它可能无法完全覆盖 3x3 的区域。为了保持输出的大小与输入相似，或者让卷积核能够更好地处理边缘信息，我们可以在输入的四周“填充”一些值（通常是0）。这叫做“填充”。如果使用了填充，卷积核就可以从最左边开始，覆盖到最右边，输出的大小就不会缩小那么多。

卷积的意义：提取特征

每一次卷积操作，都相当于用一个特定的“模式探测器”（卷积核）去扫描输入，看看输入在哪个位置“符合”这个模式。

边缘检测核：检测到边缘的地方，输出值就会比较大。
纹理检测核：检测到某种纹理的地方，输出值也会比较大。

通过使用多个不同的卷积核，我们就可以从原始输入中提取出各种各样的特征，例如：

直线（水平、垂直、斜线）
曲线
角点
颜色变化
更复杂的纹理和形状

卷积在神经网络中的应用 (卷积神经网络 CNN)

在卷积神经网络（CNN）中，这个过程被极大地扩展了：

1. 多层卷积：一个网络通常会有很多层卷积层。
第一层卷积：可能提取出最基础的特征，比如边缘、线条。
第二层卷积：将第一层提取的边缘组合起来，形成更复杂的特征，比如角点、简单的形状（圆、方）。
更深层的卷积：将这些简单的形状组合起来，形成更高级的特征，比如眼睛、鼻子、耳朵，最终形成一个完整的猫脸。

2. 激活函数：在卷积之后，通常会接一个激活函数（比如 ReLU），它会引入非线性，让网络能够学习到更复杂的模式。

3. 池化层 (Pooling Layer)：卷积层之后常常会跟着一个池化层（如最大池化）。池化层的作用是降维和保留关键信息，它会“压缩”特征图，比如在每个小区域里只保留最大的值。这有助于减少计算量，并且使网络对输入中的微小位移不那么敏感（具有一定的“平移不变性”）。

4. 全连接层：经过多层卷积和池化后，提取出的高级特征会被展平（变成一个长向量），然后输入到全连接层，用于最终的分类或回归任务（比如判断这张图片里是猫还是狗）。

总结一下

你可以把卷积想象成一个非常精密的“显微镜”或者“搜索引擎”。

卷积核是你的“显微镜镜头”或者“搜索关键词”，它被设计成只能看到某种特定的东西（特征）。
输入是你要检查的对象（一张图片）。
卷积操作就是你拿着显微镜在图片上扫描，看看哪个地方最清晰地显示出你想要看到的东西。
输出（特征图）就是这张图片上“显示”出你想要看到的东西的“热力图”，越亮的地方，说明该特征在该位置越明显。

通过一层一层地应用不同功能的“显微镜”，你就能从一张原始的图片中提取出越来越高级、越来越有用的信息，最终完成复杂的任务，比如图像识别。

希望这个详细的解释能帮助你更好地理解卷积！如果你还有疑问，欢迎继续提问！

网友意见

看了好多大神都从信号处理的角度解释卷积，下面我从移动平均这个角度解释一下卷积，个人觉得从这个角度更好理解一点。

假设现在有一个序列：

现在要对这个序列进行变换，将这个序列的每个元素和它相邻的两个元素做平均得到新序列上对应的值，比如4对应到新序列上的值就是，2对应到新序列上的值就是，依次类推就得到一个新序列，这个过程其实就是移动平均。

上面的变换也可以看成用一个长度为3，每个元素为1/3的小窗，在初始的序列上不断移动并对应相乘再相加的过程。

但是有的人可能觉得这个过程不太完美，认为转换的过程中使用移动平均不能完美的表达上述转换。因为转换的过程中中间的那个元素对新序列上的值权重比较大，他的两个邻居权重应该小点。这时候我们修改那个长度为3的小窗口，将其变成下面的样子：

但是每个小框权重是多少我们不好确定，干脆不如直接将其表示成函数得了，也不纠结它是多少了，于是就有了下面的函数：

假设我们的序列也是一个函数：，则上述变换过程就可以变成数学公式：

对于序列上的任意元素的变换过程都可以表示成：

其实这就是cross—correlation的定义式，跟卷积已经差不多了。如果我们每次在上述转换前先将小框倒置一下再去对应相乘再相加，也就是说将1/6，1/2，1/3的小框先变成1/3，1/2，1/6再去做变换我们就会得到卷积的公式。

上面是离散的情况下卷积的公式，如果我们的小框长度不是3而是无限长，而且小框里的元素都是连续的，这时候我们就得到真正意义上的卷积公式：

对于二维情况下的卷积同理。

其实上述的过程就和CNN的道理有点像了。怎么更好的理解CNN中的kernel，之后我会结合傅里叶序列对CNN进行一个更加通俗易懂的介绍。

有那么麻烦吗？

不推荐用“反转/翻转/反褶/对称”等解释卷积。好好的信号为什么要翻转？导致学生难以理解卷积的物理意义。

这个其实非常简单的概念，国内的大多数教材却没有讲透。

直接看图，不信看不懂。以离散信号为例，连续信号同理。

已知

下面通过演示求的过程，揭示卷积的物理意义。

第一步，乘以并平移到位置0：

第二步，乘以并平移到位置1：

第三步，乘以并平移到位置2：

最后，把上面三个图叠加，就得到了：

简单吧？无非是平移（没有反褶！）、叠加。

====================================================

从这里，可以看到卷积的重要的物理意义是：一个函数（如：单位响应）在另一个函数（如：输入信号）上的加权叠加。

重复一遍，这就是卷积的意义：加权叠加。

对于线性时不变系统，如果知道该系统的单位响应，那么将单位响应和输入信号求卷积，就相当于把输入信号的各个时间点的单位响应加权叠加，就直接得到了输出信号。

通俗的说：

在输入信号的每个位置，叠加一个单位响应，就得到了输出信号。

这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置， 叠 加一个单位响应，就得到了输出信号。

这正是单位响应是如此重要的原因。

在输入信号的每个位置， 叠 加一个单位响应，就得到了输出信号。

这正是单位响应是如此重要的原因。

从数学上讲，卷积就是一种运算。

某种运算，能被定义出来，至少有以下特征：

首先是抽象的、符号化的
其次，在生活、科研中，有着广泛的作用

比如加法：

，是抽象的，本身只是一个数学符号
在现实中，有非常多的意义，比如增加、合成、旋转等等

卷积，是我们学习高等数学之后，新接触的一种运算，因为涉及到积分、级数，所以看起来觉得很复杂。

1 卷积的定义

我们称为的卷积

其连续的定义为：

其离散的定义为：

这两个式子有一个共同的特征：

这个特征有什么意义？

我们令，那么就是下面这些直线：

如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：

此处受到荆哲：卷积为什么叫「卷」积？答案的启发。

只看数学符号，卷积是抽象的，不好理解的，但是，我们可以通过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如我们小学的时候，学习加减乘除需要各种苹果、糖果来帮助我们习惯一样。

我们来看看现实中，这样的定义有什么意义。

2 离散卷积的例子：丢骰子

我有两枚骰子：

把这两枚骰子都抛出去：

求：

这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。

我们把骰子各个点数出现的概率表示出来：

那么，两枚骰子点数加起来为4的情况有：

因此，两枚骰子点数加起来为4的概率为：

符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：

3 连续卷积的例子：做馒头

楼下早点铺子生意太好了，供不应求，就买了一台机器，不断的生产馒头。

假设馒头的生产速度是，那么一天后生产出来的馒头总量为：

馒头生产出来之后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为，比如，10个馒头，24小时会腐败：

想想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。

如此，我们可以知道，一天后，馒头总共腐败了：

这就是连续的卷积。

4 图像处理

4.1 原理

有这么一副图像，可以看到，图像上有很多噪点：

高频信号，就好像平地耸立的山峰：

看起来很显眼。

平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去。用数学的话来说，就是把山峰周围的高度平均一下。

平滑后得到：

4.2 计算

卷积可以帮助实现这个平滑算法。

有噪点的原图，可以把它转为一个矩阵：

然后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像：

记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就可以平滑山峰。

比如我要平滑点，就在矩阵中，取出点附近的点组成矩阵，和进行卷积计算后，再填回去：

要注意一点，为了运用卷积，虽然和同维度，但下标有点不一样：

我用一个动图来说明下计算过程：

写成卷积公式就是：

要求，一样可以套用上面的卷积公式。

这样相当于实现了这个矩阵在原来图像上的划动（准确来说，下面这幅图把矩阵旋转了）：

此图出处：Convolutional Neural Networks - Basics

文章最新版本在（有可能会有后续更新）：如何通俗地理解卷积？

我来举个通俗易懂的例子吧。我大一是这么理解记忆的，到现在大四一直没忘记过。

要理解卷积，就必须树立起来“瞬时行为的持续性后果”这个概念。

举个例子。在一个时刻点，我以迅雷不及掩耳之势吃下了一个冰激凌，此时我的体重瞬间增加，之后随着消化吸收能量利用和排泄等生理活动的进行，我的体重又缓慢下降。如下图所示：

我们把这个函数记为。我们把基础体重记为0，即没吃冰淇凌的时候体重是0，吃冰淇凌的效果过去了之后体重还是0。我们记每一个冰淇凌带来的瞬间体重增加为。易知，。

如何理解“瞬时行为的持续性后果”呢？在这个例子里，吃冰激凌是瞬间完成的动作，是一个瞬时行为；吃完冰激凌之后的体重的缓慢下降是持续了一段时间的，因此是吃冰激凌这个瞬时行为的一个持续性后果。

此时，只有在0时刻的瞬间吃了一个冰淇凌，在0时刻的瞬间，吃冰淇凌的速度是，其中表示极小的一个时间段；在其他时刻，吃冰淇凌的速度为0。因此，我们可以用一个冲击函数来表示在这种情况下吃冰淇凌的速度。表示的是，当吃冰淇凌的速度为冲击函数的时候，对我的体重的影响。

接下来我们考虑，我吃冰淇凌的频率很低，且每次只在一个瞬间吃一个冰淇凌，每次都等到体重恢复到原来的程度了再吃一个，那么我的体重变化就是这样子的。

这种情况下，如果我想要知道每一个时刻的体重，只需要知道我吃每个冰淇凌的时刻，再知道吃一个冰淇凌的效果，很容易就能求出来了。

接下来，我们考虑，如果我吃冰淇凌的速度恒定为1（注意不是一瞬间吃一个了，不是冲击函数），且时时刻刻都在吃冰淇凌，那么，在我连续吃了时间的冰淇凌之后，我的体重是多少呢？

这个问题是不是有点不好算了呢？之前的冰淇凌增加的体重还没降到0呢，现在的冰淇凌带来的体重就又来了，还一直持续，还是连续的，想想就头疼。

这个时候，要引入两个个原理。

第一，线性原理。即，我在一瞬间吃冰淇凌的个数，会以线性的方式作用在冰淇凌对体重的影响函数 上。我在一个瞬间吃了1个冰淇凌，之后我的体重变换是，如果我在一个瞬间吃了0.5个冰淇凌，之后我的体重变换是，如果n个呢，那就是。

第二，累加原理。即，冰淇凌的作用效果是可以累加的。即，一段时间之前我吃了一个冰淇凌，经过了一段时间的体重下降，现在我的体重是。现在我又吃了一个冰淇凌，体重又增加了。假设这个增加是可以累积的（直观上也是可以累积的），那么我的体重就会是。这就是累加原理。

这时我们来试着计算，在从开始就不停地吃冰淇凌，且吃冰淇凌的速度恒定为1的情况下，在任意时刻我的体重。

由于我在不停地吃冰淇凌，所以，我们先算，在某时刻附近的一瞬间，我吃的冰淇凌对现在时刻的我的体重的影响。因为，吃冰淇凌的速度是1，时间是，因此，在这一瞬间我吃的冰淇凌的个数是。那么根据线性原理，在这一瞬间，我吃的冰淇凌对现在时刻的我的体重的影响就是。

那么，根据累加原理，现在时刻的我的体重就是：从0到时刻我吃的所有冰淇凌对我的体重的影响的累加，即为：

上面这个式子是不是有点像我们学过的卷积了呢？

我们上面的讨论基于我们吃冰淇凌的速度是常数1，那么，如果我吃冰淇凌的速度不是常数，而是一个连续变化的函数，如在t时刻，吃冰淇凌的速度是 。那么，在我连续吃了时间的冰淇凌之后，我的体重是多少呢？

同样，我们先算，在某时刻附近的一瞬间，我吃的冰淇凌对现在时刻的我的体重的影响。因为，吃冰淇凌的速度是，时间是，因此，在这一瞬间吃的冰淇凌的个数是。那么根据线性原理，在这一瞬间，我吃的冰淇凌对现在时刻的我的体重的影响就是。

再根据累加原理，现在时刻的我的体重就是：从0到时刻我吃的所有冰淇凌对我的体重的影响的累加，即为：

这就是大家平时接触到的卷积了！

因此，在我的理解下，我将卷积解释为：

一个对象（本文中的吃冰淇凌）对一个系统（本文中的体重）的作用效果满足线性原理、累加原理。该对象对这个系统连续作用了一段时间后，求该系统的状态。这个时候，一个卷积就可以求出来了！

在卷积中，第一个函数表示这个对象对系统的作用速度。第二个函数表示当作用速度为单位冲击函数时这个对象对系统的作用效果。

我们来验证一下第二个函数的意义。取我吃冰淇凌的速度为单位冲击函数，则到时刻我的体重就是：，的的确确就是我吃冰淇凌的速度为单位冲击函数时，我的体重的变换。

最后，是一点说明。

课本上标准的卷积其实长成下面这个样子，积分区间是。

这个在我这个case里也比较好理解，主要是考虑到时间的物理意义。

第一，理解当时，恒成立。这个比较容易理解，因为，我在时刻吃的冰淇凌，对吃冰淇凌之前也就是时刻的我的体重是没有影响的。所以，当的时候，，。

第二，理解当时，恒成立。这个更好理解，就是时间非负性。我是从时刻开始吃冰淇凌的，表示我在时刻吃冰淇凌的速度。的时候，我还没吃冰淇凌呢，自然不存在吃冰淇凌的速度这个概念。

所以，

在其他的case里，情况就不一样了。

1、某一个对象的作用域可能不是时间域，不必遵循时间上的因果律。因此，当时，。

2、某一个对象的作用域可能不是时间域，作用域存在负数的可能性。因此，当时，。

基于以上两点考虑，积分区间就是，也就是课本上标准的卷积形式了！

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