如何求圆周上随机 n 点构成的 n 边凸包的平均面积？ 第1页

从圆心向 点连线，将凸包分为 个三角形，它们的面积和就是凸包的面积。易知，若凸包某边所对圆心角为 ，则单位圆上对应的圆心三角形面积为 。（注意此处 时也成立，因为此时对应的三角形的面积确实应该是从其他三角形的面积和中减去才得到凸包面积的。）注意到对于随机的 点，任意一个 的分布由对称性都应该是一样的。因此如果能求出任意一个 的分布，就能求出对应的 ，从而凸包的面积期望 也就可以求了。

显然， 的分布等同于把长为 的线段任意切成 段后第一段的长度的概率分布，也就等同于 个在 上的均匀随机变量的最小值的分布。考虑 个这样的随机变量的最小值的累积分布函数

则对应的概率密度函数也就是

。

因此，

后面的多项式乘正弦的积分用惯用的分部积分伎俩即可得出递推式：

故

以 、 递推即可。

关于非递推表达式，我问了问Wolfram|Alpha 的值，对面告诉我计算超时，所以我就放弃了。

此外做一个简单的sanity check： 时应有 ，代入上述递推式就得到一个不定式，嗯……嘛至少不矛盾。

看来之前的问法不太对。我又重新问了问Wolfram|Alpha，这次是问了不定积分 的值；Wolfram|Alpha告诉我（省略常数C）

其中 是不完全伽马函数。此式再代入之前的结果中，借助一些从Wolfram MathWorld查到的资料，可得

其中 为指数和函数（exponential sum function）。

为了确定算没算错，试几个小数：

没有问题。

也没问题。虽然数学容不得抽样调查，但看到这些结果还是让我放心了一些的。等我睡醒再思考怎么继续化简。

睡着之前再来点。

接下来多半又要逃不掉分奇偶性了： 为奇数时，令 ，

为偶数时，令 ，

嗯，到这里至少 的情况还是满足的，大概问题不大吧。不知道这样算不算一个通项。

上两式可以合为一式：

做个数学归纳法。 为奇数时，

没有问题。

为偶数时，

同样没有问题。加上前面的初始值验证，这个答案就以

告一段落吧，我已经足够满意了。