如何理论计算多米诺骨牌推进速度？
要理论计算多米诺骨牌的推进速度，这并非一个简单的线性公式就能解决的问题。它涉及到能量传递、动量守恒、摩擦力、以及骨牌自身物理属性等一系列复杂的相互作用。下面我们尝试从多个角度，尽可能详细地解析这个问题。
核心原理：能量与动量传递
多米诺骨牌推进的核心在于能量和动量的层层传递。当第一块骨牌倒下时，它将一部分重力势能转化为动能，这部分动能又通过碰撞传递给下一块骨牌，使其也开始倒下，如此循环往复。
简化模型与理论基础
为了便于理解和计算，我们可以先建立一个简化的模型。
1. 理想情况：无摩擦、无空气阻力
单块骨牌倒下的过程：
一块静止的骨牌，当受到一个瞬间的力（从上一块骨牌传递而来）作用于其顶部边缘时，会绕着底部边缘发生旋转。我们可以将其视为一个绕固定轴旋转的刚体。
设骨牌的高度为 $h$，宽度为 $w$，质量为 $m$。当骨牌以底部边缘为轴旋转，从垂直状态倒下至水平（接触地面）时，其质心从 $h/2$ 的高度下降到几乎为零（忽略厚度）。
根据能量守恒，初始的重力势能 $E_p = mgh/2$ （质心高度）会转化为旋转动能 $E_k = frac{1}{2}Iomega^2$，其中 $I$ 是骨牌绕其底部边缘的转动惯量，$omega$ 是角速度。
对于一块均匀的矩形骨牌，绕着其一个边（底部边缘）的转动惯量 $I = frac{1}{3}mh^2$。
因此，$mgh/2 = frac{1}{3}mh^2omega^2$。
解出倒下时的最大角速度 $omega_{max} = sqrt{frac{3g}{2h}}$。
骨牌质心的线速度 $v = omega r$，在这里 $r$ 是质心到旋转轴的距离，对于均匀矩形骨牌，质心在高度 $h/2$ 处，所以 $r=h/2$。
因此，当骨牌倒下接触地面时，其质心（也是其顶部边缘在接触下一块骨牌时的接触点）的线速度（近似视为初始向前运动的速度）为 $v = omega_{max} cdot frac{h}{2} = sqrt{frac{3g}{2h}} cdot frac{h}{2} = frac{h}{2}sqrt{frac{3g}{2h}} = sqrt{frac{3gh^2}{8h}} = sqrt{frac{3gh}{8}}$。
能量传递效率：
这仅仅是单块骨牌倒下时其自身质心的最大速度。关键在于，这部分动能有多少能有效地传递给下一块骨牌，使其开始倒下。
假设骨牌倒下时，其质心向前移动的距离就是骨牌的宽度 $w$。当它碰撞到下一块骨牌时，能量传递并非100%。一部分能量会以声波、热量（摩擦）、以及骨牌自身的形变等形式损失。
一个简化的模型是假设碰撞是弹性的，并且只考虑动量传递。当第一块骨牌以速度 $v_1$ 撞击静止的第二块骨牌时，根据动量守恒，如果两块骨牌质量相等，且碰撞瞬间传递的动量主要用于使第二块骨牌开始旋转，那么理想情况下第二块骨牌的初始速度会接近第一块骨牌的速度。
骨牌排列间距的影响：
这是影响速度的最重要因素之一。设骨牌之间的间距为 $d$。
当一块骨牌倒下时，它需要向前移动一段距离 $w$（骨牌宽度）才能接触到下一块骨牌的顶部边缘。如果间距 $d < w$，则在第一块骨牌倒下过程中，它的顶部边缘就能触碰到下一块骨牌并使其倒下。
如果 $d > w$，那么第一块骨牌倒下后，需要一段自由落体或滑行距离才能将其顶部边缘推到下一块骨牌的顶部，这个过程会导致能量损失或速度衰减。
最理想的间距是使得每块骨牌倒下时，其倒下的过程刚好带动下一块骨牌倒下。这通常意味着倒下的骨牌在碰到下一块骨牌时，其顶部边缘的水平速度要足以克服下一块骨牌的转动惯量和轻微的摩擦力。
连续传递速度：
在理想情况下，假设每次碰撞的能量传递效率是恒定的 $eta$（$0 < eta < 1$），并且骨牌的质量、高度、宽度都相同。
设第 $n$ 块骨牌倒下时其质心的速度为 $v_n$。那么，当它以速度 $v_n$ 撞击第 $n+1$ 块骨牌时，第 $n+1$ 块骨牌获得的动能为 $eta cdot frac{1}{2}m v_n^2$（这是一个非常简化的假设）。
这个动能转化为第 $n+1$ 块骨牌的初始旋转动能，使其开始倒下。
如果我们将倒下的骨牌的质心速度作为该“波浪”前进的速度，那么在理想情况下，由于每次传递的能量近似相同，速度应该保持相对稳定。
然而，更准确地说，我们关注的是骨牌阵列整体推进的“速度”，这指的是相邻骨牌依次开始倒下的时间间隔所对应的空间距离。
假设一块骨牌从静止到倒下的时间为 $Delta t$。在理想情况下，这个 $Delta t$ 是恒定的。如果骨牌间距为 $s$（包含骨牌宽度和间隙），那么推进速度 $V = s / Delta t$。
单块骨牌倒下的时间 $Delta t$ 可以近似为从开始旋转到倒下的时间。角速度是从0开始增加到 $omega_{max}$，平均角速度约为 $omega_{avg} = omega_{max} / 2$。
旋转角度是 $pi/2$ (从垂直到水平)。$Delta t = frac{pi/2}{omega_{avg}} = frac{pi/2}{omega_{max}/2} = frac{pi}{omega_{max}} = pi sqrt{frac{2h}{3g}}$。
那么推进速度 $V approx frac{s}{pi sqrt{frac{2h}{3g}}} = frac{s}{ pi} sqrt{frac{3g}{2h}}$。
这里的 $s$ 是每块骨牌占据的平均长度，如果骨牌紧密排列（间距为0），则 $s$ 接近骨牌宽度 $w$。如果考虑间隙 $d$，则 $s = w+d$。
在这种近似模型下，推进速度 $V approx frac{w+d}{pi} sqrt{frac{3g}{2h}}$。
2. 考虑实际因素：摩擦、空气阻力、非弹性碰撞
摩擦力：
骨牌在地面上的滚动摩擦（如果底部有滚动）和骨牌与地面之间的滑动摩擦都会消耗能量。同时，骨牌之间碰撞时也存在内摩擦和外部摩擦。这些都会导致能量损失，从而降低传递效率。
地面摩擦系数 $mu_k$。当骨牌倒下时，其底部边缘与地面之间的摩擦力会产生一个阻止其旋转的力矩。这个力矩是 $M_f = mu_k N cdot r_f$，其中 $N$ 是支持力（接近 $mg$），$r_f$ 是摩擦力的作用点到旋转轴的距离。如果假设摩擦力作用在质心处，则 $r_f = h/2$。
这个摩擦力矩会减慢骨牌的倒下速度，并消耗能量。
骨牌相互碰撞时的摩擦力也会阻碍动量传递。
空气阻力：
对于高速运动的骨牌阵列，空气阻力不可忽略，它会随着速度的平方增加，并消耗动能。
非弹性碰撞：
骨牌之间的碰撞并非完全弹性。骨牌材料的形变、破碎（虽然我们假设不破碎）都会吸收能量。能量以热量、声波等形式耗散。因此，每次传递的能量会越来越少，速度会逐渐衰减。
骨牌的质量分布与形状：
我们假设骨牌是均匀的矩形。但实际的骨牌可能有不同的形状、质量分布不均（例如，带图案的印刷面），这会影响其转动惯量和质心位置，从而改变倒下时的速度和动量传递特性。
骨牌的“站立”角度：
骨牌并非完全垂直站立，通常会有一个微小的倾斜角。这会影响初始受力点和倒下时的运动轨迹。
阵列的整体结构与稳定性：
骨牌阵列的排列方式（直线、曲线、复杂图案）也会影响推进过程的稳定性。某些结构可能更容易发生“失效”，即某一块骨牌没有被成功触发。
更复杂的模型与数值模拟
要精确计算，需要更复杂的模型，甚至需要数值模拟：
1. 有限元分析 (FEA)： 可以模拟骨牌的形变、碰撞时的应力分布，以及能量耗散。
2. 多体动力学模拟： 将每块骨牌视为一个独立的刚体或柔体，通过定义它们之间的接触和碰撞模型，来模拟整个阵列的运动。这可以考虑摩擦、碰撞恢复系数（弹性程度）等因素。
3. 能量损失模型： 建立详细的能量损失模型，例如，每次碰撞损失的总能量占传递总能量的百分比，或者基于摩擦系数和接触时间和力的大小来计算能量损失。
关键参数的确定
要进行理论计算，需要精确测量或已知以下参数：
骨牌的物理尺寸： 高度 ($h$)、宽度 ($w$)、厚度（影响转动惯量和碰撞）。
骨牌的质量 ($m$) 和质量分布。
骨牌材料的性质： 弹性模量、泊松比（用于FEA模拟形变和能量吸收）。
骨牌的转动惯量 ($I$) 绕其底部边缘。
骨牌之间的间距 ($d$)。
摩擦系数： 骨牌底部与地面之间的摩擦系数 ($mu_{g}$)，骨牌之间接触面的摩擦系数 ($mu_{c}$)。
碰撞恢复系数 ($e$)： 衡量碰撞弹性的参数，对于骨牌碰撞，通常远小于1。
一个更精细的估算思路（基于能量损失）
假设每块骨牌倒下并触发下一块骨牌的过程是一个能量传递链条。
设第 $n$ 块骨牌倒下时的初始动能为 $K_n$。
这个动能一部分用于使第 $n+1$ 块骨牌开始倒下，设这部分有效能量为 $K_{n+1, effective}$。
而 $K_{n+1, effective} = eta K_n$，其中 $eta$ 是能量传递效率（小于1）。
第 $n+1$ 块骨牌的倒下需要吸收的最低能量是使其质心从 $h/2$ 高度下降所需的势能变化，即 $mgh/2$。然而，它实际上转化为旋转动能。
如果假设每块骨牌都以几乎相同的角速度开始旋转，那么从能量角度看，传递的能量需要至少足以使下一块骨牌达到其倒下所需的初始动能。
更实际的考虑是，第一块骨牌倒下的动能来自于重力势能转化，即 $E_{total,1} approx mgh/2$。
在传递过程中，假设每次传递的效率是 $eta_1$（能量传递效率），每次倒下过程中有能量损失（摩擦、空气阻力等），设为 $epsilon$（能量损失系数，表示损失的动能占倒下骨牌动能的比例）。
那么，第 $n$ 块骨牌倒下时所具有的动能（或传递给下一块骨牌的动能）将是递减的。
如果我们关注的是“波浪”前进的速度，可以将其理解为相邻骨牌触发的时间间隔。
第一块骨牌倒下的时间 $Delta t_1$。
第二块骨牌被触发并开始倒下的时间是 $Delta t_{capture, 2}$。
总的时间间隔是 $Delta t_1 + Delta t_{capture, 2}$。
如果 $Delta t_{capture, 2}$ 也很小（即触发很快），那么整体速度就接近第一块骨牌倒下的速度所能驱动的传播速度。
结论与挑战
理论计算多米诺骨牌的推进速度是一个复杂的问题，没有单一的解析公式能够准确描述。
在理想化的无摩擦、无空气阻力、弹性碰撞的条件下，我们可以估算出单块骨牌倒下时的速度，并假设能量传递效率恒定来推测整体速度。
然而，在实际情况中，摩擦力、非弹性碰撞、空气阻力等因素都会显著影响能量传递效率，并导致速度衰减。骨牌的间距是影响速度的最关键的宏观参数。
要获得更精确的计算，必须引入更详细的物理模型，例如考虑摩擦力矩、碰撞恢复系数，并可能需要进行数值模拟来捕捉这些复杂的相互作用。对实际骨牌阵列进行精确的理论计算，往往需要结合实验数据来校准模型参数。
总而言之，多米诺骨牌的推进速度是能量传递链中的一个动态过程，它受到骨牌自身属性、排列方式以及各种阻碍因素的综合影响。一个简化的速度估算公式可以给出大致的数量级，但要达到精确预测，则需要更深入的物理建模和仿真。
核心原理：能量与动量传递
多米诺骨牌推进的核心在于能量和动量的层层传递。当第一块骨牌倒下时，它将一部分重力势能转化为动能，这部分动能又通过碰撞传递给下一块骨牌，使其也开始倒下，如此循环往复。
简化模型与理论基础
为了便于理解和计算，我们可以先建立一个简化的模型。
1. 理想情况：无摩擦、无空气阻力
单块骨牌倒下的过程：
一块静止的骨牌，当受到一个瞬间的力（从上一块骨牌传递而来）作用于其顶部边缘时，会绕着底部边缘发生旋转。我们可以将其视为一个绕固定轴旋转的刚体。
设骨牌的高度为 $h$，宽度为 $w$，质量为 $m$。当骨牌以底部边缘为轴旋转，从垂直状态倒下至水平（接触地面）时，其质心从 $h/2$ 的高度下降到几乎为零（忽略厚度）。
根据能量守恒，初始的重力势能 $E_p = mgh/2$ （质心高度）会转化为旋转动能 $E_k = frac{1}{2}Iomega^2$，其中 $I$ 是骨牌绕其底部边缘的转动惯量，$omega$ 是角速度。
对于一块均匀的矩形骨牌，绕着其一个边（底部边缘）的转动惯量 $I = frac{1}{3}mh^2$。
因此，$mgh/2 = frac{1}{3}mh^2omega^2$。
解出倒下时的最大角速度 $omega_{max} = sqrt{frac{3g}{2h}}$。
骨牌质心的线速度 $v = omega r$，在这里 $r$ 是质心到旋转轴的距离，对于均匀矩形骨牌，质心在高度 $h/2$ 处，所以 $r=h/2$。
因此，当骨牌倒下接触地面时，其质心（也是其顶部边缘在接触下一块骨牌时的接触点）的线速度（近似视为初始向前运动的速度）为 $v = omega_{max} cdot frac{h}{2} = sqrt{frac{3g}{2h}} cdot frac{h}{2} = frac{h}{2}sqrt{frac{3g}{2h}} = sqrt{frac{3gh^2}{8h}} = sqrt{frac{3gh}{8}}$。
能量传递效率：
这仅仅是单块骨牌倒下时其自身质心的最大速度。关键在于，这部分动能有多少能有效地传递给下一块骨牌，使其开始倒下。
假设骨牌倒下时，其质心向前移动的距离就是骨牌的宽度 $w$。当它碰撞到下一块骨牌时，能量传递并非100%。一部分能量会以声波、热量（摩擦）、以及骨牌自身的形变等形式损失。
一个简化的模型是假设碰撞是弹性的，并且只考虑动量传递。当第一块骨牌以速度 $v_1$ 撞击静止的第二块骨牌时，根据动量守恒，如果两块骨牌质量相等，且碰撞瞬间传递的动量主要用于使第二块骨牌开始旋转，那么理想情况下第二块骨牌的初始速度会接近第一块骨牌的速度。
骨牌排列间距的影响：
这是影响速度的最重要因素之一。设骨牌之间的间距为 $d$。
当一块骨牌倒下时，它需要向前移动一段距离 $w$（骨牌宽度）才能接触到下一块骨牌的顶部边缘。如果间距 $d < w$，则在第一块骨牌倒下过程中，它的顶部边缘就能触碰到下一块骨牌并使其倒下。
如果 $d > w$，那么第一块骨牌倒下后，需要一段自由落体或滑行距离才能将其顶部边缘推到下一块骨牌的顶部，这个过程会导致能量损失或速度衰减。
最理想的间距是使得每块骨牌倒下时，其倒下的过程刚好带动下一块骨牌倒下。这通常意味着倒下的骨牌在碰到下一块骨牌时，其顶部边缘的水平速度要足以克服下一块骨牌的转动惯量和轻微的摩擦力。
连续传递速度：
在理想情况下，假设每次碰撞的能量传递效率是恒定的 $eta$（$0 < eta < 1$），并且骨牌的质量、高度、宽度都相同。
设第 $n$ 块骨牌倒下时其质心的速度为 $v_n$。那么，当它以速度 $v_n$ 撞击第 $n+1$ 块骨牌时，第 $n+1$ 块骨牌获得的动能为 $eta cdot frac{1}{2}m v_n^2$（这是一个非常简化的假设）。
这个动能转化为第 $n+1$ 块骨牌的初始旋转动能，使其开始倒下。
如果我们将倒下的骨牌的质心速度作为该“波浪”前进的速度，那么在理想情况下，由于每次传递的能量近似相同，速度应该保持相对稳定。
然而，更准确地说，我们关注的是骨牌阵列整体推进的“速度”，这指的是相邻骨牌依次开始倒下的时间间隔所对应的空间距离。
假设一块骨牌从静止到倒下的时间为 $Delta t$。在理想情况下，这个 $Delta t$ 是恒定的。如果骨牌间距为 $s$（包含骨牌宽度和间隙），那么推进速度 $V = s / Delta t$。
单块骨牌倒下的时间 $Delta t$ 可以近似为从开始旋转到倒下的时间。角速度是从0开始增加到 $omega_{max}$，平均角速度约为 $omega_{avg} = omega_{max} / 2$。
旋转角度是 $pi/2$ (从垂直到水平)。$Delta t = frac{pi/2}{omega_{avg}} = frac{pi/2}{omega_{max}/2} = frac{pi}{omega_{max}} = pi sqrt{frac{2h}{3g}}$。
那么推进速度 $V approx frac{s}{pi sqrt{frac{2h}{3g}}} = frac{s}{ pi} sqrt{frac{3g}{2h}}$。
这里的 $s$ 是每块骨牌占据的平均长度，如果骨牌紧密排列（间距为0），则 $s$ 接近骨牌宽度 $w$。如果考虑间隙 $d$，则 $s = w+d$。
在这种近似模型下，推进速度 $V approx frac{w+d}{pi} sqrt{frac{3g}{2h}}$。
2. 考虑实际因素：摩擦、空气阻力、非弹性碰撞
摩擦力：
骨牌在地面上的滚动摩擦（如果底部有滚动）和骨牌与地面之间的滑动摩擦都会消耗能量。同时，骨牌之间碰撞时也存在内摩擦和外部摩擦。这些都会导致能量损失，从而降低传递效率。
地面摩擦系数 $mu_k$。当骨牌倒下时，其底部边缘与地面之间的摩擦力会产生一个阻止其旋转的力矩。这个力矩是 $M_f = mu_k N cdot r_f$，其中 $N$ 是支持力（接近 $mg$），$r_f$ 是摩擦力的作用点到旋转轴的距离。如果假设摩擦力作用在质心处，则 $r_f = h/2$。
这个摩擦力矩会减慢骨牌的倒下速度，并消耗能量。
骨牌相互碰撞时的摩擦力也会阻碍动量传递。
空气阻力：
对于高速运动的骨牌阵列，空气阻力不可忽略，它会随着速度的平方增加，并消耗动能。
非弹性碰撞：
骨牌之间的碰撞并非完全弹性。骨牌材料的形变、破碎（虽然我们假设不破碎）都会吸收能量。能量以热量、声波等形式耗散。因此，每次传递的能量会越来越少，速度会逐渐衰减。
骨牌的质量分布与形状：
我们假设骨牌是均匀的矩形。但实际的骨牌可能有不同的形状、质量分布不均（例如，带图案的印刷面），这会影响其转动惯量和质心位置，从而改变倒下时的速度和动量传递特性。
骨牌的“站立”角度：
骨牌并非完全垂直站立，通常会有一个微小的倾斜角。这会影响初始受力点和倒下时的运动轨迹。
阵列的整体结构与稳定性：
骨牌阵列的排列方式（直线、曲线、复杂图案）也会影响推进过程的稳定性。某些结构可能更容易发生“失效”，即某一块骨牌没有被成功触发。
更复杂的模型与数值模拟
要精确计算，需要更复杂的模型，甚至需要数值模拟：
1. 有限元分析 (FEA)： 可以模拟骨牌的形变、碰撞时的应力分布，以及能量耗散。
2. 多体动力学模拟： 将每块骨牌视为一个独立的刚体或柔体，通过定义它们之间的接触和碰撞模型，来模拟整个阵列的运动。这可以考虑摩擦、碰撞恢复系数（弹性程度）等因素。
3. 能量损失模型： 建立详细的能量损失模型，例如，每次碰撞损失的总能量占传递总能量的百分比，或者基于摩擦系数和接触时间和力的大小来计算能量损失。
关键参数的确定
要进行理论计算，需要精确测量或已知以下参数：
骨牌的物理尺寸： 高度 ($h$)、宽度 ($w$)、厚度（影响转动惯量和碰撞）。
骨牌的质量 ($m$) 和质量分布。
骨牌材料的性质： 弹性模量、泊松比（用于FEA模拟形变和能量吸收）。
骨牌的转动惯量 ($I$) 绕其底部边缘。
骨牌之间的间距 ($d$)。
摩擦系数： 骨牌底部与地面之间的摩擦系数 ($mu_{g}$)，骨牌之间接触面的摩擦系数 ($mu_{c}$)。
碰撞恢复系数 ($e$)： 衡量碰撞弹性的参数，对于骨牌碰撞，通常远小于1。
一个更精细的估算思路（基于能量损失）
假设每块骨牌倒下并触发下一块骨牌的过程是一个能量传递链条。
设第 $n$ 块骨牌倒下时的初始动能为 $K_n$。
这个动能一部分用于使第 $n+1$ 块骨牌开始倒下，设这部分有效能量为 $K_{n+1, effective}$。
而 $K_{n+1, effective} = eta K_n$，其中 $eta$ 是能量传递效率（小于1）。
第 $n+1$ 块骨牌的倒下需要吸收的最低能量是使其质心从 $h/2$ 高度下降所需的势能变化，即 $mgh/2$。然而，它实际上转化为旋转动能。
如果假设每块骨牌都以几乎相同的角速度开始旋转，那么从能量角度看，传递的能量需要至少足以使下一块骨牌达到其倒下所需的初始动能。
更实际的考虑是，第一块骨牌倒下的动能来自于重力势能转化，即 $E_{total,1} approx mgh/2$。
在传递过程中，假设每次传递的效率是 $eta_1$（能量传递效率），每次倒下过程中有能量损失（摩擦、空气阻力等），设为 $epsilon$（能量损失系数，表示损失的动能占倒下骨牌动能的比例）。
那么，第 $n$ 块骨牌倒下时所具有的动能（或传递给下一块骨牌的动能）将是递减的。
如果我们关注的是“波浪”前进的速度，可以将其理解为相邻骨牌触发的时间间隔。
第一块骨牌倒下的时间 $Delta t_1$。
第二块骨牌被触发并开始倒下的时间是 $Delta t_{capture, 2}$。
总的时间间隔是 $Delta t_1 + Delta t_{capture, 2}$。
如果 $Delta t_{capture, 2}$ 也很小（即触发很快），那么整体速度就接近第一块骨牌倒下的速度所能驱动的传播速度。
结论与挑战
理论计算多米诺骨牌的推进速度是一个复杂的问题，没有单一的解析公式能够准确描述。
在理想化的无摩擦、无空气阻力、弹性碰撞的条件下，我们可以估算出单块骨牌倒下时的速度，并假设能量传递效率恒定来推测整体速度。
然而，在实际情况中，摩擦力、非弹性碰撞、空气阻力等因素都会显著影响能量传递效率，并导致速度衰减。骨牌的间距是影响速度的最关键的宏观参数。
要获得更精确的计算，必须引入更详细的物理模型，例如考虑摩擦力矩、碰撞恢复系数，并可能需要进行数值模拟来捕捉这些复杂的相互作用。对实际骨牌阵列进行精确的理论计算，往往需要结合实验数据来校准模型参数。
总而言之，多米诺骨牌的推进速度是能量传递链中的一个动态过程，它受到骨牌自身属性、排列方式以及各种阻碍因素的综合影响。一个简化的速度估算公式可以给出大致的数量级，但要达到精确预测，则需要更深入的物理建模和仿真。
网友意见
很容易想到这其实是个变速运动，那么我们就想了：推进的路程 随时间 的函数关系是什么呢？
将每一个骨牌视作高为 质量为 的均匀光滑细杆（厚度宽度忽略不计），以光滑铰链连接于地面（防止相对滑动），所有的杆初始时垂直于地面且沿直线排列等距排列。相邻细杆距离为 ，且 （用于小角近似）。杆之间的碰撞是非弹性的。杆与杆之间只有碰撞的瞬间有作用力，其余时候没有作用力。
设杆在下落过程中与竖直方向的夹角为 ，由几何关系可知当 时会与下一根杆碰撞。由于 ，故在杆从开始下落到撞上下一根杆的过程中可作小角近似 。
假设第 根杆下落时的初角速度为 ，接下来我们计算 。
对下落过程中的杆的运动建立方程。下落过程中只有重力矩的作用，其力矩大小为
。
根据刚体力学，杆的转动惯量为 。由此可列得微分方程
，
即
，
其中 。
这是一个二阶常系数线性微分方程，其通解为
（这里使用双曲函数是为了后面两步方便）。
根据初始条件 ， ，可得
，
。
因此
。
现在研究杆刚碰撞前的状态。
当 时，有
，
，
其中 。
第 根杆与第 根杆碰撞的瞬间，弹力的方向是水平的，因此弹力对两根杆的力矩的大小是相同的，因此前一根杆减少的角动量的大小等于后一根杆增加的角动量的大小。列出方程
。
又因为碰撞是非弹性的，碰撞后前一根杆的尖端的速度在水平方向上的分量等于后一根杆在受到碰撞的地方的线速度。列出方程
，
即 。
因此
，
则
。
据此列出 个式子：
，
，
，
，
。
将它们连加，可得
，
化简得
。
其中 ， 。
设第 根杆从开始下落到碰撞到下一根杆需要的时间为 ，骨牌的“推进速度”
。
根据先前的结论，有
所以
。
令 （物理意义是总共行进的路程）， ，可以列出 关于 的函数关系：
，
其中 。
于是可以将离散的数列变为一个连续的函数。可以将 写作 ，然后分离变量得
。
发现这题最终归结于求不定积分 了。
这个积分呢，算是能算的，只是结果有点长。如果题主增加题目条件，让最先倒下的骨牌是因极微小的扰动而倒下的（楼上那位答主直接将这个条件作为“显然”），即 ，那么此时 ，答案可以稍稍简化一点，但仍然很长。想知道积分结果的可以去Integral calculator上算一下（Mathematica是算不出来的，别试了）。
把所有换元代回来，保留积分号，得到的运动方程是
。
当 时 的极限是存在的：
，
其中 。
更新一下。
确实， 了还假装后面的杆对前面的杆没有力的作用太反常识了。因此我宁愿不要这个小角近似。毕竟后面的杆对前面的杆近似没有力的作用的条件是 只略小于 。
之前我们得出过微分方程
，
即
。
虽然这是个非线性的微分方程，但是其实不难解。利用
，
可以将原方程转化为
。
分离变量并积分，得
。
因为当 时 ，所以 。于是
（1式）。
由此可知当 时 为 ，其中
。
接下来的推导与分割线之前完全一样，得到
。
其中 ， 。
另一方面，对1式分离变量并积分得
，
其中 是第一类不完全椭圆积分。
于是我们得到杆开始倒下到撞到下一根杆需要的时间为
。
骨牌的当前推进速度为
。
由此可得微分方程
，
其中 。
分离变量并积分得
。
好了我就算到这，积分你们自个儿去算吧！
当 时 的极限是存在的：
。
我数值计算了一下， ， 算出来 。
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拨开迷雾，深入浅出：如何真正理解计算化学中的PBE泛函？在计算化学的浩瀚星辰中，密度泛函理论（DFT）无疑是最耀眼的明星之一。而在这片星域中，PBE（PerdewBurkeErnzerhof）泛函更是声名赫赫，几乎成为了许多研究者进行系统性和高精度计算的“标配”。然而，对于许多初学者，乃至一些经验丰.............
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这个问题听起来像是你在研究代数方程或者多项式根的时候遇到的。简单来说，“重根按重数计算”就是要告诉我们，在统计一个多项式的根有多少个的时候，一个“重根”可不是只算作一个，而是要根据它“重复”了多少次来计算。我们先从最基础的说起，比如一个很简单的方程：x 2 = 0这个方程只有一个根，就是 x = .............
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计算复杂性理论，这个听起来有些抽象的领域，究竟有多大的“现实意义”？答案是，它的影响之深远，远超许多人的想象。与其说它是一个独立的学术分支，不如说它是理解现代数字世界运作模式的基石。我们生活中无时无刻不受到计算复杂性理论的间接或直接影响。从你使用的搜索引擎如何快速返回结果，到你的手机如何在有限的电力.............
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诺姆·乔姆斯基的理论，自上世纪中叶横空出世以来，在现代计算机语言学界激起了滔天巨浪，也经历了一场跌宕起伏的评价变迁。时至今日，我们不能简单地说他的理论“被如何看待”，更准确的说法是，他的思想如同深埋地下的基石，虽然不总是直接被提起，却深刻地塑造了我们理解和构建语言处理系统的框架。核心贡献与奠基作用：.............
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文章《杨振宁的最后一战》以其极具影响力的作者杨振宁先生的名义，对超大对撞机（SppC）计划和超弦理论提出了深刻而尖锐的批判。要评价这篇文章，我们需要从以下几个方面进行详细的分析：一、 文章的核心论点与批判对象：这篇文章的核心论点主要集中在以下几个方面： 对SppC计划的必要性和经济性的质疑： 杨.............
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北京计划在五年内增加 150 万套住房的消息，是一个非常重大的房地产政策信号，其背后逻辑和潜在影响值得我们深入探讨。一、 理解北京计划 5 年内增加 150 万套住房的消息首先，我们需要明确这个数字的规模和意义。 规模巨大： 150 万套住房，按照平均每套住房面积 7090 平方米计算，这相当于.............
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解读卫计委定向加分政策：理性看待儿科急诊“人才荒”的解困之道近年来，儿科和急诊科的“人才荒”成为了公众普遍关注的民生痛点。孩子生病急需看病，却常常面临医院儿科门诊大排长龙，急诊科医生更是疲于奔命，工作压力巨大。为了缓解这一困境，国家卫计委（现国家卫健委）出台了一系列政策，其中一项重要的举措便是针对儿.............
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计算机理解图像的过程，是一个将我们人类视觉世界转化为数字信息并进行分析和解释的复杂旅程。它不像人类那样通过眼睛和大脑的生物机制来感知，而是依赖于一系列精密的算法和数学模型。我们可以将其分解为几个关键阶段：第一阶段：图像的数字化（Pixelization） 模拟信号到数字信号的转换： 现实世界的图.............
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想象一下，我们生活在一个宇宙的大舞台上，这个舞台上，每一个天体，无论多么庞大，都在以我们看不见的力量相互影响、牵引，这种无形的力量，就是引力，而爱因斯坦的广义相对论更是告诉我们，这种引力扭曲了时空的织锦，当宇宙中发生剧烈的事件，比如黑洞合并，就像在这张织锦上投下一颗巨石，激起层层涟漪，这些涟漪就是空.............
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《权力的游戏》第八季第三集，也就是那场被称为“长夜”（The Long Night）的史诗级大战，其战斗计划的粗糙和不合理之处，至今仍是粉丝们津津乐道甚至大为诟病的话题。要理解这场战斗，得先明白当时的处境，以及那些被寄予厚望却又显得有些天真的战术设想。临危受命，绝望的棋局：首先，我们需要回顾一下战前.............
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数字人民币定位为M0，也就是流通中的现金，这一点非常关键。简单来说，它就是我们平时手里拿着的纸币和硬币的数字化版本。那为什么央行要这么定位呢？又为什么说它“不计付利息，具有非盈利性”呢？我们来好好掰扯掰扯。为什么定位M0？—— 货币的本质和功能首先，我们得明白，货币最基本的功能是什么？它是一个价值尺.............
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四色定理是一个非常著名且具有悠久历史的数学定理，它的内容是：任何一张地图，都可以用四种颜色来标记，使得相邻的两个区域之间没有相同的颜色。“理论上解释”四色定理，意味着我们要深入探讨其证明过程中的核心思想、关键概念以及它为什么是正确的。四色定理的证明过程是数学史上一个里程碑式的事件，因为它首次大量使用.............
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退相干理论在解释延迟选择实验和量子擦除实验时，提供了一个非常清晰且符合我们日常直觉的视角。它让我们理解为什么在宏观世界里我们看不到量子叠加态，以及如何在特定条件下“抹掉”这些量子行为的痕迹。下面我将详细阐述这一点，力求用最平实易懂的语言来讲解。退相干理论的核心思想：与环境的相互作用首先，我们要明白退.............
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当然，我们来聊聊大爆炸理论如何看待牧夫空洞这个宇宙中的庞然大物。首先，我们要明白，牧夫空洞（Boötes Void）是什么。它是一个极其巨大的、几乎空无一物的空间区域，位于牧夫座的方向。想象一下宇宙广袤的黑暗中，突然出现一个巨大的、几乎什么都没有的“泡泡”，这就是牧夫空洞的直观感受。它的直径估计有2.............
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从自私的基因理论视角审视人类的审美感受和艺术作品的意义，是一次颇为有趣的思想实验。这并非是要将人类复杂的情感和创造力贬低到生物机器的层面，而是尝试理解这些看似超然的活动，其深层根源可能与我们基因的生存和繁衍策略息息相关。首先，我们要明确“自私的基因”理论的核心并非宣扬个体的自私行为，而是指基因本身作.............
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