10的100次方内的素数的中位数在什么范围内，你可以估算到多高的精度? 第1页

粗略计算

根据素数定理，记 是 以内素数的个数，则 。

所以， 以内大约有 个素数，其中位数是第 个，用素数定理反推大约是 。

素数定理给出的更精确的估计是对数倒数积分函数 ，用这个算， 以内大约有 个素数，中位数是第 个，反推大约是 。

误差分析

记 。下面的不等号推理不太严格，但是从数值估算的角度来看很大程度上正确。

我所能找到的有关用 估计 导致的误差最精细的估计是：假设 Riemann 猜想成立，则对于 有 。^[1]

于是， 与 的相对误差不超过 ，这也是 与 的相对误差限。

记 是所求的中位数，则 。忽略取整导致的 数量级的误差。 与 的相对误差限是 。

所以 与 的相对误差限是 ，

。右面这一大堆算出来大约是 ，所以 的相对误差限是 ，也就是有 个正确的有效数字。

所以：

补充部分

（为了写下面这几部分，我临时查了不少东西。所以，如有错误，还请指正。）

部分参考资料：英文维基：素数计数函数 / 一篇有关 π(x) 与 Δ(x) 的介绍 / Wolfram : Riemann 素数计数函数 （维基放的链接是国内的万维镜像，所以能打开）

既然我们在算误差的时候已经假设了 Riemann 猜想成立，何不更进一步放飞自我。这一段话中的“好像”（对应英文维基原文 heuristically ）指的是“还没有人证明，但是直观上看上去是对的”。

接下来，略微改动一下 ：对于实数 ，定义 ，也就是，在素数以外的地方不变，在 是素数的地方减少 。

Riemann（以及 mathematica）使用的对数倒数积分函数是 ，当 时在间断点 处取 Cauchy 主值（即 ）。

他定义了 Riemann R 函数：

其中 是 Möbius 函数^[2]， 是 Riemann zeta 函数。

于是， Riemann 证明了，对于任意 ，都有（注意，是等号！）

其中 表示对 Riemann 函数的所有非平凡^[3]零点求和。

其实如果求和算上平凡零点，即所有负偶数，会变成 。

令 ，我们发现 好像是 的“光滑部分”，剩下的求和在零左右反复震荡好像是“震荡部分”，而且振幅大约是 。

令 。前面提到的那篇介绍更仔细地讲解了 ，列出了 以内的一些 值，并画了图像（横轴是对数标尺）：

我们猜测： 。这是一个比 Riemann 猜想还要强的命题，我们希望它至少在 以内成立。如果确实这样，"so one can use p(x) as the best estimator of π(x) for x >1."（出自上面提到的维基页面，原文中 p(x) 处写的是完整表达式。）

假如是这样，那么 ，我们就可以用这个 代替前面的 来推出结论，这样来做的绝对误差限是 ，相对误差限是 ，稍小于上一次的二千分之一。

于是，我们有 个正确的有效数字（多了三个！）

所以：

注记：这已经到了目前的（我看到了的）估算方法中可能到达的精确度的极限。距离上面算出来的近似值 最近的素数是 4 984 815 928 844 507 370 400 314 010 830 339 198 081 983 721 569 986 102 328 056 349 605 167 556 822 669 810 566 351 745 617 383 663，但是， 可能出现的区间有 这么长，这个区间中大约有 个素数，所以即使我们假定成立的猜想全都确实正确，上面那个数恰好是正确答案也是机会渺茫。以有涯随无涯，殆矣。

假如 Riemann 被 Fermat 附身 猜错了

目前为止可用的最精确的不假定 Riemann 猜想就能证明的（即可以保证正确的）误差估计由 Trudgian 于 2014 年证明^[4]：当 时

但是，我直接用这个误差控制去算，发现答案的精度是 ，只有两个有效数字，相对误差限是 。虽然确实不应当对精度像前面的 数量级那样做太高期望，但是这种精度也太拉跨了吧。

上面这个是英文维基百科上记载的最新结论。 arXiv 上在此之后另有一篇 2019 年的文章，（宣称）证明了 这比 Trudgian 的估计更小，但是因为 过分大了，所以对我们的问题无效。

于是我找到 Trudgian 的论文，发现他的公式中的常数极大程度上是对 的情形的妥协（见论文第 3 页 Theorem 1 的证明），而我们不需要用到这么大的数据。针对 的数据范围，可以利用他的方法和数据去得到更精确的结论。（后面所引用的两篇论文都是 Trudgian 论文的参考文献）

Schoenfeld: Sharper Bounds for the Chebyshev Functions θ(x) and ψ(x) 第 265 页，式 (5.3) 证明了：对任意正数 ，

。

， ，求和指标 表示素数。

记 ，则 。

再记 ，Laura Faber, Habiba Kadiri: New bounds for ψ(x) 的附表 4 给出了 在不同区间中的上界 。我计算时，挑选了表中的几个数据，采用了这样的分段函数：

*：并未列入表中，而是出自 Trudgian 论文。

这样，令 ， 。

Trudgian 论文中式 (8) 提到，

所以，

而最后这堆东西是容易算出来的。

最终的结果是：

的可证明绝对误差限是 ，相对误差限是 。也就是我们有 个就算 Riemann 猜想不对也能保证正确的有效数字：

。

精确计算的复杂度（待续）

我声称待续但是一直都没有来续，是因为（目前为止我找到的）改进求 的算法的那篇文章有点难读。

我最终会填上这个坑，但是可能会很慢。

猫

参考

1. ^参见  https://en.wanweibaike.com/wiki-Prime%20Number%20Theorem#cite_note-14
2. ^ n 有平方因子时 μ(n) = 0，否则设 n 是 t 个不同素数的乘积，则 μ(n) = (-1)^t 。
3. ^ 非平凡就是具有正实部的，也就是 Riemann 猜想讨论的那些。
4. ^这里维基百科写的是 2016 年，可能指的是发表到刊物上的时间。我写的 2014 年是论文放在 arXiv 上的时间。参见 https://en.wanweibaike.com/wiki-Prime%20Number%20Theorem#cite_ref-12