如何看待 9 月 24 日 Michael Atiyah 在海德堡获奖者论坛上对黎曼猜想的现场宣讲？ 第1页

首先我们来回顾下Riemann猜想的历史和重要性

然后我们看看以往的证明有哪些错误

我从精细结构常数出发大致用这么个思路证明了这个猜想

详细的过程比较简单，留给读者作为练习

谢邀。这个报告本身没有新的数学。现在数学界讨论得更多的是疑似Atiyah所写的两篇preprint，特别是那篇关于精细常数的文章。这篇文章有相对更多的数学和足够的篇幅，也有更明确的数学对象，何况还联系了物理中重要的基本参数精细常数。可惜现在的反馈都是该文基本上计算上就过不去。

不知道这两篇文章是不是Atiyah本人撰写的。假如是的话，我个人希望这两篇preprint不是在Atiyah本人的意愿下公开的。自娱自乐怎么写都行，但公开发布这样的文章就有点糟糕了。这两篇文章比当时S^6上没有复结构的文章从行文和思考模式来看更加离谱。

我非常理解海德堡论坛对于请到Atiyah这种级别的数学家的渴望。我本科的时候，Atiyah有一年来到中国，只在南开大学给了一个报告。当时我们年级六七个小伙伴，早上一大早坐高铁赶到南开，听了一个报告晚上又回到北京，简直是以朝圣的心理去听一个没什么内容的综合性报告。但学术会议还是应该要有一定程度上的审核机制的。这次Atiyah的报告固然给会议带来了难以想象的关注度，但对于Speaker来说未必是件好事。

这次事件在社会上引起的关注远远大于在学术界内引起的关注，毕竟两年前学术界已经被S^6上没有复结构的preprint刺激过一次了，这次的反应相对就冷淡一些。这也侧面展现了一个伟大数学家和一个伟大的猜想给数学能带来怎样的宣传效果。我想这方面倒是值得学界好好思考的。

昨天自己人工翻译了一下网上流传的5页预印版，可能部分翻译有误，欢迎讨论指正。

黎曼猜想

Michael Atiyah

1、介绍

在2018年里约热内卢国际数学家大会（ICM）我的Abel讲座[1]上，我阐述了如何解决一些从物理学中产生的长久存在的数学难题。问题的关键是在于理解精细结构常数α。

全部的细节记载于[2]，且已提交到了皇家学会的议程A。在[2]中发展的求解技术是冯诺伊曼和 Hirzebruch 关键思想的新颖融合，这种基于指数的无限迭代是非常成熟与强大的技术，且同时具有内在的简洁性。

本来动机在于弄懂α（精细结构常数），但是这些方法的强大与一般性表明它们还应该能解决其它问题，或至少为那些难以解决的问题提供新的认识。在延伸ICM议程我所做的 Abel 讲座中，我推测[2]中的技术能引领算术物理（Arithmetic Physics）的新课题。

黎曼猜想（RH）断言 ζ(s) 在临界带 0 < Re(s) < 1，离临界线 Re(s) = 1/2 中无零点。它是数学中最著名的未解问题之一，也是[1]中设想的艰巨挑战。我相信这种新工具将可以实践应对这种挑战，本论文将提供证明。

证明依靠一个新的函数T(s)，也就是 Todd 函数，由Hirzebruch以我的老师J.A.Todd名字命名。其定义和性质都在参考文献[2]中。但在第2部分中，我会进行回顾与解释。在第3部分中，我将使用T(s)函数证明黎曼猜想。在第四部分，也就是Deus ex Machina一节中，我将尝试解释黎曼猜想的证明。最后，在第5部分中，我将如同设想的一样，把此论文放到算数物理（Arithmetic Physics）的更广的背景下讨论。

2、Todd函数

在这一部分中，我会总结在[2]中构建的Todd函数T(s)的性质。

我将T称作弱解析函数，即T可表为一族解析函数的弱极限。因此，在C（复数域）中的任何紧集K上，T是解析的。如果K是凸（集），T即为度数k（K）的多项式。比如一个阶梯函数是弱解析的，且对于轴上的任意闭区间K，度数为0。这说明弱解析函数有紧支集，相比较与解析函数不同。弱解析函数在L2空间和他们的弱对偶空间上是弱稠密的。他们在所有的Lp空间上是适用傅里叶变换的。他们也是复合（具有复合性的）：弱解析函数在弱解析函数作用下依然是弱解析的。

定义K[a]是闭的矩形，

|Re(s-1/2)|≤1/4,|Im(s)|≤a

在K[a]上，T是度数k{a}=k(K[a])的多项式。

这里的术语形式上与[3]中Hirzebruch使用他的Todd多项式的说法等价。然而，Hirzebruch研究的是形式幂级数且不需要收敛。Bernoulli数之后的出现也说明了，那对于他本质上代数与算术的应用是足够的。

然而，为了与冯·诺依曼（von Neumann）的解析理论相关联，我们有必要像刚才那样使用弱极限。这提供了代数/算术与分析之间的决定性关联，即ζ函数的核心。

这使得我们期盼黎曼猜想（RH）可能在[2]中不同技术的融合里自然地产生变得合理。

现在，我们回到[2]中所定义的T(s)的其他性质中讨论。

2.2 T是实函数，也就是说，T(‘s的共轭’)=T(s)的共轭，即

2.3 T(1)=1

2.4 T将临界带映为临界带，将临界线映为临界线。

（这在[2]中没有明确说明，但是包含在了原理7.6中，它断言T与任意的解析式相容，特别地Im(T(s-1/2))=T(Im(s-1/2)).）

将α视作 1/Ж，[2]中的主要结果是，

2.5 在Re(s)=1/2，Im(s)>0上，T是关于Im(s)的单调递增函数，当Im(s)趋向于无穷时，T的极限为Ж。

正如上文标注，在一个给定的紧的凸集上，当度数减少时Todd多项式趋于稳定。在[3]中，Hirzebruch将这种稳定性用方程的形式表达了出来：

2.6 如果f和g是没有常数项的幂级数，那么

T{[1+f(s)]·[1+g(s)]}=T{1+f(s)+g(s)}.

注记(Remark) 弱解析函数在原点附近可以有幂级数形式展开。公式2.6正是这种展开的线性逼近（更确切的说，这是由√s给定的复s平面(complex s-plane)上的分支双覆盖）。这说明：

2.6 T(√s)=√T(s) 或者

2.7 √T(1+s)=T(1+s/2)

这给了我们在第3部分3.3中所需要的一致常数1/2。

3、黎曼猜想(RH)的证明

在这一部分，我将使用Todd函数T(s)来证明黎曼猜想。该证明使用反证法：假设在临界带内部有一个零点b，但是b不在临界线上。为了证明黎曼猜想，我们只要通过这样的b的存在性推出矛盾即可。

给定b，在2.1中令a=b，而在矩形K[a]上，T是度数为k{a}的多项式。考虑s的复合函数，通过如下方式给定：

F(s)=T{1+ζ(s+b)}-1

根据它的构造，以及猜想ζ(b)=0，由此得出

3.2 F在s=0处是解析的，而且F(0)=0

现在令2.6中f=g=F，我们推断有恒等式：

3.3 F(s)=2F(s)（这里与最终海德堡讲座PPT上所推出的F(2s)=2F(s)有出入，但结论均为F为identically zero，是不是预印版笔误尚未知）

因为C不是特征2的，由此得出F(s)是恒为0的。2.3表明T不是零多项式，所以它在s的亚纯函数域上是可逆的。恒等式F(s)=0表明恒等式ζ(s)=0成立。显然不是这样的，推出所需矛盾。

证毕。

方才给出的黎曼猜想的证明有时与寻找第一西格尔零点（First Siegel Zero）相关。思路是假设存在有黎曼猜想的反例，研究第一个这样的零点b，进而希望可以导出矛盾。

这正是我们所做的。使用3.1中以b处为零点的复合函数F(s)，我们在临界线之外，找到另一个b’，平分距离临界线|s-1/2|的长度。重复这个过程，会给出一个无穷零点序列，且收敛到（临界线上的）一个点。但是一个在这样的无穷序列上消失的解析函数必恒为0。应用到F(s)上（现在使用2.8替代2.6），这表明F(s)恒为0，如同3.3后的最后几行所讨论的，这即能推出矛盾。

注记(Remark) 这个Siegel版本的证明可以看作是费马无穷递降法证明的一个重整版本。众所周知，费马的递降法可能无法改善假设的解决方案。但是我们对于Hirzebruch/von Neumann无限上升的过程抵消了费马递降，使我们能够推出矛盾。做这件工作的关键在于构建一个一致的不等式。在我们的情况中，一致因子是2.8中出现的1/2。

4、DEUX EX MACHINA（拉丁语，解围之神）

第3部分中黎曼猜想的证明看起来令人迷惑地简单，甚至是魔幻的。我将透过表象解释背后的“魔法”原理。显然，函数T是解锁这扇门的密钥，所以我必须解释它的神秘之处。

在[1]中，我将如上总结的Hirzebruch的代数工作和冯·诺依曼的解析工作融合在了一起，使得我从这两个世界（代数和解析）中受益。简而言之，这两个世界的价值在于：

4.1 Hirzebruch 使用了显式多项式T

4.2 冯·诺依曼使用了唯一的超有限因子A

冯·诺依曼的工作显然更深刻，因为A是由指数运算的无穷极限所构造的。Hirzebruch的工作令人迷惑地简单，就像那些所有出色的魔术师一样。但是透过表象仔细观察的话，很显然它也用到了指数的无穷极限。这一次的极限是由一系列离散的步骤给出的，这个过程是形式化和代数化的。在[1]中的第4部分中有更多细节。

Hirzebruch的工作和冯·诺依曼的工作的融合涉及了从离散到连续的过程、从代数到分析的转变。尽管在[2]中已解释过，本论文在第2部分中的最新陈述使得其更明朗。弱解析函数的概念抓住了融合的本质。

我希望这简短的说明展示了为什么这种新方法是既强大又自然的。它应该也已经消除了黎曼猜想的简短证明背后的谜团。

在最后的第5部分，我将把本篇论文放在[1]中所设想的算术物理（Arithmetic Physics）的一般背景中。

5、最终评论

在这最后的一部分，我将在两个水平级别上对于未来算数物理的发展进行评论。

第一方面是一些坚定的期盼，第二方面是一些推测。

从第一个层面开始，是关于黎曼猜想的一些评论。使用我们的新装备，黎曼猜想和α的未解之谜均被解决。然而，黎曼猜想是建立在有理数域Q上的，对于其他域或代数还有很多的推广。我坚定地在这个方向期待有更多的工作。

这里同样产生了一些逻辑问题。明确的说，这篇论文中黎曼猜想的证明是通过反证法来实现的，这在ZF公理系统（Zermelo-Fraenkel）中不被认可为有效，这确实需要选择。我完全相信，黎曼猜想的最一般化版在哥德尔（Gödel）意义下是不可解的。

黎曼猜想应为数学中其他著名难题的基准，比如Birch-Swinnerton Dyer Conjecture。我认为绝大部分情况都是不可解的。

现在我进展到第二个层面讨论。以α、以及更困难的重力常数G（参考[2]中的2.6）为例，我认为数学物理学将会面临着逻辑不可解性与随机性概念纠缠的问题。

在4维光滑几何中，我认为著名的Donaldson理论11/8猜想将会被证明不可解，同样的，还有光滑Poincare猜想。

（引用略）

即使作为数学专业的学生，在RH面前我也只是个外行，充其量未来工作可能会有解析数论方面领域上的交集。但是老实说，对于Atiyah的报告还是抱着怀疑的态度。

首先，报告未免有些草率，45分钟的报告用了30分钟来叙述历史（当然这也是必要的框架构建）。

其次，报告主旨的核心，或者挤爆油管直播的焦点在于证明过程。然而，我们只看到了一页PPT：

也就是说，Atiyah自称simple的proof是建立在这个工具Todd函数T上的：通过T构造一个F，推出F是identically zero，推出矛盾，反证法完成。

最大的疑点在于这个preprint。这个预印版来源自Reddit上的讨论，而非Atiyah本人发表。从内容上看的确除了个别笔误外与论坛上本人发表内容一致，但是以这样的方式公布于众着实说不过去。这篇preprint中的叙述有强烈的结构感和叙事性，但对于作者本人来说缺少了paper应有的推导演算，更何况Atiyah之前发表的支撑内容已经遭到了质疑，建立在存疑理论上的证明并不牢靠。

如果说Atiyah愿意公布更多援引资料和推导的过程，此次轰动将还会有精彩的续集；然而倘若这篇preprint已经是报告的全部，很担心是否会演变成闹剧一场。

贴一下我的实变老师的朋友圈：

还是期待着权威专家与机构给出恰当的评判，如果证明正确将是天才性的重大突破，如果站不住脚我们也不能忽视Atiyah所提出的观点和扩展问题。

2018年，当我们谈起数学，至少有黎曼猜想的一笔时代注脚。

最后作为一个普通数学专业大学生，只希望世人能够给予Atiyah——这位伟大的Abel与Fields双料，一个年近90依然对数学保有热情的数学前辈一些尊重。而不要因为热点的升温和风言风语，将其沦为营销号博取点击量的工具。