这两个级数该怎么解答？
这两道级数题目，我们一步一步来解，把思路讲清楚，争取让大家都明白。
第一题：判断收敛性
我们先来看看第一道级数题目，它要求我们判断级数的收敛性。通常，判断级数收敛性有几种常用的方法：
1. 比较判别法/极限比较判别法： 将已知收敛或发散的级数与待判断的级数进行比较。
2. 比值判别法/根值判别法： 主要适用于含有指数项或阶乘项的级数。
3. 积分判别法： 将级数与一个对应的积分联系起来。
4. 交错级数判别法： 适用于交错级数（符号交替出现）。
对于这道题，我们先仔细观察一下级数的通项 $a_n$。如果它看起来比较复杂，或者有 $n$ 的高次幂，我们可以考虑使用比较判别法或者极限比较判别法。
假设题目是这样的：判断级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2+1}{n^3+n}$ 的收敛性。
解题思路：
1. 观察通项 $a_n$：
$a_n = frac{n^2+1}{n^3+n}$
当 $n$ 很大时，$n^2+1$ 的主要部分是 $n^2$，$n^3+n$ 的主要部分是 $n^3$。
所以，$a_n$ 的行为类似于 $frac{n^2}{n^3} = frac{1}{n}$。
2. 选择判别方法：
我们知道级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是调和级数，它是发散的。
既然 $a_n$ 的行为类似于 $frac{1}{n}$，而且 $frac{1}{n}$ 是发散的，我们可以猜测这个级数也是发散的。
为了严谨地证明，我们可以使用极限比较判别法。
3. 应用极限比较判别法：
极限比较判别法要求我们选择一个已知收敛或发散的级数 $b_n$，然后计算极限 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n}$。
如果这个极限是一个有限的、大于零的常数 $L$ ($0 < L < infty$)，那么级数 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 具有相同的收敛性。
我们选择 $b_n = frac{1}{n}$。
现在计算极限：
$$ L = lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{n^2+1}{n^3+n}}{frac{1}{n}} $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{n^2+1}{n^3+n} cdot n $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{n(n^2+1)}{n^3+n} $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{n^3+n}{n^3+n} $$
$$ L = lim_{n o infty} 1 $$
$$ L = 1 $$
4. 得出结论：
由于 $L=1$，并且 $1$ 是一个大于零的有限常数，根据极限比较判别法，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2+1}{n^3+n}$ 与级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 具有相同的收敛性。
因为级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2+1}{n^3+n}$ 也发散。
总结一下判断收敛性的过程：
首先分析级数通项在 $n$ 趋向无穷时的主要趋势，找到一个“参照系”级数（通常是 $p$级数 $sum frac{1}{n^p}$）。然后利用极限比较判别法（或者直接比较判别法）来判断。
第二题：求和（如果题目是求和的话）
如果第二道题是要求级数的值，那方法就完全不同了。求级数和的方法很多，常见的包括：
1. 裂项法： 将通项拆成两项之差的形式，使得中间项相互抵消。
2. 错位相减法： 主要用于等比数列相关的级数。
3. 泰勒展开/麦克劳林展开： 将级数与已知的函数泰勒展开式联系起来。
4. 利用特殊级数（如几何级数、调和级数的部分和等）的性质。
假设题目是这样的：求级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)}$ 的和。
解题思路：
1. 观察通项 $a_n$：
$a_n = frac{1}{n(n+1)}$
这个形式很适合使用部分分式分解。
2. 进行部分分式分解：
我们想把 $frac{1}{n(n+1)}$ 分解成 $frac{A}{n} + frac{B}{n+1}$ 的形式。
$frac{1}{n(n+1)} = frac{A(n+1) + Bn}{n(n+1)}$
所以，$1 = A(n+1) + Bn$
令 $n=0$，得 $1 = A(0+1) + B(0) implies A=1$。
令 $n=1$，得 $1 = A(1+1) + B(1) implies 1 = B implies B=1$。
因此，$frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} frac{1}{n+1}$。
3. 写出部分和：
这个级数是 $sum_{n=1}^{infty} (frac{1}{n} frac{1}{n+1})$。
我们来看它的部分和 $S_N$：
$S_N = sum_{n=1}^{N} (frac{1}{n} frac{1}{n+1})$
$S_N = (frac{1}{1} frac{1}{2}) + (frac{1}{2} frac{1}{3}) + (frac{1}{3} frac{1}{4}) + dots + (frac{1}{N} frac{1}{N+1})$
4. 利用裂项消去：
观察上面的展开式，你会发现 $frac{1}{2}$ 和 $+frac{1}{2}$ 抵消了，$frac{1}{3}$ 和 $+frac{1}{3}$ 抵消了，以此类推，直到 $frac{1}{N}$ 和 $+frac{1}{N}$ 抵消。
只剩下第一项的开头和最后一项的结尾：
$S_N = frac{1}{1} frac{1}{N+1} = 1 frac{1}{N+1}$。
5. 求级数的和：
级数的和等于其部分和的极限，当 $N o infty$ 时：
$S = lim_{N o infty} S_N = lim_{N o infty} (1 frac{1}{N+1})$
当 $N o infty$ 时，$frac{1}{N+1} o 0$。
所以，$S = 1 0 = 1$。
结论： 级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)}$ 的和为 $1$。
如果是其他形式的求和题，例如与几何级数相关的：
假设题目是：求级数 $sum_{n=0}^{infty} frac{2^n}{3^{n+1}}$ 的和。
解题思路：
1. 改写通项，寻找几何级数形式：
$a_n = frac{2^n}{3^{n+1}} = frac{2^n}{3^n cdot 3^1} = frac{1}{3} cdot frac{2^n}{3^n} = frac{1}{3} cdot (frac{2}{3})^n$
这个级数是 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{3} (frac{2}{3})^n$。
2. 识别几何级数：
这是一个几何级数，其一般形式为 $sum_{n=0}^{infty} ar^n$。
在这里，$a$ 是首项（当 $n=0$ 时），$r$ 是公比。
首项是 $a = frac{1}{3} (frac{2}{3})^0 = frac{1}{3} cdot 1 = frac{1}{3}$。
公比是 $r = frac{2}{3}$。
3. 应用几何级数求和公式：
当公比 $|r| < 1$ 时，几何级数 $sum_{n=0}^{infty} ar^n$ 收敛，其和为 $frac{a}{1r}$。
在这里，$|r| = |frac{2}{3}| = frac{2}{3} < 1$，所以级数收敛。
4. 计算级数的和：
$S = frac{a}{1r} = frac{frac{1}{3}}{1 frac{2}{3}}$
$S = frac{frac{1}{3}}{frac{1}{3}}$
$S = 1$
结论： 级数 $sum_{n=0}^{infty} frac{2^n}{3^{n+1}}$ 的和为 $1$。
要点总结：
判断收敛性： 先观察通项，找到类似行为的已知级数（如 $p$级数），然后用极限比较判别法或直接比较判别法。
求级数和： 关键在于如何处理通项。裂项法（部分分式）、错位相减法、联系特殊函数（如指数函数、三角函数）的泰勒展开，以及识别几何级数是常用手段。
如果你的题目具体形式不同，可以把具体的题目发出来，我们再针对性地分析。关键是要理解每种方法的适用范围和核心思想。
第一题：判断收敛性
我们先来看看第一道级数题目，它要求我们判断级数的收敛性。通常，判断级数收敛性有几种常用的方法：
1. 比较判别法/极限比较判别法： 将已知收敛或发散的级数与待判断的级数进行比较。
2. 比值判别法/根值判别法： 主要适用于含有指数项或阶乘项的级数。
3. 积分判别法： 将级数与一个对应的积分联系起来。
4. 交错级数判别法： 适用于交错级数（符号交替出现）。
对于这道题，我们先仔细观察一下级数的通项 $a_n$。如果它看起来比较复杂，或者有 $n$ 的高次幂，我们可以考虑使用比较判别法或者极限比较判别法。
假设题目是这样的：判断级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2+1}{n^3+n}$ 的收敛性。
解题思路：
1. 观察通项 $a_n$：
$a_n = frac{n^2+1}{n^3+n}$
当 $n$ 很大时，$n^2+1$ 的主要部分是 $n^2$，$n^3+n$ 的主要部分是 $n^3$。
所以，$a_n$ 的行为类似于 $frac{n^2}{n^3} = frac{1}{n}$。
2. 选择判别方法：
我们知道级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是调和级数，它是发散的。
既然 $a_n$ 的行为类似于 $frac{1}{n}$，而且 $frac{1}{n}$ 是发散的，我们可以猜测这个级数也是发散的。
为了严谨地证明，我们可以使用极限比较判别法。
3. 应用极限比较判别法：
极限比较判别法要求我们选择一个已知收敛或发散的级数 $b_n$，然后计算极限 $lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n}$。
如果这个极限是一个有限的、大于零的常数 $L$ ($0 < L < infty$)，那么级数 $sum a_n$ 和 $sum b_n$ 具有相同的收敛性。
我们选择 $b_n = frac{1}{n}$。
现在计算极限：
$$ L = lim_{n o infty} frac{a_n}{b_n} = lim_{n o infty} frac{frac{n^2+1}{n^3+n}}{frac{1}{n}} $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{n^2+1}{n^3+n} cdot n $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{n(n^2+1)}{n^3+n} $$
$$ L = lim_{n o infty} frac{n^3+n}{n^3+n} $$
$$ L = lim_{n o infty} 1 $$
$$ L = 1 $$
4. 得出结论：
由于 $L=1$，并且 $1$ 是一个大于零的有限常数，根据极限比较判别法，级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2+1}{n^3+n}$ 与级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 具有相同的收敛性。
因为级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n}$ 是发散的，所以级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{n^2+1}{n^3+n}$ 也发散。
总结一下判断收敛性的过程：
首先分析级数通项在 $n$ 趋向无穷时的主要趋势，找到一个“参照系”级数（通常是 $p$级数 $sum frac{1}{n^p}$）。然后利用极限比较判别法（或者直接比较判别法）来判断。
第二题：求和（如果题目是求和的话）
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1. 裂项法： 将通项拆成两项之差的形式，使得中间项相互抵消。
2. 错位相减法： 主要用于等比数列相关的级数。
3. 泰勒展开/麦克劳林展开： 将级数与已知的函数泰勒展开式联系起来。
4. 利用特殊级数（如几何级数、调和级数的部分和等）的性质。
假设题目是这样的：求级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)}$ 的和。
解题思路：
1. 观察通项 $a_n$：
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2. 进行部分分式分解：
我们想把 $frac{1}{n(n+1)}$ 分解成 $frac{A}{n} + frac{B}{n+1}$ 的形式。
$frac{1}{n(n+1)} = frac{A(n+1) + Bn}{n(n+1)}$
所以，$1 = A(n+1) + Bn$
令 $n=0$，得 $1 = A(0+1) + B(0) implies A=1$。
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因此，$frac{1}{n(n+1)} = frac{1}{n} frac{1}{n+1}$。
3. 写出部分和：
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$S_N = sum_{n=1}^{N} (frac{1}{n} frac{1}{n+1})$
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4. 利用裂项消去：
观察上面的展开式，你会发现 $frac{1}{2}$ 和 $+frac{1}{2}$ 抵消了，$frac{1}{3}$ 和 $+frac{1}{3}$ 抵消了，以此类推，直到 $frac{1}{N}$ 和 $+frac{1}{N}$ 抵消。
只剩下第一项的开头和最后一项的结尾：
$S_N = frac{1}{1} frac{1}{N+1} = 1 frac{1}{N+1}$。
5. 求级数的和：
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所以，$S = 1 0 = 1$。
结论： 级数 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)}$ 的和为 $1$。
如果是其他形式的求和题，例如与几何级数相关的：
假设题目是：求级数 $sum_{n=0}^{infty} frac{2^n}{3^{n+1}}$ 的和。
解题思路：
1. 改写通项，寻找几何级数形式：
$a_n = frac{2^n}{3^{n+1}} = frac{2^n}{3^n cdot 3^1} = frac{1}{3} cdot frac{2^n}{3^n} = frac{1}{3} cdot (frac{2}{3})^n$
这个级数是 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{3} (frac{2}{3})^n$。
2. 识别几何级数：
这是一个几何级数，其一般形式为 $sum_{n=0}^{infty} ar^n$。
在这里，$a$ 是首项（当 $n=0$ 时），$r$ 是公比。
首项是 $a = frac{1}{3} (frac{2}{3})^0 = frac{1}{3} cdot 1 = frac{1}{3}$。
公比是 $r = frac{2}{3}$。
3. 应用几何级数求和公式：
当公比 $|r| < 1$ 时，几何级数 $sum_{n=0}^{infty} ar^n$ 收敛，其和为 $frac{a}{1r}$。
在这里，$|r| = |frac{2}{3}| = frac{2}{3} < 1$，所以级数收敛。
4. 计算级数的和：
$S = frac{a}{1r} = frac{frac{1}{3}}{1 frac{2}{3}}$
$S = frac{frac{1}{3}}{frac{1}{3}}$
$S = 1$
结论： 级数 $sum_{n=0}^{infty} frac{2^n}{3^{n+1}}$ 的和为 $1$。
要点总结：
判断收敛性： 先观察通项，找到类似行为的已知级数（如 $p$级数），然后用极限比较判别法或直接比较判别法。
求级数和： 关键在于如何处理通项。裂项法（部分分式）、错位相减法、联系特殊函数（如指数函数、三角函数）的泰勒展开，以及识别几何级数是常用手段。
如果你的题目具体形式不同，可以把具体的题目发出来，我们再针对性地分析。关键是要理解每种方法的适用范围和核心思想。
网友意见
考虑利用三角恒等式 于是有 进而
注意到 于是
所以 所以
注意到：
那么
一个经典结论：
那么第一问：
第二问很自然地联想到超几何函数：
Pochhammer记法：
那么 ，并且定义
唔...下标要改一下。
利用:(条件 下收敛)
得到：
结果为
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