怎么计算某一年的干支所表示的是一甲子中的第几年? 第1页

从 @端木弗貢 的答案中可以提炼出一个公式： ，其中 x 代表一个干支的组合在六十甲子中的次序，a 和 b 分别代表其中天干、地支的次序。

@端木弗貢 是通过「凑」的方法得到这个公式的。其实，推导类似的公式有系统的方法，即利用中国剩余定理。我就以本题为例，讲解一下中国剩余定理背后的直觉和套路。不过说实话，严格按照定理来推导，过程还是有些麻烦，最好还是适当地引入「凑」的成分。

中国剩余定理

中国剩余定理解决的是这样的问题：已知一个数除以若干个数的余数，求这个数。比如，要求「壬寅」年是六十甲子中的第几年，就是问：一个数除以 10 余 9，除以 12 余 3，这个数是多少？显然，这样的数可以有很多，它们之间相差所有除数的最小公倍数；我们只要随便找到一个，就可以推出所有其它的了。

中国剩余定理告诉我们：可以先求出若干个「单位解」，再把它们线性组合起来得到答案。所谓「单位解」，就是除以某一个除数余 1，而除以其它除数余 0 的解。上面 10、12 这两个除数有些蹊跷，我们先换一组 —— 设三个除数分别为 3, 4, 5，那么 40, 45, 36 就是它们对应的「单位解」：

• 40 除以 3 余 1，除以 4 和 5 都余 0；
• 45 除以 4 余 1，除以 3 和 5 都余 0；
• 36 除以 5 余 1，除以 3 和 4 都余 0。

我们可以先随便猜一个初始答案，比如 0，它除以所有的除数都余 0。然后，我们往答案上加减这些「单位解」，就可以单独调整答案除以某一个除数的余数，而不影响除以其它除数的余数。比如，往答案上加 40，就可以让除以 3 的余数加 1，而除以 4 和 5 的余数不变。根据这个思路，不难发现，最终的答案，就会是每个「单位解」与其对应的余数的乘积之和。如果要求一个数除以 3, 4, 5 分别余 p, q, r，那么答案就会是 。

那么问题来了：40, 45, 36 这三个「单位解」是怎么找到的呢？不会是硬凑的吧？当然不是。

寻找「单位解」

以 40 这个单位解为例：我们要找一个数 n，除以 4 和 5 都余 0，而除以 3 余 1。为了满足「除以 4 和 5 都余 0」，n 必须是 4 和 5 的最小公倍数（20）的若干倍，即 n = 20t。使得 n 除以 3 余 1 的 t，叫做「模 3 下 20 的数论倒数」。「数论倒数」可以用扩展的辗转相除法系统地求解，不过在这篇答案里，我就把它略过了，因为对于比较小的数来说，数论倒数「凑」起来更快。对于本例，不难凑出 t = 2，m = 40。这也是 t 在模 3 同余意义下的唯一解。

一般地，设各个除数为 ，除了 以外其它除数的最小公倍数为 ，则第 个单位解就是 ，其中 是模 下 的数论倒数，即 。中国剩余定理则可以表述为：如果一个数 除以 的余数为 ，那么就有 ，其中 是所有除数的最小公倍数。

数论倒数要有解，要求除数 与其它除数的最小公倍数 互质。这也就是要求所有的除数两两都互质。此时 就是所有除数之积，而 就等于 。

现在回到最初的干支问题：两个除数分别是 10 和 12，并不互质。怎么办呢？

除数不互质的情形

先把原始问题写成同余方程组的形式：

和 不互质。我们可以把每个同余方程拆开，使得每个方程的模都只有一个质因子：

这一步很简单，因为余数（a 和 b）可以保持不变。

下面要做的，就是对于模的质因子相同的那些方程，检验它们是否矛盾。在本例中，就是要检验第一、三个方程，也就是确认 a 和 b 的奇偶性相同。这是成立的：在干支中，奇数号天干只能搭配奇数号地支，偶数号天干只能搭配偶数号地支。

检验完了之后，同一组方程中可以只留下模的指数最高的那一个；在本例中，就是留下第三个方程，丢掉第一个方程。于是得到：

呀，除数们正好是 3, 4, 5！于是可以套用之前已经求得的「单位解」，得到：

能不能简单点儿？

上面，我们把两个除数 10 和 12 都拆得七零八落，很麻烦。能不能简单点儿？其实可以，只不过这样的方法就不系统了。在本例中，我们可以只拆 10，不拆 12：

确认 a 和 b 的奇偶性相同后，可以丢掉第一个方程：

两个除数 5 和 12 互质。下面要求出两个除数在模对方下的数论倒数：

不难凑出 ，于是两个「单位解」就是 和 ，同样可以得到 。

临门一脚

36 和 25 这两个系数好大，不好算也不好记。不过我们可以稍微再化简一下。

记得 a 和 b 的奇偶性相同吗？这就是说， 。

由此可以得到 。嗯，我承认，这一步是凑的。

从刚刚得到的答案中减掉这个式子，就能把系数弄小了：

这个结果就十分方便计算和记忆了。