人跑步的速度与腿部肌肉输出的力量呈什么数学关系，有公式或者平面图吗？ 第1页

谢邀。

我们尝试用各种极简的模型去理解奔跑这件事。尽管在简化的过程中，会产生很严重的“失真”。对于奔跑这件事真的非常感兴趣，也没有好好想过其中的原理。所以，一方面，我尽量回答题主的问题，另一方面去探索如何跑得快的技巧。

把奔跑者视为质点，质点在水平线上做周期性的抛物运动。

忽略它在竖直方向的运动，

如上示意图，“ ”表示奔跑者在空中滞留的阶段，此时当低速时阻力较小；“ ”表示奔跑者落地，分为两个阶段： 为减速阶段， 为加速阶段。

人奔跑减速过程非常类似于打水漂：

两腿交替的时间越久，人的速度就越慢。有效冲量累积的效率高是一方面，阻力 作用时间越久，人的动量消耗越多，紧接着再“白手起家”……

虽然腾空时间太久也不利于加速（一方面是影响有效冲量累积的效率，另一方面后面补充），但对于行走而言是人突破性地“飞跃”：飞跃本身就需要人提供巨大的动能，其次飞跃的滞空时间为腿部肌肉蓄力提供充足的时间。脚落地的瞬间，由于躯体继续向前的惯性，使得阻力阶段 迅速转换为加速阶段 ……这样一通操作下来， 阶段的时间挤压到最小。

下文也有对于减小 阶段阻力的讨论。

阶段

我们先研究一个基本模型。

模型 1

如图，我们将人抽象为球杆模型。其中上球承担着球杆模型大部分质量 ，下球只占据小部分质量 ，轻杆质量忽略不计。下球在当前时刻瞬时受力平衡，则当摩擦力已达到最值时：

若我们令 得，

令

于是我们得出了摩擦因子 在自重 的作用下，允许倾斜的角度的范围。如果上球给墙一个壁咚（靠着光滑的墙），倾角是 ，则该模型刚好受力平衡。

我们发现 与对地面的压力无关，只与摩擦因子 有关。摩擦力虽然限制了加速的倾斜 角度的下限，但与 的大小无关。所以奔跑者只要维持身体倾角在 ，就可以获得加速度最大的水平分量。

阻力影响有多大？

由动量定理，假设阻力每次作用时间为 ； ，将 代入下式得

这个影响对于正常人来说还是挺大的阻力，不过对于题主所说的小说主角而言……

模型 2

此模型更接近真实的情况——可以把膝盖视为某种特殊的弹簧装置。在模型 1 中，若球杆模型（杆长为 ）有向左的初速度 ，由于受到 的阻力，球杆竖立起来，即 从 增长至 ，在这个过程中考虑能量守恒：

所以，当人的脚掌接触地面的刹那，膝盖弯曲，此时既可以蓄力，又减小身体的势能，从而减少动能的损失。

阶段

当弹簧释放能量时，人获得一个斜向上的加速度，此时人在腾空阶段做斜抛运动。题主提问人的腿部肌肉力量输出的环节就是此处。

借用模型 2 分析如上情形，设弹簧提供的弹力为 ，于是有如下力学方程：

能量守恒：

其中 表示弹性势能， 表示膝盖弯曲造成的高度差以及奔跑者跃起的高度之和。

令 ，则

我们会发现， 全部转化为 的机械能。但是我们希望动能可以分配的能量可以更多一点，于是奔跑者需要尽量减少竖直方向的能量损失。

比如猎豹等善于奔跑的动物，身姿往往很低，四肢跨度很大，身体像水平的弹簧，不断产生纵波，巨大的能量都在水平的方向释放，于是获得了异常的动能。

回到主题，如果将腿部肌肉做功视为弹簧能量释放：

为弹性系数； 为弹簧伸长的位移，类比为膝盖伸直所增加的长度； 为肌肉的平均力量输出，在题主的问题中可以认为 ，于是奔跑者每次可以获得的最大动能为：

如果考虑我们在模型 1 中的动能的损失

好意思叫损失吗？？？所以这部分能量忽略不计了……

（这里假设 ，我自己做高抬腿大概是 左右，博尔特肯定超过这个数值； 是题主的假设）

在 中忽略 ，于是有

上面方程的含义是：每一次脚蹬地面，释放的有用功皆是 ，全部转化为动能。使用叠项相消法（假设 ）：

于是得到两个重要的公式：

这个速度方向很可能并不是水平方向，但是由于人在奔跑时的重心波动十分微小，所以可以视为水平分量的速度的近似值。

若将 代入 计算得：只需 4 步奔跑者的速度就达到要求！

结论：人跑步第 n 步的速度与腿部肌肉输出的力量的平方根成正比。

（图片来源：中科院物理所：你知道为了测博尔特的速度，我们有多努力嘛？）

我们利用该数据估计一下博尔特的腿部力量 。下面是他的数据：

• 身高 ，根据网上照片测量，小腿占比身高恰为 ，故得小腿长度 ；
• 体重 ；
• 第 步时速度约为 （每一个波峰为一步）

代入公式得：

另外我们看得出博尔特瞬时速度-时间曲线是一个上凸曲线，这很符合公式 预言的平方根函数的特点。这与我们通常将其视为匀加速过程更为合理。