为什么该图形红蓝面积相等?
首先，咱们得承认，这张图看起来挺复杂的，有曲线有直线，还有一些重叠的部分。但仔细观察，你会发现这背后其实是一些基础的几何图形组合而成。比如，你可能会看到一些扇形、三角形，甚至是一些不规则的区域。
关键在于，这些区域的划分并不是随意的，而是遵循着某种特定的规律或者测量方式。
咱们可以尝试从几个角度去解读：
1. 利用对称性：
如果这张图本身就具有某种对称性，比如轴对称或者中心对称，那么很多时候对称的两侧区域面积自然就会相等。你可以试着在脑子里或者用尺子在图上画一条分割线，看看红蓝区域是否能够完美地“镜像”过去。如果能，那对称性就是面积相等的直接原因。
2. 通过分解与重组：
即使没有明显的整体对称，很多时候我们也可以把复杂的图形分解成更小的、更容易计算的单元。想象一下，你能不能把红色的区域拆成几个小块，再把蓝色的区域也拆成相似的小块？然后，再看看这些小块之间能不能通过一些操作（比如平移、旋转）进行匹配。如果红色的所有小块加起来的面积，正好等于蓝色所有小块加起来的面积，那它们自然就是相等的。
这里面可能涉及到一些“切割”和“重组”的技巧。有时候，一个看似复杂的曲线区域，可以通过巧妙的切割，变成一个规则的形状，或者和一个规则形状的另一部分相互抵消。
3. 基于特定定理或公式的构建：
这张图很可能是在特定数学或几何定理的指导下绘制出来的。例如：
积分的概念： 如果这涉及到一些函数描绘的曲线，那么红蓝区域的面积可能就是通过积分来计算的。如果设计者在绘制时巧妙地设置了函数的参数，使得两个积分结果相等，那么面积自然相等。比如，如果曲线的方程是关于某个变量的奇函数或偶函数，并且积分区间是对称的，那么可能会出现面积相等的情况。
特定几何构造： 比如，在某些情况下，可能利用了圆的性质（如扇形面积公式）、多边形性质（如三角形面积公式），通过一系列的几何构造，使得最终形成的红蓝区域面积恰好相等。
可视化证明： 有时这类图形本身就是一种可视化证明，它用直观的方式展示了一个数学命题的成立。如果这个命题是关于面积相等的，那么这张图就是这个命题的证据。
4. 关键在于“如何测量”：
请注意，面积相等的前提是“测量方式一致”。这张图中的边界线和划分方式决定了我们如何去定义“红色的区域”和“蓝色的区域”。如果这些边界是精确地按照某个数学关系设定的，那么面积相等就不是巧合，而是设计的必然。
打个比方来说：
想象一下，你有一张纸，上面画了一个圆形。你用一把尺子，把这个圆形分成两半，然后用红笔涂了左半边，蓝笔涂了右半边。这不就明显是面积相等吗？因为圆形本来就是关于直径对称的。
这张图可能更复杂一些，它可能不是简单的“一半一半”，而是通过更巧妙的分割方式，把一个整体（比如一个大圆、一个正方形，或者一个由多条曲线围成的区域）分割成红蓝两块。
所以，要真正解释这张图的红蓝面积相等，我们需要看到具体的图形细节。 没有看到图形，我只能从一般性的几何原理来推测可能的原因。但总的来说，面积相等并非偶然，而是精心设计的几何结果。 设计者可能运用了对称性、分解重组的技巧，或者基于某个数学定理来确保这两个区域的面积在计算上是等同的。
如果你能提供这张图的具体样式，我或许能给出更精确的解释，告诉你它是如何通过某个特定的几何方法，将红蓝两块区域“魔法般”地变成面积相等的。但总的来说，别被它复杂的视觉效果迷惑，这里面一定隐藏着清晰的几何逻辑。
网友意见
确实有不需要硬算且更一般的方法，只需要假定曲线光滑，且所围的封闭区域有4条对称轴：上下、左右、东北西南、西北东南。然后任取一内点 ，作平行于对称轴的4条直线，把图形分成8个区域，如下图所示：
则有 。
证明可以通过割补来完成，初等而直接，但是线条较多，看起来比较乱。这里提供一个微积分的方法，思路很简单，就是计算面积的变化率（偏导数），发现恒为 ，从而面积是常数。所以面积跟 在对称中心时候的面积一样，从而是总面积的一半。
设 的坐标是 ，面积 是二元函数。它对 的偏导数由4个分量的偏导数组成。以第1个区域为例，当 以单位速度水平右移时，第1个区域面积的变化
。
（上面的式子可以通过微元法看出来，也可以通过用含参变元的积分来计算面积，再使用“积分号内求导”的方法来计算偏导数）这样总的偏导数就是这4个分量的和
。
当 处于对称中心时， 的值显然为0。下面我们证明 也是个常数，从而 ，从而 是常数。为此，继续求 的偏导数，它由6个分量组成，以 为例，令 是东北方向的单位向量，且记 是（以 为参数的）曲线在 点的切向量：
这样直线 上的分量就是
再由对称性可得 ，上式的值是 （注意到 是水平方向单位向量， 是东北方向单位向量）。
类似的令 是西北方向的单位向量，另外两项的值 ，
而最后两项，令 是正北向的单位向量， 。
这就得出 ，对 的偏导数类似，从而 ，这也就是 ，类似的得出对 的偏导数也恒为0。
一图流证明
仔细看的话可以看到这种构造性的证明思路挺清晰的，利用圆的对称性和 45 度这个特殊的角度，以较小的几块作为基础的拼图，然后再利用其对大块进行进一步的分割。该证明由 Carter 和 Wagon [1] 在 1994 年给出，也有其它答主给了 Geogebra 上的演示链接[2]。
这个问题其实有一个比较有意思的背景[3]，想象两个人一起分一块披萨，用刀平分的话，想象中只要过圆心，怎么切都行。但实际上因为切的过程并不知道圆心真的在哪，假如切的点不过圆心的话，两个人还能够实现平分么？
上述问题可以进一步拓展，切的刀的数量对结果平分与否有影响么？
这些研究从 1967 年开始，陆陆续续有好多数学爱好者和数学教授投入其中。对于最简单的情形来说，我们只切一刀，那么显然不是所有情况都平分的。切两刀的时候也同理。
切三刀的情形都被人做成习题了
对于四刀及以上的偶数刀情形，灰色和白色两个面积都是一致的，如果想要证明的话可以利用极坐标积分计算直接计算面积[4]。
这个问题还可以进一步扩展到三维的情形，比如……
Rick Mabry 和 Paul Deiermann[5] 在 2009 年用面积割补，对两部分面积的差进行级数展开，计算了从 2 维圆形到 3 维中各种不同的形状和表面被同样角度均分切割以后能否将体积或者面积平分。高维下进行对称性分析好像有点困难。
作者算了各种蛋糕或者奶酪的形状，他们发现对于半椭球的体积，半球面的表面积，分别在 5 刀以上的奇数刀和 3 刀以上的奇数刀，都是均分的。
真有你的，不愧是 Tasty Results ……
参考
- ^"Proof without Words: Fair Allocation of a Pizza." Mathematics Magazine, 67(4), p. 267 https://doi.org/10.1080/0025570X.1994.11996228
- ^为什么该图形红蓝面积相等? - 舒自均的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/447744804/answer/1767463226
- ^披萨定理 https://en.wikipedia.org/wiki/Pizza_theorem
- ^为什么该图形红蓝面积相等? - kuing的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/447744804/answer/1764915726
- ^Of Cheese and Crust:A Proof of the Pizza Conjectureand Other Tasty Results http://www.cs.umd.edu/~gasarch/BLOGPAPERS/pizza.pdf
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