这个“rǔn 许”(因变调而读“ rún 许”)确实是“允许”而不是“容许”或“准许”的音变。
原因推测是:现代北京话“允”念成 rǔn 是与“容荣”发生了类似的颚近音日化现象。详述如下:
俞敏先生在《北京音系的成长和它受的周围影响》(发表于1984年第4期《方言》)提到:“北京音系里从早就有把 /j/ 开头儿的音节改成 /ɻ/ 开头儿的例子。比方‘阮’念 ruǎn ,‘荣’念 róng ,‘扬(场)’念 ráng。来源不大清楚。现在的邻近方言里,望东北方向去的地方,象怀柔、密云……都有加重这个趋势的习惯。近十几年,‘允’字突然在城区里流行起来一个 rǔn 的音。这是受东北方向方言影响的。本来 run 这个音节只有‘闰’字用(‘犉,如匀切’是死字),阻力最小。”文中提到的“东北方向方言”是指与北京邻近且位于北京东北方向的方言而不是一定指常说的东北话。
@msoeg 于相关问题下评论道:“(‘允许’念成‘rǔn 许’)可以算作地域原因。一部分现代标准汉语里(本该)以 ‘yu’ 开头的字在古官话时期的部分口音中改以 ‘r’ 为声母,其中‘容’‘阮’‘銳’等字以 ‘r’ 开头的读法甚至还取得了优势,在民国时期被审音委员会定为标准读音。‘允’字以 ‘r’ 开头的读法虽然没被接纳为标准,但也算流传甚广,至今仍很常见。”
“ /j/ 开头儿的音节改成 /ɻ/ 开头儿”这一现象可以参考朱晓农先生的《腭近音的日化——官话中尚未结束的[juŋ]→[ɻuŋ]音变》(2003 年),该文的主要观点是:现代北京话“容荣”等字的声母从 /j/ 变为 /ɻ/ 发生在十九世纪中期 1857 年后。次要观点是:这是从周边津冀地区传入的。蕴含的观点是:津冀地区发生更早,涉及面更广。具体音变原因请阅读:“荣”字的读音是如何变化的?