如何在理论上解释「四色定理」？
“理论上解释”四色定理，意味着我们要深入探讨其证明过程中的核心思想、关键概念以及它为什么是正确的。四色定理的证明过程是数学史上一个里程碑式的事件，因为它首次大量使用了计算机辅助证明，这在当时引起了极大的争议。
下面我将从几个方面详细解释四色定理的理论基础和证明思路：
1. 定理的背景与含义
地图的定义： 在这里，“地图”并不是指我们日常看到的地理地图，而是指一个由有限个区域组成的平面图形。每个区域都是连通的（即没有孤立的部分），并且区域之间通过一条曲线（不是一个点）来定义“相邻”。
颜色的数量： 定理只要求使用四种颜色。这里的“颜色”可以理解为四种不同的标记或符号。
“相邻”的含义： 两个区域相邻，意味着它们的边界有重叠的部分，而不是仅仅在一个点上接触。
核心问题： 如何证明，无论我们如何绘制一张地图，总能找到一种方法，用不超过四种颜色给它染色，使得任意两个相邻区域颜色都不同？
2. 为什么会想到四色？
这个问题也曾困扰了数学家们很多年。早期人们尝试用更少的颜色来染色。
一种颜色： 显然不可能，除非地图只有一个区域。
两种颜色： 可以用来染色棋盘格一样的地图，但很多地图不行（例如一个区域被另一个区域包围，然后外面还有一个区域跟里面那个区域相邻）。
三种颜色： 也存在无法用三种颜色染色的地图。想象一个中心区域被六个区域包围，而这六个区域又互相相邻，并且都与中心区域相邻。在这种情况下，中心区域和它旁边的六个区域的颜色必须各不相同，这样就需要至少七种颜色（加上这六个区域内部的相互制约）。如果六个区域是这样排列的：1234561，并且它们都与中心区域C相邻。C需要一种颜色。区域1和2相邻，需要不同颜色。区域2和3相邻，需要不同颜色...以此类推。如果用三种颜色，我们尝试一下：C用1号色。区域1用2号色。区域2和1相邻，用3号色。区域3和2相邻，用2号色。区域4和3相邻，用3号色。区域5和4相邻，用2号色。区域6和5相邻，用3号色。但是区域6和区域1相邻，它们都是3号色，这样就冲突了。因此，三种颜色是不够的。
当人们发现三种颜色不够时，自然就去尝试四种颜色。
3. 证明的思路：归纳法与反例
证明四色定理的关键在于反证法和结构归纳法。
反证法： 假设四色定理是错误的。这意味着存在一张地图，无论如何都无法用四种颜色染色（即它至少需要五种颜色）。我们称这样的地图为“需要五种颜色的最小地图”。
结构归纳法（或称最小反例法）： 如果我们能证明不存在“需要五种颜色的最小地图”，那么四色定理就是正确的。这个证明思路是：
1. 假设存在“需要五种颜色的最小地图”，记为 $M$。
2. 分析这张最小地图 $M$ 的结构和性质。
3. 通过对 $M$ 进行一系列“简化”或“转化”，得到一张更小的地图 $M'$。
4. 如果 $M'$ 也可以用四种颜色染色，那么我们就可以根据 $M'$ 的染色方式来为 $M$ 染色，从而产生矛盾。
5. 如果 $M'$ 也需要五种颜色，那么 $M'$ 就不符合“最小地图”的定义，也产生了矛盾。
6. 通过这样的逻辑链，最终证明“需要五种颜色的最小地图”是不存在的。
4. 关键概念：可约图（Reducible Configurations）
这是四色定理证明中最核心、最复杂的部分。
图论的引入： 我们可以将地图问题转化为图论问题。将地图中的每个区域看作图中的一个顶点，如果两个区域相邻，则在它们对应的顶点之间添加一条边。这个图被称为对偶图。四色定理的图论表述就是：任何平面图都可以用四种颜色进行顶点着色，使得任意相邻的两个顶点颜色都不同。 这种平面图的着色问题被称为图的边着色。
“不可约”与“可约”： 一个图（或一个地图的对偶图）的结构，如果无论如何出现在一张需要五种颜色的最小地图中，都可以通过某种操作将其“去除”或“简化”，而不会破坏其“需要五种颜色”的性质，反之，这种简化最终会导向一张更小的、也需要五种颜色的地图，从而违反了“最小”的定义，那么这种结构就称为“可约构型”。
证明策略：
1. 识别“不可约构型”： 证明的关键在于找到所有“不可约构型”。一个构型是不可约的，意味着如果它出现在一张最小的五色地图中，那么这张地图的任何简化都会导致一张更小的、仍然需要五种颜色的地图（或者一张可以用四种颜色染色的地图，从而产生矛盾）。
2. 证明所有可约构型： 数学家们通过大量的分析和计算，识别出了大量的“可约构型”。这些构型可以被看作是构建五色地图的“基本砖块”。
3. 证明不存在不可约构型： 如果我们能证明所有可能的构型都是可约的，那么就意味着任何一张需要五种颜色的地图都可以被分解成这些可约构型，并通过不断简化，最终导向一个矛盾。
5. 四色定理证明的早期尝试与计算机的作用
四色猜想在1852年提出，之后几十年间，许多数学家试图证明它，但都失败了。
早期思路： 早期证明的思路也集中在归纳法和寻找可约构型。例如，人们尝试证明任何需要五种颜色的地图都必须包含某个特定的子图结构，而这个子图结构可以通过某种方式被移除或修改，从而得到一个更小的反例。
肯尼斯·阿佩尔（Kenneth Appel）和沃尔夫冈·哈肯（Wolfgang Haken）的证明（1976年）：
核心突破： 他们通过计算机穷尽了数千种“可约构型”。这意味着他们证明了，任何一张地图，如果它需要五种颜色，那么它必然包含这数千种可约构型中的一种。
证明过程简述：
1. 他们首先证明了任何一张五色地图，其对偶图必然包含一个度数小于或等于5的顶点（一个区域周围只有小于等于5个邻居）。这是基于图论中的欧拉公式和度的性质推导出来的。
2. 然后，他们构建了一个包含所有可能在最小五色地图中出现的“构型”的列表。这些构型是特定的局部图结构。
3. 接着，他们使用计算机程序检查了这些构型中的每一个，以确定它们是否是“可约的”。一个构型是可约的，意味着如果一个地图包含这个构型，那么这个地图可以通过对这个构型进行一定的“简化”操作，得到一张更小的地图。如果这张更小的地图可以用四种颜色染色，那么原地图也可以用四种颜色染色，这与原地图需要五种颜色矛盾。或者，如果这张更小的地图仍然需要五种颜色，那么它就不是“最小”的反例，这同样导出矛盾。
4. 经过漫长的计算机计算，他们证明了列表中的所有构型都是可约的。
争议： 这种证明方法是第一次在证明中大量使用计算机。在当时引起了不小的争议。有人认为，依赖计算机穷举的证明不是“数学证明”，因为它缺乏人类的直观理解和简洁性。然而，随着时间的推移，这种证明方法被数学界接受。
6. 证明的简化与进一步发展
罗伯特·富尔顿（Robert Robinson）和尼尔·罗伯逊（Neil Robertson）的后续工作： 在阿佩尔和哈肯的证明之后，其他数学家，如罗伯逊、桑德斯（Sanders）、西摩（Seymour）和麦金托什（MacIntosh），对证明进行了改进和简化。他们减少了需要检查的可约构型的数量，使其更加系统化和易于理解（虽然仍然非常复杂）。他们使用了一种称为“环方法”或“分块方法”的策略。
现代理解： 现在的理解是，四色定理的证明依赖于识别并证明所有可能的“不可约构型”都是可约的。计算机在识别和验证这些构型方面发挥了不可替代的作用。
7. 理论上的解释总结
从理论上解释四色定理，可以概括为以下几点：
1. 对偶图和顶点着色： 将地图问题转化为图的顶点着色问题，这是理解四色定理的关键图论转化。
2. 反证法和最小反例： 核心思路是证明不存在“最小的五色地图”。
3. 可约构型： 证明的重点在于识别并证明所有“可约构型”。一个可约构型是一个可以在最小五色地图中被“消除”的局部结构，而不会破坏其“需要五色”的性质，最终导向矛盾。
4. 穷举与计算机： 现代证明依赖于计算机对大量（虽然数量已经大大精简）可约构型进行穷举验证。这是证明有效性的基础。
5. 结构性论证： 证明并非仅仅是随机的计算机计算，而是建立在深刻的图论和组合学理论基础之上，通过分析地图（图）的局部结构来推导出其全局性质。
举例说明一个非常简单的“可约构型”的思路（并非实际证明中的构型，只是为了说明原理）：
假设我们有一张最小的五色地图 $M$。我们证明，如果 $M$ 中有一个区域（顶点）只有 3 个邻居（度为 3），那么它就是可约的。
为什么？
这个顶点 $v$ 和它的三个邻居 $v_1, v_2, v_3$ 构成了一个局部。
由于 $M$ 是最小的五色地图，我们可以尝试对去掉 $v$ 之后的地图 $M'$ 进行染色。
如果 $M'$ 可以用四种颜色染色，那么我们可以尝试给 $v$ 染色。因为 $v$ 的三个邻居最多用了三种颜色，剩下的第四种颜色就可以给 $v$ 使用。这样， $M$ 也可以用四种颜色染色，与 $M$ 是五色地图矛盾。
当然，实际情况更复杂，需要考虑邻居之间的连接关系，以及当邻居的度数更高时的情况。但核心思想是，找到一个可以被“删除”并最终导向矛盾的局部结构。
四色定理的证明是一个漫长而复杂的过程，它代表了数学界在逻辑推理、组合分析和计算方法结合上的一个重要成就。虽然它的证明不像欧几里得几何那样简洁直观，但它揭示了平面图形染色问题的深刻数学结构。
网友意见
首先考虑对一个给定的图G，对他的点进行染色，使得任意一条边的两个顶点不同色。我们把满足条件的最小的所需颜色数目叫做chromatic number，记为 。
同时我们把图G中包含的最大完全图子图的点的数目叫做clique number，记为 。很容易发现，一个n个点的完全图由于点两两相邻，至少需要n种不同的颜色。于是我们有如下结论：
Simple Observation:
由于我们更关心染色数的上界，到这里我们就会问，有没有 ？很遗憾。。
Naive Conjecture:
Answer: False !
我认为百分之80的民科的证明就错在这里了：如果一个图不包含 即五个点的完全图为子图，不能得出这个图可以用四种颜色染色。
这里给一个例子：如下图考虑 ，该图不包含 ，因此 ，但是 。
那么chromatic number能不能被clique number控制住呢？
Advanced Conjecture:
Answer (by Erdos, 1959): False !
实际上Erdos构造了clique number固定，但chromatic number任意大的图(Erdos-Renyi Graph)。也就是说在四色定理的证明中，试图从图中包含的完全子图的大小来讨论，是行不通的。更一般的，我们把满足 的图（并且所有induced子图也满足）叫做perfect graph。对于这种图我们有更精细的结构：定义如果一个图G不包含长度大于5的odd cycle和它的complement，我们称这个图Berge。
Strong Perfect Graph Theorem (Chudnovsky, Robertson, Seymour, Thomas):
现在我们从structure graph theory的角度去看四色定理。delete an edge指对G删去给定的边，contract an edge指的是“商”去给定的边：将这条边的两个点粘合成一个并且保持所有和其他点的相邻关系（如下图）
如果图H可以通过对G deleting和contracting一些边得到，我们就说H是G的minor。可以发现minor关系是包含子图这个关系的推广：H是G的子图，那么H也是G的minor。
Graph Minor Theorem(Robertson, Seymour):
上面深刻的定理同时告诉我们，当图G对于给定的图H minor-free时，具有清晰的结构。具体定理的叙述太长这里就不说了，目前这个图结构引理的最新证明由Kawarabayashi, Thomas, Wollen在2016年简化到了100页以内。图的结构问题是图论中最困难的问题之一，有了图的结构，我们就可以考虑图上的染色问题了。比如对于一个没有 minor 的图，我们有Wagner's Theorem，即G是由planar graphs和 经过clique sum of order at most 3得到的（如图），其中 指的是8个点的cycle再连上对径点。
严格的说上图是H minor-free的图，里面的漩涡是vortices。不过如果忽略漩涡，把洞当作 ，还是可以看作是 minor-free的图示的。
上面讲的structure内容看似和四色定理没什么关系。再让我们回到最开始举的 反例上：我们给它的5个点编号1到5，如果我们contract边12和边34，我们得到了 ，也就是说 是 的minor。这看起来也解释了 不能被 控制这个看似矛盾的现象：对于一个图G，如果 是它的minor，说明图G中有t个不相交的子集，分别contract掉它们我们可以得到 。那么对于那些子集，如果对所有子集我们首尾的点染色相同，那我们相当于在对 染色；否则我们就要求子集的首尾染色不同，相当于多了限制条件。换句话说，就算图G连 都不包含，但是如果它有 minor，那么有可能这个图需要至少t种不同的颜色。
很自然的，我们可以提出下面图论中最深刻的猜想：
Hadwiger's Conjecture:
配合planar graph的经典定理：
Kuratowski's Theorem:
我们可以发现，四色定理实际上是Hadwiger's Conjecture的t=4时的特殊情况。目前对这个猜想的进展如下：
Trivial
Hadwiger, 1943
By computer, 1976 （即 四色定理）
Robertson, Seymour, Thomas, 1993
Open
注意到Robertson, Seymour and Thomas对t=5情形的证明没有用电脑，但是用到了四色定理的结论。如果有一天有人可以证明 Hadwiger's Conjecture，绝对是组合数学里面最大的新闻了。目前这个猜想大家都认为是对的，但是我们目前的工具不够深刻。
做为结束，还是回到四色定理。四色定理有没有不依赖计算机的证明？答案是没有，不过目前已经可以通过计算机在10秒内证完了。如果得到了四色定理不依赖计算机的证明，对Hadwiger's Conjecture绝对是巨大的推进，发个四大不是问题。
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