为什么折射率也是一个复数？
要理解这一点，我们得先跳出“光只是在真空中以光速直线传播”的简单模型，进入到微观世界，看看光是如何与物质里的原子、分子打交道的。
想象一下，光就像一个微小的电磁波，它携带着电场和磁场，像鞭子一样扫过物质。 当这个电磁波进入一块透明的材料时，它会遇到材料中的无数个原子和分子。这些原子和分子内部有带负电的电子，以及带正电的原子核。
当光的电场穿过物质时，它会作用在这些带电粒子上。 就像你拨动一根绷紧的弦，它会开始振动一样，光的电场会驱动物质中的电子发生振动。这些被驱动的电子，又会受到原子核的束缚，它们并不会自由地乱跑，而是在各自的平衡位置附近振动，就像挂在弹簧上的小球一样。
关键来了：这些振动的电子本身就会产生自己的电磁波。 它们就像被音乐激活的小喇叭，发出的声音（电磁波）会与入射的光波叠加在一起。最终我们观察到的光波，实际上是入射光波与这些由物质内部电子振动产生的次级电磁波的“总和”。
现在，我们来谈谈复数。 在物理学里，我们经常用复数来描述振动和波。一个复数可以写成 $A e^{iphi}$ 的形式，其中 $A$ 是振幅（代表波的强度），$e^{iphi}$ 是一个包含相位信息的部分（决定了波的“位置”或“周期性”）。
当光波与物质相互作用时，会发生两件重要的事情，而这两件事都可以用复数来体现：
1. 振幅的变化（损耗）： 物质并非完美透明，总会吸收或散射一部分光。这部分被吸收或散射的光，就相当于损失了。在复数的描述中，这就表现为振幅的衰减。想象一下，你发出一个信号，但随着它在介质中传播，信号的强度会越来越弱。这部分损耗通常与介质的吸收系数有关。
2. 相位的变化（延迟）： 光在介质中的传播速度比在真空中慢。这意味着光波在介质中传播一个单位的距离，所经历的时间会比在真空中多，也就是说，它的相位会发生变化。这种相位变化导致了光波的折射，也就是我们常说的“弯曲”。这部分效应与介质的折射率（实部）有关。
所以，为什么折射率是复数？
一个复数折射率 $n$ 可以写成 $n = n_r + i n_i$ 的形式。
实部 $n_r$：这就是我们通常理解的折射率，它描述了光在介质中的速度减慢程度，以及由此引起的光线的偏折（折射）。$n_r$ 越大，光在介质中传播得越慢，偏折的角度也越大。
虚部 $n_i$：这个虚部就承载了刚才提到的光损耗的信息。它描述了光波在介质中传播时振幅衰减的程度。如果 $n_i$ 很大，意味着光在介质中很快就会被吸收或散射掉，介质对光来说是“不透明”或“半透明”的。如果 $n_i$ 为零，则表示介质是完全透明的，不会吸收或散射光。
更深入一点，我们是如何得到这个复数折射率的？
这涉及到物理学家们建立的描述光与物质相互作用的理论模型，最经典的比如洛伦兹模型。在这个模型里，物质中的电子被看作是连接到“弹簧”上的振子。当光波（一个驱动力）作用在这个振子上时，振子会以一个特定的频率振动。
振子的振动会受到两个主要因素的影响：
自身的固有频率（共振频率）： 每个振子都有自己喜欢振动的频率。
驱动力的频率（光的频率）： 入射光的频率。
当入射光的频率接近振子的共振频率时，振子会产生非常大的振动幅度。这时，光与物质的相互作用就会非常强烈。
如果入射光的频率低于共振频率： 振子会跟着光的频率振动，但幅度不会很大。它主要会改变光的相速度，导致折射。
如果入射光的频率等于或接近共振频率： 振子会吸收能量，剧烈振动，然后又以自己的方式释放能量，但这个过程会有损耗。这时，光会被强烈吸收，同时相位也会发生变化。
科学家们通过求解描述振子运动的微分方程，并将结果与光的传播联系起来，就可以推导出介质的复数介电常数，进而得到复数折射率。这个过程非常严谨，数学上也很复杂，但核心思想就是：光波驱动物质中的带电粒子振动，这些振动产生的次级波与入射波叠加，从而影响了最终光的传播。振幅的减小对应着吸收，相位的改变对应着折射。
所以，下次当你看到一个复数折射率时，别觉得奇怪。它只是在告诉我们，光在与物质打交道时，不仅仅是改变了方向（实部），还顺便把一部分自己的能量留在了介质里（虚部），或者说，它在穿过介质的过程中，经历了一场“能量损耗”和“时间延误”的复杂舞蹈。 这也解释了为什么有些材料看起来是彩色的（它们选择性地吸收了某些频率的光），而有些则会吸收光线，变得不那么透明。复数折射率，就是一把揭示光与物质之间这层复杂关系的钥匙。
网友意见
简单来说，就是形式上的波动形式的解，把振幅随传播衰减的部分写进波矢里。。
于是波矢就有了虚部，相应的，折射率也就有了虚部。。
虚部对应的物理意义就是振幅随传播衰减，也就是介质会对波有吸收。。
╮(╯_╰)╭
在介质-光相互作用系统中，介质的耗散性质，才是导致复数折射率的关键。
关于题主的问题，我想在其他的答主以及其引用中可以得到详尽的答复了。但我想，作为一个学物理的，总要讲一讲"物"理吧。首先我们咬文嚼字，并先给出结论：复数折射率包括四个部分，正实部是正常折射，负实部是反常折射；正虚部是能量增益；负虚部是能量耗散，在这里我们只讨论负虚部，其他的情况可以参阅[2]。
众所周知，无论是电动力学还是光学，对介质的处理都是尽可能的唯象;
在冰冰 @白如冰 的答案中，我们默认了导体Maxwell方程，由此从Maxwell方程预言了广义极化率可以是复数；这里，我们考虑到为了保证Maxwell方程的形式不变，定义了广义电极化率。
在 q神@qfzklm 的答案中，我们考虑到线性微分方程形式解的性质，预言了广义极化率可以是复数；这里，我们考虑到形式解的形式不变性，定义了广义波矢量，进而得到了广义极化率。
得到了广义极化率之后，得到折射率的过程是显然的。
在这里，我们通过考虑一些更加”基本的“物理事实去讨论为什么折射率可以是复数（甚至可以是纯的负实数等等）；即我们定义广义极化率是物质——光相互作用的线性响应理论给出的:
这个定义在很多领域都适用——我们在凝聚态物理中学到这个系数 以及其傅里叶变换 有一个很好听的名字叫做susceptibility，这是一类重要的可观测量。在光学、电动力学中，介质对电场的线性响应就是电极化率。
在量子力学中, 又和原子的密度矩阵元息息相关，从物质和场的演化，我们有一套自洽方法[1]去求解所谓的suspectibility，这往往依赖数值计算:
但从解析情况看来，从物质的角度,在假设光场是慢变的情况下，对于最简单的二能级原子，广义极化率一个显式的表达式是:
进而和跃迁算符的期待值有联系上:
所有具体的推导在参考文献[1,2]中均有体现，具体的推导留给有兴趣的读者。
了解了我们物理学对物质——光相互作用系统的基本处理手段之后，我们回到题目，为什么折射率是复数
注意到，算符的期待值不一定是纯实数的，我们在量子力学中已经学到了，只有厄米（保守的）量子系统观测量的本征值才是实数，非厄米的（耗散的）系统观测量的本征值不一定是实数——因为原子系统是一个耗散系统，介质的耗散性质，才是导致复数折射率的关键。
援引参考文献[1]中的对于三能级系统某个特殊情况的结果:
其中 是光频率和原子固有频率的差频, 是描述原子耗散的参数，显然地有
一般的三能级系统也有这个结果。
我们可以从经典理论重新认识这个事情，从冰冰的推导，导体就是典型的耗散介质；
而从Q神的推导中，导体的耗散已经全部唯象的引入倒了电场中——我们无法再回归物理本质了。
我们理应从更加广泛的统计力学来考虑这个问题，刚好我这个学期正在学习统计力学——按照统计力学线性响应理论的精神，susceptibility的虚部：
其中被扰动的能级是分立的而且处于热平衡态[3]， ,显然，在没有耗散加持的情况下，当且仅仅当扰动频率和原子频率差相关，susceptibility才会出现虚部，对于绝大部分的扰动频率，susceptibility都是0。
而只有当我们唯象的引入一个系统的耗散
才有:
于是，有了耗散的性质之后，任何频率下都会有一个虚部了。
我们还是给一个模拟吧。。。三能级体系的EIT的折射透射。。考虑的是是用刘维尔算符的稳态（进而体系是一个耗散体系）
[1]Quantum Optics, Marlan O. Scully, etc, Cambridge Press.
[2]Fast Light, Slow Light and Left-Handed Light, P W Milonni, IOP press.
[3]
[4]python code:
from qutip import * import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt u = basis(3,0) g = basis(3,1) e = basis(3,2) sigma_ee = e*e.dag() sigma_uu = u*u.dag() sigma_gg = g*g.dag() sigma_ue = u*e.dag() sigma_ge = g*e.dag() Delta_min = -3.0 Delta_max = 3.0 step = 300 Delta_list = np.linspace(Delta_min,Delta_max,step) gamma_eu = 5 gamma_eg = 0.1 c_o = [np.sqrt(gamma_eg)*sigma_ge,np.sqrt(gamma_eu)*sigma_ue] phi = 0 Omega1 = 0.1 Omega2 = 0.5 result = [] for Delta in Delta_list: H = -Delta*(sigma_ee-sigma_gg) + phi*(sigma_ee-sigma_uu)+ Omega1*(sigma_ge+sigma_ge.dag())+Omega2*(sigma_ue+sigma_ue.dag()) rhoss = steadystate(H,c_o) result.append(expect(sigma_ge.dag(),rhoss)) fig,ax = plt.subplots() plt.plot(Delta_list,[i.real for i in result],label = 'Real Part') plt.plot(Delta_list,[i.imag for i in result],'-.',label = 'Imaginary Part') plt.xlabel(r'Delta') plt.ylabel(r'sigma_{ge}') plt.legend() 类似的话题
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