从数学原理上说一说，葛立恒数、tree(3) 等数为什么那么大？ 第1页

谢邀。

其实想要理解这些数为什么这么大，需要理解迭代运算这个概念。

什么叫迭代运算呢，就是把运算结果重新代入函数。比如 ，那么 。

可以看到，当迭代一个乘法运算的时候，这个运算变成了更高一级的运算，幂运算。

我们再看一下幂运算的迭代运算。令 ，那么 ， 。我们就看x=1时的情况，那么 。这个数很好理解，就是1后面10个0，也就是100亿。那么 ，也就是1后面有100亿个0。

这个数已经很大了，那如果再迭代运算一次呢？

，也就是1后面有“1后面100亿个0”这么多个0。这个数字大到什么地步呢？就是说假设你把宇宙中每个原子都写成0，你也写不出这么多个0。(づ￣ ³￣)づ

通过上述例子，应该已经可以感受到迭代运算的恐怖了。

为了表示这种迭代运算之后变成的更高一级的运算，数学家发明了一种表示方式，叫超运算。

超-n运算的表示方式是 ，即有 个 运算迭代得到的结果。

超-1运算就是加法。 。

超-2运算就是乘法， 。

超-3运算就是幂， 。

超-4运算就是刚才提到的幂的迭代，也就是迭代幂次。刚才我们的例子 ，就可以表示成 。

那么，葛立恒数有多大呢？我们看下葛立恒数的定义：给定 ，葛立恒数 。也就是说，葛立恒数是超运算的迭代运算。超运算已经极其恐怖了，再将其迭代之后，这个数字之大，已经很难用大脑去想象了。估计当年葛立恒脑洞开的有黑洞那么大，才想出了这么一个数字来。◉_◉

那么 这个数到底有多大呢？其实数学家也没有算出来。¯_(ツ)_/¯

这里引用一个函数，叫阿克曼函数。阿克曼函数 ，可以看到这个 和刚才葛立恒数的 类似，都是超运算。

根据数学家Harvey Friedman的成果。 的下界是 ，即 迭代 次。

以上出现事实错误，这是大数 的下界，而不是 的。感谢评论区大神的指正。

具体这个是怎么算出来的，可以参考Harvey Friedman写的论文：

如果借用刚才的 来比较的话，葛立恒数 迭代了64次，而 差不多迭代了 次。根据Friedman的说法：“在前显得微不足道（completely unnoticeable）”。好吧，迭代64次的葛立恒数已经很难想象了，而一个迭代了十万多级超运算次的 竟然在 前只是微不足道……我个人认为这里已经无法用理性思维直观的去想象了，只能感性的认识一下了。_(_^_)_

具体 有多大，这里还是引用评论区大神的专业的解释：

阿克曼函数是增长率为ω的函数，葛立恒数用增长率为ω+1的函数就能简单表达，n(4)则可以用增长率为ω+2的函数表达，这两个数其实是一个量级的。
TREE(3)则需要用增长率为SVO的函数来表达，SVO已经差不多是多元φ函数的极限，而一元φ函数就已经是ω的指数运算了。

( ͡°( ͡° ͜ʖ( ͡° ͜ʖ ͡°)ʖ ͡°) ͡°)