「大珠小珠落玉盘」真的可以有不同的音调吗？ 第1页

感谢 @無印良我 的邀请。下面给出回答：

声音的三个主要的主观属性包括响度、音调、音色，其中音调主要取决于声音的频率，物体振动的越快，频率越高，发出声音的音调越高；振动的越慢，频率越低，音调越低。“嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘”。这里所说的“嘈嘈”和“切切”主要描述了声音的频率。

下面就是推导（数学）了

珠子落到玉盘上，给玉盘一个瞬间的冲击力，玉盘振动发声。假设珠子从同一高度h落下，其到达圆盘时的动量为：

假设珠子与玉盘碰撞后速度为零，小球施加给玉盘的冲量为P，根据冲量定律，得到冲击力的大小为：

将上述问题简化为一维弦振动问题，如图，冲力F作用在x=x0处使玉盘发生振动，冲力作用使的盘子在x0处在开始振动时有一个瞬间的速度，大小为：

，ρ为玉盘一维线密度。

波动方程写为：

假设玉盘被固定在环上，边界条件为：

在冲力作用下的初始条件为：

利用分离变量法解得：

分析以上结果，振动的本征频率为：

只与波速a和玉盘尺寸L有关，而这些因素只与玉盘的材质有关，在讨论过程中认为是不变的，与小珠施加的冲力无关，即小珠落到玉盘上引起玉盘发出的声音并不会发生音调的改变。然后我们发现冲量P影响的其实是最前面的系数，体现的应该是振动的振幅，即在此过程中由于珠子的质量不同导致从同一高度落下冲量不同，能使发声声音的响度有所不同。

最后说一下个人理解，从数学上讲，我们可以把这个振动问题看成是一个三维波动方程的求解，本来施加外力会得到非齐次的波动方程，但由于施加的外力是瞬时力，我们可以将其引起的变化写到初始条件里，简化为三维齐次波动方程的求解，进而简化到一维。然后考虑边界条件，在讨论中我们采用最简单的第一类齐次边界条件，但其实不管我们取那个边界条件，都不会影响本征频率的形式，只会使求解过程中的积分常数有些不同，最终影响的是振动的相位。最后，本次讨论未考虑阻尼，但如果考虑阻尼振动，其欠阻尼振动下振动频率也只与玉盘的固有频率和阻尼系数有关，而两者都只与玉盘的材质有关，即同一玉盘在不同珠子的作用下发声不会出现音调的改变，只有响度的变化。

但如果我们换个角度来想想，我们会发现更有趣的事情！如果我们假设发声的物体不是玉盘而是珠子，根据以上分析我们得到振动的频率与该物体波速和尺寸有关，即如果我们认为发声的是小珠子，那么大小尺寸不同的小珠在振动时的本征频率确有不同，的确会发出音调不同的声音。看来白居易先生是故意为难我们这些学物理的后人哪，一句诗里竟然蕴含了如此深刻的物理！

回答者：物理所 勿用