很多老师都用1.01的365次方和0.99的365次方论证要坚持每天进步，可这个模型跟实际相符吗? 第1页

无聊的做了个图

（每天坚持定量学习不是365次方而是365倍，所以老师论证是错误的）

所谓的1.01^365次方，曲线长得是这样子的

所以，你至少在很长一段时间内感觉不到那种飞一般的感觉。

纯粹按照时间来量化（因为容易量化）

那么假定一个人纯粹学习，除去睡觉，吃饭，上下课，去卫生间等，当然也包括你打盹，走神等时间，估计上限是12个小时左右，也就是720分钟.

那么，365天每天1.01的进步法，算了下，你的起步时间是19.05597分钟。

换句话，如果在这之前，你每天只学习19分钟多，然后接下来每天学习时间增加1%，你将在1年后学习时间达到12小时。

但是好景不长，接下来你继续按照每天增加1%去努力，那么你将在第434天的时候，学习时间达到24小时

再往下，你只能换个星球（比如下图中的水星、金星、火星和冥王星一天时间就比较长）或者跑到黑洞去了，因为地球自转一天不到24小时。

所以，如果你之前每天学习19分钟，每天增加1%，365天后你的每天学习时间是12小时，434天后你的每天学习时间是24小时了，达到了地球自转周期的极限了。

—————起步低一点—————

当然，你可以起步低一点，第一天学习1分钟，那么第一年365天后，你的数据是37.78343分钟；第二年730天后你的数据是1427.588分钟，已经是23.7833小时了，逼近地球自转周期。如果恰好碰到了闰年，很不幸，你的学习时间会变成 1441.864分钟，折合24.03106，超出了地球自转周期。

所以，时间上的1.01^365，不是那么容易实现的，这很大程度取决于你的起始时间，但即便是起始1分钟，两年后，你的学习时间已经突破地球了。

—————反过来，0.99的增速呢？—————

假定你开始是个学魔，一天除去吃喝拉撒打盹走神学习12小时，也就是720分钟，那么1年后，你只能学习18分钟了。

继续下去，你将在第654天，学习时间低于1分钟。

这种情况下，你基本上等于连老师好都不用喊了，退学在家了。

至于学习效率之类的，就不好评价，不容易量化。

至于很多人说的，每天坚持，这种不是次方算，而是倍数关系，比如“每天锻炼一小时,健康工作五十年,幸福生活一辈子”

爷不反对努力，爷自己也很努力。

爷看不惯的是，什么叫“比”你努力一点，什么又叫“甩”你太远。

这是一个好问题。

它好就好在，演示了大好青年们是怎么被贷款一步一步忽悠进去的

原因在于：很多人对指数增长的复利没有概念，以为日息 1.01 是一个很小的数字，其实并不是。每日 1.01 是个极为恐怖的数字。每日 1.0001 才是比较正常合理的数值。

20%的年利率，被称为高利贷，困在高利贷中的用户，我们有篇古文背过：一年借，十年还，几辈子，还不完。注意，这篇文章并没有使用夸张的修辞手法。因为 20% 的利率借十年是真的还不起，十年要还六倍以上的本金，这是一个极为恐怖的利率。而这个极为恐怖的利率只相当于每天增长多少呢？1.0005。

也就是说，每日 1.0005 增长 = 日息万分之5，是极为恐怖的，高利贷级别的高利率。

再来看，10%的年利率，这个利率被称为稳定的暴利。换句话说，如果你的投资，将盈利亏损横盘全计算在内，长期算下来的平均收益能够稳定达到每年10%，那么就是暴利，你就是巴菲特股神级别的投资者。不要被你临时的 40%，100% 收益蒙骗了，这种收益往往不可持续，你持续炒股五年十年，某一次的高收益总总会被后续的横盘摊平，长期来看你的平均收益依然很难达到10%。一般认为，你炒股不亏，已经超过了90%的股民。如果你能长期稳定达到平均年收益10%，那么你就是股神。可是股神级别的日收益是多少呢？是 1.00026。

换句话说，每日 1.00026 增长 = 日息万分之2.6，是股神级别的高收益。

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那么，常规理财级别的，每年5%收益，相当于多少的日息？相当于 日息万分之 1.3 。

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敲重点：日息万分之1.3，是正常理财收益，日息万分之2.6，是股神级别收益，日息万分之5，是高利贷级别的利率。

而题主老师用的是：1.01 = 日息万分之100，比高利贷还高了20倍。这种恐怖的增长根本不是人类能够做到的。

结论：使用指数计算没什么问题，问题是每天增长万分之100实在太可怕了。增长万分之一比较现实。也就是说。该公式中的 1.01 替换成 1.0001，1.02 替换成 1.0002 才是比较合情合理的数值。

相不相符？

那你接着算啊 怎么不接着算了？

100*1.01^(365*0)=100.0

只要一张百元钞票

100*1.01^(365*1)=3778.343433288728

100*1.01^(365*2)=142758.79099876052

100*1.01^(365*3)=5393917.405144048

坚持3年 你就有5百万了

100*1.01^(365*4)=203800724.07427788

100*1.01^(365*5)=7700291275.055359

坚持5年 你就有七十七亿了

接着算啊 怎么不接着算了？

100*1.01^(365*6)=290943449735.159

100*1.01^(365*7)=10992842727652.072

100*1.01^(365*8)=415347351331999.56

100*1.01^(365*9)=1.5693249374391266e+16

100*1.01^(365*10)=5.929448572069368e+17

坚持10年 你就有五十九亿亿了

是全球gdp的47450倍

其实没啥问题，只不过一天1%这个进步量大的过于离谱。真实世界中，要是什么东西可以长期保持每日1%的增幅，那他用不了多久就会到天文数字。

因为他这一年就翻40倍，两年就要翻1600倍，10年就要翻亿亿倍。如果有哪个银行的理财产品声称能日利率1%，那我放进去一分钱十年后估计就能买下几百个中国加美国了。

实际上，生活中一年5-10%的稳定涨幅就很大了。这基本上可以维持在十年翻一番的节奏。我国在改革开放后的GDP年涨幅就在6-8%左右，所以四十年经济总量大概翻了十几番。这听起来也没有非常离谱。银行中买的风险投资产品，能基本稳定在年利率8%的也并不少见。实际上，大概想想人的学习成长也大概在这个速度，每十年如果认真学习水平翻一番也不是太离谱。

那假如一个东西的年成长率是10%，他的平均日成长率是多少呢？大概是0.026%.

换个角度，这个题目可以变得很有意思。

直接用指数太粗暴。

每天进步1%，三年之后将达到60000个百分点，再过一年你可以积累200万点，五年之后，你可以积累近1亿个点。

好了，以上的玩笑，只是为了回应「模型跟实际相符吗?」这个问题。

当然，你的老师并不可笑，仅仅只是想要用简单粗暴的道理，给你说明努力的重要性，并不是让你来钻牛角尖的。

当然，作为知乎死磕的精神，今天这牛角尖还钻定了。

如何才能让模型和现实更加的相符呢？

有人直接用乘法，但现实是，刚开始学习时，由于知识储备少，并不简单的是乘法，的确类似于指数。但慢慢的增长变得缓慢，最后，我们逐渐接近一个天花板上限的时候，增长变得越来越缓慢。

好了，接下来，我们来引入参数：

假设：小明一开始每天学习的知识量为Q，且保证学习转化率为100%。从第二天开始，老师让小明每天多学习T=1%的知识，并且也要求小明学习转化率为100%。并且从此以后，要求小明每天都比前一天多学T=1%的知识，以此类推。

小明很努力，但由于脑力上限，小明每天学习知识的转化率开始逐渐衰减，这个衰减因子我们假设为t。t随着学习知识量的增加，且呈倍数增加，第n天的衰减因子为 。

假设小明第 天的知识新增量为 ，那么：

，

小明学习n天之后，积累知识总量：

如果小明原始积累量 ，学习衰减因素t我们给一个预估值0.03%，我们可得小明一年后的知识新增量为：

正好一年之后，小明的单日积累达到了巅峰，再往后学习积累开始下降。

小明运气有一些不好，遇到了一个变态老师，让小明一直这样学习下去。

于是两年之后：

小明的知识总量达到23倍左右的时候，再也不增长了。

为什么不增长了？

因为小明的脑子已经废掉了！

从一年前单日学习新增达到巅峰之后，小明的大脑就已经超负荷工作，接下来的一年时间单日新增不停下降，小明或许出现了严重的精神疾病（例如重度抑郁症）。一年之后，人要么已经丧失了学习能力，要么已经崩溃掉了。

你觉得这样对小明太不公平了？

那好，我们来给小明减负。

这一次我们按照一个月来计算，小明每一个月被要求学习知识增量30%。

我们给小明减负1/3，同时小明的学习衰退因子给个预估值0.2%。

减负之后，两年的时间，小明的知识积累量为原来的2.4倍，明显合理了很多。

但小明不甘心啊，之前他两年时间可以学习23倍的知识量。

但我也得告诉小明，之前你可能已经学挂掉了，两年之后不会再获得任何的知识量。

生命不易，且行且珍惜。

减负之后，良性循环，随着不断地学习，你获得的知识量还会不停地积累：

等到小明小学毕业的时候，知识积累量已经达到原来的37倍，大大高于之前学死的23倍。

那么，妈妈觉得小明太辛苦，私下给他再度减负（或者小明偷懒），降低了他一半的学习量呢：

那么小明整个小学的知识积累量只有7.5，只有之前的20%，大大小于原来50%的知识积累。

所以，对于孩子学习来说，必须得有一个度。

当这个程度合适的时候，孩子的知识积累，会在早期的时候有一个指数增长的阶段。但当知识积累足够大的时候，增长开始接近一次函数。到达后期的时候，知识积累会逐渐接近天花板。

所以，我告诉小明：

当你知识储备少的时候， 保持每天1%的学习增长是可以做到的。

但随着你的知识储备量的增加，学习增长再难保持指数增长，如果想要强迫保持指数增长只会用坏脑子。学习中期，知识量不多不少，比较均衡的时候，知识会保持一段时间匀速增长。

但当知识增长量逐渐接近天花板的时候，你积累知识的速度又再次开始下降。

如果你只是普通大众，天花板极有可能是学习到专业后期（例如拓扑物理、纯数领域），因为学习难度所造成的。当然，如果你百年难得的人才，也可能是你达到诸如陈景润、杨振宁那样的地步，受限于这个时代的知识天花板。

希望我给出的模型，能给你解惑。

摩尔定律表示，CPU的性能要18个月才能翻一倍，而这个公式算出来一年就能翻36倍。这要是真的，老师按照您的教龄，现在应该在给瓦肯星人教学了，怎么还在地球？