如果在莫比乌斯带或者球面上下围棋会怎么样？
莫比乌斯带上的围棋：无始无终的缠斗
首先，我们来谈谈莫比乌斯带。这个“扭曲”的纸带，只有一个面和一个边。一旦你踏上它，你就能沿着它一路走下去，最终又回到起点，而在这个过程中，你始终处于同一个面上，却又奇妙地体验了“翻面”的感觉。
在莫比乌斯带上围棋，最直接的改变就是“边界”的消失。在传统的棋盘上，棋子总有“边”和“角”可以依靠，形成相对稳定的根据地。而在莫比乌斯带上，所谓的“边”实际上是连接在一起的。这意味着：
没有死角，只有永恒的循环： 传统的角部死棋套路在这里将失去意义。棋子可能会沿着带子的“循环”不断地移动，形成一种独特的“游牧”式的生存状态。一方的棋子可能在棋盘的一侧看起来被围困，但随着棋子的移动，它又会出现在另一侧，绕过之前的包围。
全局的相互连接： 在莫比乌斯带上，棋盘的任何一个点都与“所有”其他点在某种意义上是相连的。一个看似偏远的区域的棋子，可能会通过“翻转”直接影响到棋盘的另一端。这会使得全局的判断变得异常困难，每一处落子都可能牵一发而动全身。
领土的概念模糊： 围棋的核心在于划分和占领领土。在莫比乌斯带上，领土的划分将变得非常复杂。你以为自己围住了一块地，但你的敌人可能沿着带子的另一面，巧妙地绕过你的包围，将你的“领土”也纳入了他的“循环”之中。领土的边界会变得像雾气一样飘忽不定，难以真正“封闭”。
战术的创新： 莫比乌斯带的特性会催生出全新的战术。例如，你可以利用带子的“扭曲”来制造假象，让对手认为你的一块棋子已经被包围，而实际上它正沿着带子向着意想不到的方向移动，准备从“另一面”发起攻击。棋盘上的棋子会更像是在进行一场永无止境的“追逐”或“逃离”，每一个“死棋”都可能在下一刻又“复活”出现在意想不到的地方。
气数的计算复杂化： 围棋的气数计算会变得异常烧脑。一个棋子可能因为沿着带子移动，而意外地“连接”到另一个从未被考虑过的区域，从而获得了新的“气”。反之，本应有气的棋子，也可能在移动中“失去”了它与外界的联系。
球面上的围棋：无边无际的宇宙之战
现在，让我们将目光投向球面。想象一个光滑的球体，无论你往哪个方向走，你都只会继续沿着球面的弧度前进，最终会回到原点。
球面上的围棋，其影响同样是颠覆性的：
边界的“全局化”： 与莫比乌斯带的“循环连接”不同，球面上的边界是“不存在”的。它是一个封闭的整体。这意味着所有的点都处于一个相对平等的位置，没有“边角”的特殊性。
领土的连续性与全球性： 你占据的任何一块领土，都将是连续的。你可以在球面上围绕任何一个点画一个圈来定义自己的领地，而这个圈将始终与球面的其余部分保持连接。这意味着“围空”的概念会更加强调其“包容性”和“连续性”。你不能简单地将一块区域“隔绝”开来，因为球面的任何一部分都与其余部分相连。
战术的“全球协调”： 在球面围棋中，全局的形势判断变得至关重要。你不能孤立地看待某一块区域的战斗，因为即使是棋盘最远端的几颗棋子，也可能通过直接的连接影响到你正在争夺的关键区域。你需要像指挥一场全球战役一样，协调棋盘上所有区域的子力。
“对角线”与“平行线”的意义： 在平面围棋中，我们可以谈论棋子之间的“对角线”或“平行线”关系。在球面上，这些概念会变得更加微妙。两条“平行线”最终可能会在球面的另一端相遇，而“对角线”可能也存在着更复杂的连接方式。这会影响到棋子的“联络”与“分割”，以及对对方棋子的“切断”能力。
“死亡”与“复活”的另一种理解： 在球面围棋中，一个被认为“死亡”的棋子，可能并非真的“死了”，而是它的所有“邻居”都被对方占据。但由于球面的连续性，它可能在棋盘的另一端，通过一种意想不到的连接方式获得“气”，重新活跃起来。这更像是一种“休眠”和“苏醒”，而非彻底的死亡。
对双方“活动范围”的争夺： 在球面围棋中，双方争夺的将不仅仅是棋盘上的特定区域，更是对整个球面的“可见性”和“可达性”的争夺。你能否通过占领关键节点，限制对方在球面上的活动范围，让他们难以触及你想守护的区域？
共同的挑战：想象力的极限与计算的深度
无论是莫比乌斯带还是球面，在这两种特殊的棋盘上进行围棋，都将是对棋手想象力和计算能力的终极考验。
非线性的思维： 我们习惯了线性的思考方式，但在这些扭曲的空间里，线性的逻辑常常会失效。我们需要培养一种非线性的、全局的、多维度的思维模式。
可视化困难： 即使是最顶尖的棋手，也很难在脑海中完美地可视化莫比乌斯带或球面上正在发生的复杂局面。这种可视化障碍本身就会成为一种巨大的挑战，需要强大的空间想象力来克服。
新的“棋形”与“定式”的诞生： 随着人们对这些棋盘特性的理解加深，必将诞生出全新的棋形、官子技巧，甚至是属于这些特殊棋盘的“定式”。这些新的战术将是基于对空间特性的深刻洞察。
总而言之，如果在莫比乌斯带或球面上围棋，那将不再是我们熟悉的那个围棋。它将变成一场关于空间、连接、循环与全局性的抽象思维的较量。每一手棋都将是探索未知边界、挑战认知极限的旅程，其乐趣与难度，或许远远超乎我们现在的想象。
网友意见
陪题主脑洞大开一发。。
1.棋盘
如果是环面或者带边莫比乌斯带，那么棋盘还是好搞的。稍微科普一下。
环面：
这是一个20乘20的方格，然后按照箭头方向把对边贴起来，也就是说，图中相同字母是同一个点.这样贴起来之后，环面上恰好有19乘19=361个顶点，和通常的围棋盘是一样的。
莫比乌斯带：
和前面类似，不过这个是19行20列的网格，然后把对边反向贴起来，相同字母对应的是同一个点，这样依然是361个顶点。
@韩凤鸣提了另外一种莫比乌斯带的棋盘的想法，就是在真正的莫比乌斯带上下棋。真正的莫比乌斯带是这样的：
图片来自百度百科
他的观点是，每个点可以落两个棋子，分别那个点的“正面”和“反面”上。（加引号是因为对于整个莫比乌斯带，不存在正面和反面，只有一个面。）
如果在这样的纸带上下棋，我认为的下棋方法就确实是相当于把纸戳破来下棋了……好像看起来是不太合理，但是事实上，可以证明，如果每个点看成两个点的话，这样下棋和在圆筒的外表面上下棋是等价的。
————————————1.28 修改分割线——————————————
还是写一下证明吧
一个比较容易的方式是这样的，先看不带边的情形，考虑莫比乌斯带在三维空间中的法丛，取S^0丛，因为莫比乌斯带是不可定向的，所以这样取出来的S^0丛是连通的，而S^0其实就是正负1，所以这是莫比乌斯带的一个double cover，从而是圆筒。边界随便处理一下就好了。
btw这就是14年丘赛几何的最后一个还是倒数第二个题，不过对于一般的mfd取norm bundle肯定是不行的，因为没有外围空间，可以取定向线丛或者n-form丛……
当然我们未必要求读者了解covering space，所以给一个简单一点的看法
我们先在莫比乌斯带上取一条起点线，就在我们看到的这一面上，如下图红线
（图我就直接用上面那个了，会有版权问题么……）
然后拿一卷保鲜膜（保鲜膜：我的错？），按照图中箭头方向捋着莫比乌斯带走，直到回到起点线。这里的回到是指恰好回到起点线，因为事实上会回来两次，一次在起点线的背面。现在我们让莫比乌斯带凭空消失，而把保鲜膜拿出来，那么两面下棋的方法，就等价于在这个保鲜膜上下棋。所以我们只要关心保鲜膜的形状就可以了。因为两面下棋是强制把一个点拆成两个点，上面的方法相当于是把这两个点强行拆出来。
为了看保鲜膜的形状，我们再做一点具体的事情。我们在图上画一条蓝色的箭头，如下图
让这条蓝色的箭头沿着保鲜膜运动，运动之后会变成这样
运动起来就变成这样了，虚线表示在我们看不到的那一面，如图所示，蓝色箭头第一次回到了起点线，方向是反的，但是在起点线的背面，所以还没有走完保鲜膜的全程，继续走。
现在回来了，如绿圈圈出的，方向变成了一样的，也就是说，保鲜膜的起点和重点是用同样的方向粘合的，这就是圆筒，结束。
用围棋的话来说，如果白子和黑子分别走蓝色箭头的头和尾，那么白子和黑子能互不干扰的占整个一条边，这是只有在圆筒上才会发生的事情。
——————————————————————————————————
但是球面怎么办？ 那么来讨论一下球面棋盘的问题吧。
作为一个球面上的棋盘，个人感觉应该有这么几个要求:
0 每个顶点都要落在球面上。
1 每个点周围有四条边，用围棋的话说，每个棋子下上去都应当有四气。
2 每个格子都是正多边形，每个点附近的正多边形都一样。(这个要求有点太严了，再议)
如果按照上面的要求，这样的多面体其实是不多的。 首先，如果仅考虑2，我们来分个类：
——正多面体（完全对称，面只有一种正多边形，共5种.wiki:
正多面體）
——半正多面体（满足2，但是用到了多于一种正多边形作为面.可以分成三大类.wiki:
半正多面體）
————阿基米德立体（共13种，wiki:
阿基米德立體）
————正棱柱
————正反棱柱
如果再加上条件1，那么只剩下下面几种了：
正反棱柱（虽然这个有无穷多种，但是我们肯定不喜欢，作为球面上的棋盘来说太扁了。。）
正八面体（8个面，12条边，6个顶点）
截半立方体（14个面，24条边，12个顶点）
截半二十面体（32个面，60条边，30个顶点）
小斜方截半立方体（26个面，48条边，24个顶点）
小斜方截半二十面体 （62个面，120条边，60个顶点）
（图片来自wiki，结果的正确性由wiki的正确性保证，我自己没算……）
基本来说都不太适合作为棋盘，原因在于格点太少，最多只有60个点，根本玩不开啊……
如果放松2的话，那么还能得到更多的多面体，例如只有4条经线加任意多纬线，这也是可以的。但这个分类就不清楚了。。
2.关于下棋策略
其实我也不是很会下围棋，略知道规则而已。球面就先不讨论了，棋盘还没定好呢。
先来看莫比乌斯带上的事情。俗话说的好，金角银边草包肚，正常棋盘上角最好，边次之，内部最差。原因是，按照这个顺序，圈地的效率降低，而且做活的难度也上升。
然而，如果在莫比乌斯带上，没有角，所以作为理智的棋手，果断先抢边啊！
所以呢，我估计下棋的时候是这样的。（箭头还是标在棋盘上吧，免得忘记）
黑1占边，白2也是占边。
黑3拆三继续占边，白4也拆三（我随便拆的，拆错了不要怪我……）
然后下面继续拆。注意一下黑7的位置，拆三的话会跑到左上角来。
白8、黑9继续拆，这时候黑9就会到这里来
这个时候黑9已经跑到白2附近了，这里是莫比乌斯带和圆筒的区别。
如果棋盘是圆筒的话，黑白可以分别不干扰地占边。
但是现在，白棋是不是得考虑防守一下了，比如说白10可以考虑小飞一下（我随便飞的，飞错了不要怪我……），像这样
如果有高手的话不妨下一盘试试看，我就不多献丑了。
而环面的话事情就麻烦了，圈地还是次要的，关键是做活。所谓做活呢就是要有两个眼，这样才是活棋。
举个例子，在角上的话六子肯定能活，而边路爬边二线，俗话说的好，
七死八活，就是说爬七个后手死爬八个才后手活。而在中间的话那就不知道多少个子了……
莫比乌斯带上好歹有边，虽然只有一条，而环面上完全没有，因此感觉做活比圈地更重要。
而且另一方面，因为没有边，打入估计是几乎不可能的，也就是说，基本上围住了的地就是自己的。以上都是个人感觉，还是那句话，如果有会下围棋的并且有兴趣的话，不妨下一盘棋谱发过来研究一下。
3.征子
像打劫、双活这种事情都是局部的，和棋盘的结构没什么关系，但是征子就不一样了，这个和棋盘的拓扑结构是有关的。先科普一下，所谓征子，就是下面的图中，如果轮到黑子，那么白必死。
步骤如下图
黑棋步步叫吃，白棋被逼至边上，死。
如果是在环面上，并且棋盘就如开始所言，那么征子也一定是可行的杀法。
这里棋盘直接用19乘19，贴边的事情记着就好，就不表示出来了。
在环面上，如下图
由对称性，从哪里起步都是一样的。下面黑先行，步步叫吃，就会得到下图
下到这里，特别说明一下，右边的黑子是合理的，因为原来的左右两边被贴起来了嘛，所以左边新下的白子邻接的位置其实是右边黑子的位置。
下面出现这种情况就不特殊说明了，继续下。
白子刚刚好撞回到最开始的黑子头上，黑1打吃，白一条大龙就跪了。也就是在环面上，征子还是可行的。
莫比乌斯带上，情况又不一样了。这里也随便画一个示意一下。
就从这里开始征子好了。
黑先行，若干步后，又会走到边上来。
方便起见，中间的天元已经标出来了。（当然莫比乌斯带是没有天元的，只是有标出来只是为了中间的一条线明确一些。）白1走到边上了之后，黑2落子应当如上图。然后继续下。
黑1打吃，白2一头撞墙，白棋一条大龙就跪了。
单独写一下征子只是单纯地想展示一下棋盘的形状而已，嗯，就酱。
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