由AB＝BA＝O可以得出什么结论？
要理解“AB = BA = O”这两个等式能告诉我们什么，我们得先弄清楚这里的“A”、“B”以及“O”各自代表的含义，以及它们之间运算的性质。
在数学中，当提到AB和BA这样的乘积形式，并且结果是一个“O”时，我们通常是在谈论 矩阵。
A 和 B：在这里，A和B很可能代表的是 矩阵。矩阵是一种非常强大的数学工具，可以用来表示线性变换、方程组的系数等等。它们不像普通的数字那样，乘法顺序非常重要。
O：这里的“O”通常代表 零矩阵。零矩阵是一个所有元素都为零的矩阵。它的形状（或者说“阶”）必须与A和B相匹配，才能进行加法和乘法运算。
现在，我们来一步步分析“AB = O”和“BA = O”这两个条件。
1. AB = BA = O 的含义
AB = O：这意味着矩阵A乘以矩阵B的结果是零矩阵。
BA = O：这意味着矩阵B乘以矩阵A的结果也是零矩阵。
这两个条件同时成立，特别是 AB = BA 这一点，意味着矩阵A和矩阵B是 可交换的。在矩阵运算中，不是所有矩阵都满足可交换性（即AB不一定等于BA）。如果两个矩阵可以交换，它们之间往往存在某种特殊的联系。
2. 从 AB = BA = O 中我们可以推导出的结论
仅仅知道AB = BA = O，我们不能直接推断出A是零矩阵或者B是零矩阵。举个例子：
考虑一个二阶方阵：
$A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
$B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$
我们来计算AB和BA：
$AB = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 cdot 0 + 1 cdot 1 & 0 cdot 0 + 1 cdot 0 \ 0 cdot 0 + 0 cdot 1 & 0 cdot 0 + 0 cdot 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
啊，抱歉，上面的例子不满足AB=O。让我们换一个例子：
考虑一个二阶方阵：
$A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
$B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
这时 $A$ 不是零矩阵，$B$ 是零矩阵。
$AB = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
$BA = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
所以 $AB = BA = O$ 成立。这时，我们可以得出 B是零矩阵 的结论。
但是，如果A和B都不是零矩阵呢？
让我们再尝试寻找一个例子。
考虑一个二阶方阵：
$A = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$
$B = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
$AB = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 1 + 0 cdot 0 \ 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 1 cdot 1 + 0 cdot 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$
这次又不满足AB=O。
关键点在于：AB = BA = O 并不意味着 A 或 B 必须是零矩阵。
这在高等数学，尤其是线性代数中，是一个非常重要的概念。它涉及到 零因子 的概念。
在实数或复数系统中，如果 $xy = 0$ 并且 $x eq 0$，$y eq 0$，这通常是不可能的（除非我们在模运算的特定环中）。但在矩阵运算中，矩阵乘法存在非零的零因子。也就是说，两个非零矩阵的乘积可能是一个零矩阵。
那么，AB = BA = O 告诉了我们什么呢？
1. A 和 B 的乘积都是零矩阵： 这是最直接的含义。
2. A 和 B 可交换： AB = BA 是一个重要的附加条件。这说明A和B之间不是随机的，它们有某种可以相互“协调”的属性。
3. 涉及到了零因子： 如果A和B都不是零矩阵，那么它们就是 非零零因子。这意味着矩阵的乘法不像我们熟悉的实数那样“没有零因子”。
更深入的理解（可能需要一些线性代数知识）：
秩（Rank）的约束： 矩阵的秩（rank）是其线性无关的行或列的最大数量。一个 $n imes n$ 矩阵的秩小于 $n$ 时，它就被称为 奇异矩阵。
如果 AB = O，那么 A 的列空间（column space）一定包含在 B 的零空间（null space）中。换句话说，B 的零空间“吸收”了A的列空间。
如果 BA = O，那么 B 的列空间一定包含在 A 的零空间中。
同时，如果 AB = BA = O，并且 A 和 B 都是 $n imes n$ 矩阵，那么：
rank(A) + rank(B) ≤ n （这是 Sylvester 秩不等式的一个特例）
rank(A) ≤ n rank(B)
rank(B) ≤ n rank(A)
幂零矩阵（Nilpotent Matrices）： 很多情况下，满足 AB = BA = O 的非零矩阵A和B可能是 幂零矩阵。
一个矩阵 $M$ 如果存在一个正整数 $k$ 使得 $M^k = O$（零矩阵），那么 $M$ 就是幂零矩阵。
例如，我们前面提到的 $A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$，计算 $A^2$:
$A^2 = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix} = O$
所以 A 是一个幂零矩阵。
如果我们取 $A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$ 和 $B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$（我第一次举例时的这两个矩阵），我们发现 $AB = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$ 而 $BA = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$。这两个都不等于零矩阵。
正确的例子：
令 $A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$， $B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。 $AB=O, BA=O$。
令 $A = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$， $B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。 $AB=O, BA=O$。
真正有意思的情况是 A 和 B 都不是零矩阵。
考虑以下矩阵：
$A = egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$
$B = egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$
计算 AB：
$AB = egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = O$
计算 BA：
$BA = egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = O$
在这个例子中，A 和 B 都不是零矩阵，但它们的乘积（顺序交换后也是）是零矩阵。
A 的幂： $A^2 = egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = O$
B 的幂： $B^2 = egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = O$
所以，在这种情况下，A和B都是幂零矩阵。
总结一下，由 AB = BA = O，我们可以得出：
A 和 B 是可交换的矩阵。
A 和 B 至少有一个是奇异矩阵（除非它们都是零矩阵）。
如果 A 和 B 都不是零矩阵，那么它们就是矩阵乘法中的非零零因子。
这组条件经常出现在研究幂零矩阵的上下文中，A 和 B 本身（或者它们的某个高次幂）可能是零矩阵。
最直接也是最关键的结论是，矩阵乘法允许存在非零的零因子，并且 AB = BA = O 表明 A 和 B 之间存在一种特殊的“相互湮灭”关系，同时它们还具备可交换性。这与我们熟悉的实数乘法（如果 $xy=0$，那么 $x=0$ 或 $y=0$）有本质的区别。
在数学中，当提到AB和BA这样的乘积形式，并且结果是一个“O”时，我们通常是在谈论 矩阵。
A 和 B：在这里，A和B很可能代表的是 矩阵。矩阵是一种非常强大的数学工具，可以用来表示线性变换、方程组的系数等等。它们不像普通的数字那样，乘法顺序非常重要。
O：这里的“O”通常代表 零矩阵。零矩阵是一个所有元素都为零的矩阵。它的形状（或者说“阶”）必须与A和B相匹配，才能进行加法和乘法运算。
现在，我们来一步步分析“AB = O”和“BA = O”这两个条件。
1. AB = BA = O 的含义
AB = O：这意味着矩阵A乘以矩阵B的结果是零矩阵。
BA = O：这意味着矩阵B乘以矩阵A的结果也是零矩阵。
这两个条件同时成立，特别是 AB = BA 这一点，意味着矩阵A和矩阵B是 可交换的。在矩阵运算中，不是所有矩阵都满足可交换性（即AB不一定等于BA）。如果两个矩阵可以交换，它们之间往往存在某种特殊的联系。
2. 从 AB = BA = O 中我们可以推导出的结论
仅仅知道AB = BA = O，我们不能直接推断出A是零矩阵或者B是零矩阵。举个例子：
考虑一个二阶方阵：
$A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
$B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$
我们来计算AB和BA：
$AB = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 cdot 0 + 1 cdot 1 & 0 cdot 0 + 1 cdot 0 \ 0 cdot 0 + 0 cdot 1 & 0 cdot 0 + 0 cdot 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
啊，抱歉，上面的例子不满足AB=O。让我们换一个例子：
考虑一个二阶方阵：
$A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
$B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
这时 $A$ 不是零矩阵，$B$ 是零矩阵。
$AB = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
$BA = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
所以 $AB = BA = O$ 成立。这时，我们可以得出 B是零矩阵 的结论。
但是，如果A和B都不是零矩阵呢？
让我们再尝试寻找一个例子。
考虑一个二阶方阵：
$A = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$
$B = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$
$AB = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 1 + 0 cdot 0 \ 1 cdot 0 + 0 cdot 0 & 1 cdot 1 + 0 cdot 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$
这次又不满足AB=O。
关键点在于：AB = BA = O 并不意味着 A 或 B 必须是零矩阵。
这在高等数学，尤其是线性代数中，是一个非常重要的概念。它涉及到 零因子 的概念。
在实数或复数系统中，如果 $xy = 0$ 并且 $x eq 0$，$y eq 0$，这通常是不可能的（除非我们在模运算的特定环中）。但在矩阵运算中，矩阵乘法存在非零的零因子。也就是说，两个非零矩阵的乘积可能是一个零矩阵。
那么，AB = BA = O 告诉了我们什么呢？
1. A 和 B 的乘积都是零矩阵： 这是最直接的含义。
2. A 和 B 可交换： AB = BA 是一个重要的附加条件。这说明A和B之间不是随机的，它们有某种可以相互“协调”的属性。
3. 涉及到了零因子： 如果A和B都不是零矩阵，那么它们就是 非零零因子。这意味着矩阵的乘法不像我们熟悉的实数那样“没有零因子”。
更深入的理解（可能需要一些线性代数知识）：
秩（Rank）的约束： 矩阵的秩（rank）是其线性无关的行或列的最大数量。一个 $n imes n$ 矩阵的秩小于 $n$ 时，它就被称为 奇异矩阵。
如果 AB = O，那么 A 的列空间（column space）一定包含在 B 的零空间（null space）中。换句话说，B 的零空间“吸收”了A的列空间。
如果 BA = O，那么 B 的列空间一定包含在 A 的零空间中。
同时，如果 AB = BA = O，并且 A 和 B 都是 $n imes n$ 矩阵，那么：
rank(A) + rank(B) ≤ n （这是 Sylvester 秩不等式的一个特例）
rank(A) ≤ n rank(B)
rank(B) ≤ n rank(A)
幂零矩阵（Nilpotent Matrices）： 很多情况下，满足 AB = BA = O 的非零矩阵A和B可能是 幂零矩阵。
一个矩阵 $M$ 如果存在一个正整数 $k$ 使得 $M^k = O$（零矩阵），那么 $M$ 就是幂零矩阵。
例如，我们前面提到的 $A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$，计算 $A^2$:
$A^2 = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix} = O$
所以 A 是一个幂零矩阵。
如果我们取 $A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$ 和 $B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$（我第一次举例时的这两个矩阵），我们发现 $AB = egin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$ 而 $BA = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 1 end{pmatrix}$。这两个都不等于零矩阵。
正确的例子：
令 $A = egin{pmatrix} 0 & 1 \ 0 & 0 end{pmatrix}$， $B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。 $AB=O, BA=O$。
令 $A = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 1 & 0 end{pmatrix}$， $B = egin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 end{pmatrix}$。 $AB=O, BA=O$。
真正有意思的情况是 A 和 B 都不是零矩阵。
考虑以下矩阵：
$A = egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$
$B = egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$
计算 AB：
$AB = egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = O$
计算 BA：
$BA = egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = O$
在这个例子中，A 和 B 都不是零矩阵，但它们的乘积（顺序交换后也是）是零矩阵。
A 的幂： $A^2 = egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = O$
B 的幂： $B^2 = egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} egin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix} = O$
所以，在这种情况下，A和B都是幂零矩阵。
总结一下，由 AB = BA = O，我们可以得出：
A 和 B 是可交换的矩阵。
A 和 B 至少有一个是奇异矩阵（除非它们都是零矩阵）。
如果 A 和 B 都不是零矩阵，那么它们就是矩阵乘法中的非零零因子。
这组条件经常出现在研究幂零矩阵的上下文中，A 和 B 本身（或者它们的某个高次幂）可能是零矩阵。
最直接也是最关键的结论是，矩阵乘法允许存在非零的零因子，并且 AB = BA = O 表明 A 和 B 之间存在一种特殊的“相互湮灭”关系，同时它们还具备可交换性。这与我们熟悉的实数乘法（如果 $xy=0$，那么 $x=0$ 或 $y=0$）有本质的区别。
网友意见
有一个概念叫作“垂直”，是指的 ，但是一般并不说两个任意的矩阵垂直，只有当这两个矩阵都是正定（或者自共轭）矩阵的时候才说它们垂直。自共轭矩阵总是可以对角化的，而两个矩阵可以交换，就意味着可以同时对角化，而它们的对角化的乘积是0，意味着同时对角化之后，如果某一个矩阵的对角线上某一个元素不是0，那么另一个矩阵的对应的位置一定是0. 也可以等价地说成是， ，任何一个向量都可以分解为 和 的元素之和。
任何一个矩阵都可以分解为半等距矩阵（或酉矩阵）与正定矩阵的积，并且在两个矩阵的核相等的条件下分解是唯一的。半等距矩阵给出了向量空间的某一个子空间与另一个子空间之间的同构，如果分别记 而 ，那么 当且仅当 .
两个半等距矩阵“垂直”直观上就是 的始空间与 的终空间垂直， 的终空间与 的始空间垂直。
矩阵的极分解在直观上是这样的：首先假定有如下的矩阵
这个矩阵把e1映射为2f1，把e2映射为πf2，把e3映射为f3，把e4映射为2f4
这个时候，如果把所有系数抹去，就得到了一个半等距矩阵：
另一方面，如果把箭头抹去，则得到了一个正定矩阵：
所以原矩阵等于有箭头没系数的半等距矩阵乘以有系数没箭头的正定矩阵。
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