将一个正方体电阻平均分为九份，挖掉中间一块，现在的电阻是多少？ 第1页

这是一个复杂形状的导体块的电阻问题。

稍微更新下前提：这里解的是均匀各向同性块状材料、直流电下的电阻。直流电没有趋肤效应，不均匀材料没法计算。

复杂形状导体内的电流分布不是简单的串并联关系，电流分布难以计算。

后面会给出数学推导，说明这个问题下，电势满足拉普拉斯方程。

这个问题不一定有解析解（我觉得正方体挖洞可以做无穷级数解，但是大家仍旧看不懂），但是我们可以利用数值计算，来解决这个问题。

事实上，物理学遇到的大部分问题，都是没有解析解的。我们总是可以利用数值方法，在一定的精度下解决问题。

一个著名的梗：三体相互作用，都无法严格解。严格的数学只能解两体相互作用。（最初是在1887年海因里.希布伦斯指出天体相互作用的三体问题不能严格解，后来发现三个原子，三个电子，三个。。。都不能严格解）

下面的结果来自物理学数值计算软件Comsol® Mutiphysics

我们做一个1m见方的立方体电阻，电阻率是1Ωm，于是它两个对面之间的电阻是1Ω。

下面所有图中蓝色面是负极面，红色面是正极面。我们计算的是红蓝两面之间的电阻。

首先给出能解析解的三种情况：

这个可以利用并联电路来解，很明显，电阻是9/8Ω。

其次给出不能解析解的四种情况：

可以看到，同样是挖掉1/9的导体，不同的形状给出不同的电阻大小。

有意思的一点是，最后一种情况和第一种情况是完全相同的。这是因为，八个最后一种情况恰好能拼接成长宽高都是两倍的第一种情况（考虑上表面和前表面的镜像）。根据对称性，这两者电阻一定相同。八合一情况如下图：

另外，中间挖掉的电阻，都大于上面可解析的电阻，这是为什么呢？因为电流要绕过中间的障碍（被挖的部分）导致等效传播距离更长了。

来看一下这几种情况的电流分布横截面：

上图彩色是电势分布，较为准确（是软件的直接求解量），红线是电流线，稍微有点误差（是软件根据电势分布又二次计算出来的），红线指示电流方向还是准确的，由于流线追踪的时候如果电流太小，流线就断开了，导致最左边两张图，最靠近孔洞的流线断掉了，从而不对称。这是数值误差问题。

我们看到，电流要绕过挖空的部分，造成的影响不只是空洞所在的位置，还限制了它挡住的部分。

感谢

的提醒，这里如果不考虑电流被挡住造成的限制作用，考虑三电阻串联，应该是1/3+1/3+1/2=7/6Ω。

而由于电流挡住的限制作用，电流需要绕弯，导致等效电阻变大，电阻大于7/6Ω。

那么，什么时候挖空情况下电阻仍旧是7/6欧姆呢？我们假设电流竖着走（向着负极走）受到电阻，而横着走不受电阻影响（也就是各向异性电阻，横向电阻率为0），此时，上图的四种情况的电阻就是7/6Ω了。如下图，当横向电阻率接近0，纵向电阻率为1Ωm的时候的电场分布

此时电阻就是7/6Ω。

然后，我们看下如果挖除1/27的导体，会怎么样呢？

同样，根据对称性，第一种情况和最后一种情况，一定是一样的才对。

总之，题主问的这个电阻问题，难以解析求解，但是数值解可以给出所需精度的结果。

起床更新，方程部分。以下内容需要读者学过数学物理方法 或者类似的数学课程

这个问题的数值编程还是比较简单的，本质上是最简单的偏微分方程——拉普拉斯方程。

首先，电流满足流守恒方程

由于稳恒电流条件下，电荷积累不随时间变化，上述方程简化为：

另外，电流满足

电势满足

所以，最终

在均匀各向同性介质中，最终获得，就是拉普拉斯方程。

另外，边界条件也比较简单，电极面是固定电势输入，所以是第一类边界条件。

电绝缘面，电流一定平行于表面，所以电场平行于表面，也就是电势的梯度在表面的垂直分量为0,即第二类边界条件

方程和边条都确定，就可以解啦。解出电势分布，就可以再求电场分布，电流分布。通过电流面积分，即可知道总电流，从而得到总电阻。

拉普拉斯方程的数值解法还是很多的，最简单的就是有限差分方法，我写过一个二维的程序还挺好用。但是三维的程序消耗内存太大，还是商业软件优化得多，靠谱一些。