学习质数理论有什么实用之处？ 第1页

这。。看来我要祭出一些高大上的东西才行了。。

数论在理论物理学中有什么应用？

实际上数论在物理学中的应用非常晚，直到现代，而且也挺有限的。在数论中有一个不那么有名气的东东叫莫比乌斯变换。很多人都知道莫比乌斯环，但很少人知道莫比乌斯变换。

莫比乌斯变换是说，若是一个数论函数，即n是正整数，构造另一个函数，其中求和遍历n的所有因数。

那么可以用函数将重新表述出来，，其中系数称为莫比乌斯函数，定义为：

当时，；

当，其中是个不同的质数时，；

其余情况时，。

以上就是莫比乌斯变换。

陈难先院士最早在文章A new method for inverse black body radiation problem中讨论了黑体辐射的反问题，提出使用（Fourier）积分变换的方法解决前人所没有解决掉的部分【1】。后来意识到所需要的积分变换并非Fourier变换，而是Mobius变换，并在之后的文章Modified Möbius inverse formula and its applications in physics Phys. Rev. Lett. 64, 1193 (1990)【2】中，修改了莫比乌斯变换公式，将莫比乌斯变换推广到连续变量情形，解决了声子态密度谱反问题、黑体辐射谱反问题及Ewald求和问题。这是人们首次将数论引入了理论物理学，并取得了卓越的成果，引起了巨大的反响。很快，Maddox在看到文章之后立刻在nature上发表评论Mรถbius and problems of inversion【3】，给予了高度评价。紧接着，有人从梅林变换和黎曼函数出发重新给出了莫比乌斯变换的较为简短的证明Phys. Rev. A 42, 3643(R) (1990)【4】。后续的文章一波接着一波，解决了很多重要的反问题，包括费米系统反问题，晶格系统反问题等等。看了看，直到今年都有文章引用了陈难先院士的那篇关于莫比乌斯变换及其物理应用的文章【2】。现代称【2】中的公式为修正的莫比乌斯变换公式，或者陈氏定理（不同于1+2那个）。

想了想，还是把码了半天的简介删了，专业性太强，不仅物理很深入，数学背景也挺复杂，往后翻ref自己吧【5】【6】。正问题是已知一个分布函数，可以计算可观测量（比如，随温度的变化）。其反问题更加重要，从观测量（随温度的变化）怎么逆推回原来的分布函数。这个问题就涉及一个积分方程的问题，简而言之，这个莫比乌斯变换是用来计算积分变换的核的。

ref：

【1】A new method for inverse black body radiation problem

【2】陈难先院士首次将数论引入理论物理学的文章：Phys. Rev. Lett. 64, 1193 (1990)

【3】Maddox在nature上发表的评论：Mรถbius and problems of inversion

【4】从梅林变换和黎曼函数出发重新给出的证明Phys. Rev. A 42, 3643(R) (1990)

【5】物理学反演问题的新进展--《烟台大学学报(自然科学与工程版)》1994年01期

【6】“就像从帽子里拎出兔子”——从陈难先的一个工作说起--《物理》2010年08期

关于【6】，提供一个pdf下载链接。内容很不错，评论很仔细。http://www.wuli.ac.cn/CN/article/downloadArticleFile.do?attachType=PDF&id=31775