为什么量子自旋霍尔态和2维拓扑绝缘体不是一回事？
首先，得明白一个基本概念：二维拓扑绝缘体（2D Topological Insulator），它更像是一个大类，一个家族的名字。就像咱们常说的“汽车”，这个词包含了轿车、SUV、皮卡等等各种类型。而量子自旋霍尔态（Quantum Spin Hall State，简称QSH态），则是这个家族里的一个非常特别、非常重要的成员，你可以把它理解成2D拓扑绝缘体家族里的“高性能跑车”。
想象一下，我们把物质按照它导电能力来简单划分，有金属（导电好）、绝缘体（导电差），还有半导体（介于两者之间）。拓扑绝缘体，顾名思义，它们也是绝缘体，在材料本体内部，电子是“乖乖”的，不怎么流动，就像一条平静的河流。但是，它们的“特别之处”就在于它们的边缘。
你可以把一个2D拓扑绝缘体想象成一个被厚厚墙壁包围的“岛屿”，墙壁内部是绝缘的，但岛屿的海岸线，也就是边缘，却有着截然不同的性质。在这个边缘，电子却能像冲浪高手一样，自由地来回穿梭，而且非常“守规矩”。
现在，我们来聚焦到“量子自旋霍尔态”。这个名字本身就透露了不少信息。首先，“量子”说明了它是微观粒子（电子）的量子力学效应在起作用，不是宏观上的那种“一锅端”现象。
“自旋”是电子的一个基本属性，你可以想象它像一个小陀螺，它有方向，可以“向上”或者“向下”。在通常的导电过程中，电子的自旋方向是杂乱无章的，就像一群没啥组织的游兵散勇。
“霍尔”呢，则与霍尔效应有关。你知道，当你有一个电流通过一个导体，并且施加一个垂直的磁场时，电子会在垂直于电流和磁场的方向上发生偏转，产生一个电压，这就是霍尔效应。
把这些联系起来，量子自旋霍尔态的“精彩”就体现在它的边缘了。在这个特殊的绝缘体里，它的边缘不再是简单的“导电通道”，而是有两条反方向传播的、并且是手性（chiral）的导电通道。什么叫“手性”呢？你可以想象一条路，一边是朝北走的，一边是朝南走的，而且它们是严格区分开的。
更关键的是，这两条边缘通道的电子，它们的自旋方向是高度定向的。比如，朝北走的电子，它们的自旋大概率是“向上”的；而朝南走的电子，它们的自旋大概率是“向下”的。反过来也可能，取决于具体的材料和参数。这就好像，在边缘的南北两条道上，车子不仅朝不同方向开，而且驾驶员还必须严格遵守“开东边的车必须戴红帽子，开西边的车必须戴蓝帽子”的规定。
那么，为什么量子自旋霍尔态是2D拓扑绝缘体的一个具体实现，而不是它们本身呢？
这是因为，2D拓扑绝缘体的概念，它描述的是一种普适的、由拓扑性质决定的电子能带结构。简单来说，就是材料的电子能带（描述电子能量和动量关系的图）在空间上的一种“扭曲”，这种扭曲使得在本体内是绝缘的，但在边界上必然出现导电的“鲁棒性”通道。
而量子自旋霍尔态，它描述的正是这样一种具体的、由自旋轨道耦合（SpinOrbit Coupling）引起能带“翻转”而形成的拓扑绝缘体。自旋轨道耦合，可以理解为电子在原子核周围运动时，它自身那个小陀螺（自旋）会受到它运动所产生的磁场的影响，导致不同自旋的电子感受到的“力”不一样，进而影响它们的能量和运动。
在QSH态中，强烈的自旋轨道耦合导致了能带的“交叉”和“翻转”，从而在材料内部形成了一个带隙（绝缘状态），但在边缘，却被迫出现了两个受自旋限制的、反向传播的导电通道。
打个比方，2D拓扑绝缘体就像“会飞行”这个能力。而量子自旋霍尔态，就是一种特殊的、由“翅膀”驱动的飞行方式。你可以想象，除了用翅膀，也许还有其他方式也能实现飞行，比如用喷气引擎。虽然最终都能飞，但背后的机制和具体表现是不同的。
换句话说，QSH态就是一种利用自旋轨道耦合实现的、以自旋定向的边缘导电为特征的2D拓扑绝缘体。
所以，所有的QSH态都必然是2D拓扑绝缘体，因为它们满足了2D拓扑绝缘体“本体绝缘，边缘导电”的核心特征，并且这种边缘导电还具有“鲁棒性”（不易受杂质和缺陷影响）。
但是，并不是所有的2D拓扑绝缘体都必须表现为QSH态。理论上，可能存在其他物理机制，也能够形成2D拓扑绝缘体，只是它们在边缘的导电通道可能不具备QSH态那样严格的自旋定向性，或者驱动它们的物理机制不是自旋轨道耦合。
比如，还有一些由磁性引起的二维拓扑绝缘体，它们可能和QSH态是“同类”的2D拓扑绝缘体，但驱动它们的“引擎”却是磁场，而不是QSH态里那种内在的自旋轨道耦合。
总结一下，你可以这样理解：“2D拓扑绝缘体”是一个更宽泛的概念，描述了一类具有特殊拓扑性质的二维材料。而“量子自旋霍尔态”是2D拓扑绝缘体的一种非常经典且重要的具体实现方式，它最显著的特点是利用自旋轨道耦合在材料边缘形成了两个方向相反、且自旋定向的导电通道。 就像“狗”是一个大类，而“哈士奇”是其中的一个特定品种，它有自己的独特之处，但本质上也是狗。QSH态就是2D拓扑绝缘体家族里的“明星品种”，但家族里可能还有其他“品种”呢！
网友意见
我认为狭义的QSH state和Z2 topological insulator不是一回事。写在自旋表象【1】下，有一类时间反演对称的哈密顿量可以写作
然而这样的定义依赖额外的“不稳定”对称性【2】——自旋守恒，很显然，在晶体中不打破时间反演但是自旋不守恒的过程有很多，在考虑体系拓扑性质的时候随意的加入额外的对称性会导致预言出很多实验很难观察的现象。如果考虑 ，Kane-Mele, cond-mat/0506581 构造了一个模型，证明了在存在自旋翻转的Rashba SOC的情况下体系依然存在Helical edge state，由于体系打破了自旋守恒，此时这样的edge state无法再定义”自旋霍尔电导“和自旋陈数，代以Z2 拓扑数。由此可知，狭义的自旋霍尔效应只是在Z2拓扑数上进一步添加了自旋守恒的结果，还导致了看起来像新的”自旋拓扑数“。加入Inversion symmetry也可以有类似的”新拓扑数“和Z2对应，Wilson-loop characterization of inversion-symmetric topological insulators。
这样的Z2 topological insulator似乎也开始被”广义的“称作Quantum spin hall insulator或者2D topological insulator，非常迷惑。要注意，和QSH state预言的整数化自旋量子霍尔电导、自旋filtering不同，这样的Z2 topological insulator是由边界上ballistic、disorder-immune的helical edge state在实验上表征的，我给这样的quasi-ballistic transport打上了"quantum spin hall"的引号。事实上，简单的分析transimission matrix就可以轻易的得到，其实这样的Z2 topological insualtor、这样的disorder-immune的边缘态只需要TR，受到时间反演对称性保护，这句话应该如何理解？和U(1)对称性(荷守恒)即可https://topocondmat.org/w5_qshe/fermion_parity_pump.html 。
如上图，这样的quasi-ballistic transport也时常被认为是"QSH"信号，但是狭义的QSH其实需要更多的和spin polarized实验有关的信号。
【1】2D中一般必须是 ，在有衬底影响下我认为可以适当放宽到 表象，其中 可以适当偏离out-of-plane方向。
【2】十重分类的语境下，我把 这类依赖其他稳定的序(超导、磁性)的叫做“稳定”的对称性；晶体对称性等等叫做“不稳定”。
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