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如何证明最小正周期为无理数的数列f(n)极限不存在? 第1页

  

user avatar   yu-yiren-62 网友的相关建议: 
      

谢邀。


首先,回顾一个简单结论:

若 是无理数,则任意的 都是序列 的聚点[1],其中 表示取整函数。

这是数论中所谓的狄利克雷逼近定理(Dirichlet's Approximation Theorem)的一个推论,证明很容易,我们不打算在这里给出,感兴趣的读者可以自行尝试或者查阅有关文献。


现在开始转入当前问题的证明。

考虑利用反证法,反设 因为 是无理数,依前引结论,存在趋于正无穷的正整数序列 满足 [2]又依函数周期性,将有

考虑对此式取 的极限。对于左端,注意到此时 则其作为 的一个子列,依开头的反设,将有 至于右端,因 依函数连续性将有 这就是说

现在,取任意的实数 同样依前引结论,存在趋于正无穷的正整数序列 满足 于是完全类似地,可以得到

综合 可以推知 但是定义在实轴上的连续恒等函数并无最小正周期,于是推翻反设,命题得证。

参考

  1. ^ 换言之,这个由nα的「非负小数部分」构成的序列在[0,1]上稠密。
  2. ^ 这相当于在引理中取u=0为聚点。

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设T是 的周期, ,

变换一下,令 ,

则有:g(t+n)=g(t),得到一个周期为1 的连续函数,令 ,

问题转化为: 周期唯1的的数列,对于无理数 ,数列 ,是不是收敛?

不加证明的指出一个引理:

* 引理:给定任意的无理数 , 。 表示取小数部分。

根据引理,可以对任意 ,取满足 的一个整数 ,记为 .

设 收敛,则子列 也收敛;

因此有: ;

集合 可以取遍 的所有有理数,在整个周期内稠密;又因为 连续,必有 , ,是常数。

回到原问题,周期为无理数的数列f(n),如果收敛,则必有 ,可以取任意周期;如果不是常数,那么f(n)就不会收敛。


user avatar   inversioner 网友的相关建议: 
      

我给你说一个思路吧,没仔细想,不知道对不对。

假设有极限,极限是L。则对于任意的正实数ε,当n充分大时,f(n)在区间(L-ε,L+ε)中。

然后是问题的核心,证明n+kμ(n充分大,k为整数)在实数集中稠密。(即对于一个任意小的区间都有n,k使得上面的数在区间里)

借此可以证明(借助连续性)所有的函数值都与L充分接近。由此可得f为恒等函数。

然而,恒等函数没有最小正周期。矛盾。




  

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