怎么逐步学习 PDE？ 第1页

首先说点题外话，我自己在学PDE这件事上是走过一些弯路的，现在想来主要原因是最开始的时候自己没当回事，有人曾跟我说过学PDE可以看做是高级一点的分析习题，这句话其实是很坑人的，PDE有自己的模式。根据我个人的经验，请初学者一定注意，PDE不是某种分析的分支，同样实分析，泛函分析，复分析这样的理论也不只是为了解PDE而产生的（虽然在学分析的时候微分方程是一个很好的实例）。

我曾写过几个相关的回答，对一些常见的PDE教材有写过一些注记，如果只是想找书的话可以参考下面回答

先回答第二个问题Evans的书什么时候看合适？说一个比较容易的检测方法，你去翻Evans书的附录，如果其中百分之八十的东西对你来说没有太大的障碍的话，直接去看Evans的书就好，虽然也可能会遇到一些困难，比如不太容易适应各种Sobolev不等式，对弱解这个概念不适应之类的，但多去想想，再辅以相关教材，还是比较容易读下去的。最后，我个人的观点是，Evans这本书不适合拿来自学，它是很好的教材和参考书，但对于没有人指导的初学者，并不算特别友好。我听过好几个人用这本书作为主要教材来讲研究生的PDE课程，他们也都根据自己的喜好跳过以及添加了一些内容，使得课程更成体系。

接下来写一个我自己设想的PDE学习思路，中间改过几次，目前算是一个自己觉得还行的入门思路，当然还有待改进（我自己已经没机会按照这个思路来了，欢迎感兴趣的人尝试，最好能给出反馈）。

1. 预备知识
   1) 与绝大多数的数学系基础课一样，学PDE真正需要的预备知识就只有基本的多元微积分和线性代数，最好的话还是有对Lebesgue积分有所了解，当然学过实分析和泛函分析可能会轻松一点，但除了线代和多元微积分其他的完全不是必须的！要用到的高级一点数学都可以在学的过程中慢慢补充。
   2) 如果想要具备比较充足的准备之后再来学PDE的话，建议学过基本的实分析，复分析，泛函分析以及基本的ODE之后再开始学PDE（实际上很多学校的课程安排差不多就是这个顺序），关于这部分教材的选择也比较自由，因为需要用到的基本上也都是这些课程比较核心的基础部分，如果有条件的话学点基本的变分方法，基本的Sobolev空间也可以（这些内容很多讲的多一点的泛函分析教材里都会涉及，也有一些专门的教材，当然更建议在学PDE的过程中学这些东西）
   3) 我自己接触到的要学PDE的人基本上都是学过一些实分析和泛函分析的，所以1）说明没有实例支持，不过有一点是可以肯定的，很多人是在学PDE的过程中才真正的对泛函分析这样的课程比较有感觉的。
2. 我个人认为的比较好的学习安排
   1) 最好还是要学一些古典的PDE理论的，学这些是真的只需要线代和微积分就够了的。我个人目前比较推荐的教材是
   A. K. Nandakumaran & P. S. Datti（Cambridge–IISc Series） Partial Differential Equations Classical Theory with a Modern Touch，2020.他们还写过ODE的书可以配合食用(非必要)

PDE这个学科在20世纪的时候发生了很大的改变，特别是自Leray关于Navier-Stokes方程的著名工作^[1]之后（也包括同时期泛函分析这一学科的发展，Sobolev的工作，Schwartz的分布理论的出现等等），绝大多数的本科PDE课程都是只会涉及到古典的PDE理论的(也就是十九世纪之前)，这本书如标题所言，在介绍古典理论的时候，尽可能的为读者描绘一下现代理论的样子，算是一个比较好的尝试。其实古典的理论绝大多数书都是讲的大同小异，就像我上面回答中所说的随便选一本拿来看都没太大问题。我之所以比较推荐这本书一方面是因为作者想尽可能的消除从古典理论过度到比较现代的理论之间的‘Gap’的想法，另一方面是因为个人很喜欢，此书中对一阶PDE的处理，除了基本的特征线法之外，你还能接触两类非常重要的两类一阶方程：Hamilton–Jacobi和守恒律方程，而这并不需要费太多的功夫！个人觉得这部分写的是要比Evans或者F.John书中更友好的。我之所以提关于一阶方程的这部分，还有一个原因，很多国内的PDE教材关于这一部分写的都很简略，我记得我在一开始上PDE课的时候，我们直接就没讲过这些东西。最后关于一阶方程的这部分一个更为丰富一点的参考是Sandro Salsa的书第四章和第11章（个人觉得这个书比Evans更适合自学的人）也很推荐在这个阶段辅以韩青老师的GSM120.
2) 再学个一些古典理论之后，PDE这门课基本上就画风大变了，因为你不再学着如何解方程了。一般的研究生阶段PDE课程(请忽略掉研究生阶段这个定语)，差不多就是选一个切入点来讲基于弱解这个概念的线性方程理论了。首先是要理解所谓的弱导数、弱解以及Sobolev空间的概念了。关于这些Evans的第五章以及Salsa的第四章和第六章算是一个比较短的介绍。关于如何开始真正的学习这些东西，我个人比较推荐的是Alberto Valli的书A Compact Course on Linear PDEs，2021

和Evans以及Salsa这本书也是以椭圆方程为切入点的(实际上，Valli在前言中有写他当时上课所用的主要参考书就是这两本)。这本书只有两百多页，由于细节很丰富，非常适合自学使用，如果用来上课的话或许还能在补充一点内容组成一学期的课程。这本书有一点对自学的人非常好，即便是对于一个完全没怎么接触过PDE的人拿着本书来看也不会有太大的困难。比如作者很贴心的在书中直接写了一章来介绍有限维空间和无限维空间的区别，很贴心地手把手教你怎么证Lax–Milgram等等。更关键的是书中包含了大量的motivation的东西。在最开始引入弱解的概念的时候，用最简单方程对比了古典的方法和基于weak formula的方法的主要区别，让你很容易的感受到，现代分析对于PDE这个学科带来的改变。再比如我遇到过很多人搞不清楚一致椭圆条件和系数矩阵正定到底是什么关系的人（虽然这只是基本的线性代数而已），在习题中作者也很好的引导你理解了这个概念。此书可以说是我见过的最好的现代PDE入门书了！(入门也就意味着，有很多东西是没有涉及到的)这本书主要是以线性椭圆方程为主后面关于抛物方程和双曲方程的处理也是基于前面对于椭圆方程的分析。在读过此书的基础上，接下来个人比较倾向的选择是

伍卓群先生[2]最开始是做ODE研究的，后来吉林大学数学系决定建立偏微分方程这一学科，开始转向PDE的研究，为我国PDE事业的发展做出了很多重要的贡献，伍先生与其学生合著的这本研究生教材，将椭圆型方程和抛物型方程这两类偏微分方程的重要分支融为一体, 系统地介绍了这两类方程的基本理论和基本方法, 既突出了两者共性, 又揭示了各自的特性, 是偏微分方程的优秀的入门书籍之一。在读这本书的过程中辅以Han-Lin，Gilbbarg-Trudinger，Friedman，Lieberman，Ladyzenskaja，以及陈亚哲老师、沈尧天老师的书都是不错的选择。

再学过这个之后可以去看看Christopher D. Sogge的Lectures on Nonlinear Wave equations

以及Reinhard Racke的Lectures on Nonlinear Evolution Equations

想学守恒律的话可以参考Joel Smoller的书或者 Constantine M. Dafermos也行

如果对dispersive equations感兴趣，可以去翻翻 Felipe Linares, Gustavo Ponce的Introduction to Nonlinear Dispersive Equations

以及陶哲轩的

3. 送给能看到最后的人一个小彩蛋吧，如果学过一段时间PDE了，想检验一下自己学的怎么样，不如去读读Leray著名的工作^[1] ，鉴于原文是法语，下面提供一个更易读的版本

作者是Wojciech S. Ożański, Benjamin C. Pooley在此引用一下他们的摘要部分

This article offers a modern perspective which exposes the many contributions of Leray in his celebrated work on the Navier--Stokes equations from 1934. Although the importance of his work is widely acknowledged, the precise contents of his paper are perhaps less well known. The purpose of this article is to fill this gap.

此文收录在CHARLES L. FEFFERMAN，JAMES C. ROBINSON & JOS ´E L. RODRIGO主编的Partial Differential Equations in Fluid Mechanics (London Mathematical Society Lecture Note Series: 452)如果对Navier-Stokes方程的定性理论感兴趣的话强烈推荐去读读

[Cambridge Studies in Advanced Mathematics 157] James C. Robinson, José L. Rodrigo, Witold Sadowski - The Three-Dimensional Navier-Stokes Equations_ Classical Theory (2016, Cambridge University Press)

4. 暂且就止步于此，以后有空会补充一个更完整的版本，希望对想要学习PDE的你有所帮助。

参考

1. ^^abLeray, J.: Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace. Acta Math. 63, 193– 248 (1934) https://link.springer.com/article/10.1007/BF02547354
2. ^伍卓群先生简介 https://www.cnki.com.cn/Article/CJFDTotal-JAXK201912001.htm

英语好的确实可以从Evans的起步。

但是既然题主问如何从头学起，我就按照老老实实从基础学起的样子讲讲。以下内容不适用于天才少年，你们可能觉得太容易。。。

大一的分析和代数加上基础的常微就可以学本科的数学物理方程了。（学过实变更好没学过也无所谓）。

数学物理方程，数学系这课其实就是一个初级的pde课程。国内最常见的教材就是谷超豪或者姜礼尚的吧。其实教材都差不多，之前我没觉得有啥不好。我选用的是谷超豪的。我们学校只有三学分，勉强能讲完前四章。这个课参考书我一般推荐看Evans的第一章和第三章前三节。因为这些内容基本上是涵盖了国内本科主流教材的范围。

进入研究生学习pde就有必要把泛函和实变学完了。并且实变一定要学完Lp空间，否则对pde来说没有意义。

泛函我一般推荐Brezis的泛函分析，有中译本；张恭庆的上册也不错。这两本书对专门做pde的人比较对口。

实变国内的主流教材其实都够用，内容上区别不大。觉得不够我推荐一本Lieb和Loss的《分析学》，内容非常全，几乎可以说是专为pde编的书。

在这以后念Evans基本没问题了。当然除非你理想特远大，否则研一pde只学完前两部分就差不多了。基本的线性pde都包括了。

在之后就看你的方向选择了，第三部分都是专题性质的。。。除非闲着没事，没必要都看。

当然这书限于篇幅有些经典内容是缺少的，比如Schauder估计神马的。但一般读到这地步，你自然就该知道还有哪些你需要的东西该学了。

以上。

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以前看过有很多人真是一言不合就开始推荐Rudin。。。我觉得Rudin的泛函分析和实分析与复分析并不太适合给做方程的人学。。。这么多人推荐Rudin，你们真的看过么？

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评论里有人提到这本书

其实我也有一本影印版的。看起来是挺适合本科生的。。。

但素！

这微妙的中英混编是个神马意思？？？编辑脑袋让驴踢了么。。。