如何用经济学知识讨价还价？ 第1页

发现知乎上介绍 bargaining model 的内容还不多，我来贡献一个吧。就讲一个最基础的谈判模型——Rubinstein game（1982）。希望抛砖引玉。

首先，我们设定一下模型。

有两个谈判者，A 和 B，他们在分一块钱。记录一下时间，谈判从第0期开始，然后时间以1，2，3……这样的方式推进。在第0期，A 提出一个分配方案，如果 B 接受，谈判结束；如果 B 拒绝，谈判进入第1期。此时，B 提出一个新的分配方案，同样地，A 可以接受也可以拒绝。一旦拒绝，则再次轮到 A 提议。这样的谈判一直持续进行，直到双方都接受为止。上述过程即alternating-offer protocol。

由于谈判是一个劳心劳力的过程，双方都想尽早结束。假设每延迟一期达成协议，他们的 payoff 就会被 discount 一次。假设在第 t 期，A 提出的方案 被 B 接受了，谈判结束，于是，两人分别获得 和 。其中， 和 分别是 A 和 B 的 discount rate。

模型这就算设定好啦，我们现在用 back induction 和 one-step deviation principle 的方法来找它的均衡。由于这是一个 sequential game，所以我们采用 subgame perfect equilibrium （SPE）的概念来定义均衡。

假设 A 作为 proposor 提出的方案是 ，B 拒绝 A 然后提出的新方案是 。我们现在站在 B 的角度看他要不要接受 A 的方案。

如果接受，B 得到 ；如果拒绝，B 得到 。因为他得再等一期，所以在这里加入了一个discount factor。

于是我们给出第一个 indifference condition：当时，B 没有 deviate 的动机。

现在，站在 A 的角度考虑，他该给 B 分多少，才不会被拒绝呢？假设在这场谈判中，所有信息都是公开的。A 知道拖在第 1 期自己会分到 ，这等价于在第 0 期得到 。于是，A 就会按照 的规则来提议。这样一来，A 也没有 deviate 的动机。

联立这两个 indifference condition，我们就可以解出均衡来了：。

好啦，计算部分结束，SEP 可以被如下给出：不管什么时候，轮到 A 提议，他就提议 ， 此时，B 选择接受。不管什么时候，轮到 B 提议，他就提议 ，其中，。

类似地，我们可以证明，这个 SPE 是唯一的。

如果该 SPE 不是唯一的，我们假设 A 能够实现的 payoff 有好多，其中，最小的是 ，最大的是 。如果 B 打算给 A 分 ， A 肯定会接受，否则，轮到自己提议，最多也就得到这个数。事实上，只要 B 提出的不少于，A 都会接受。于是，B 知道自己最少能够拿到，最多能分到。

刚才是 A 先给出自己的取值范围，我们据此判断 B 的取值范围在哪里。现在，B 的取值范围知道了 ，我们不妨再进行一次这样的过程，去看看 A 的取值范围需要满足什么条件。其实这就是找不动点的过程。

结果是，A 的取值范围为 和 。

等价于：。

因为是最小值，是最大值，因此，两个不等号只能取等。

证毕。

最后，我们谈一谈模型给我们的启示。

1，正相关于自己的 discount rate，负相关于对方的 discount rate。因此，越有耐心的人，bargaining power 越强。这也告诉我们，在谈判中，我们要尽量让对方高估自己的时间偏好。

2，为了简便记号，不妨假设。模型告诉我们，第一个提议的人能分到 ，第二个人分到。换言之，这里存在先手优势。当然，随着双方耐心程度的增加，或谈判的人数增加，或者采用其他 protocol，先手优势会慢慢衰减。比如，有三个人加入谈判，就有可能引入
hold up （待价而沽）的问题，这时候，后手优势就有可能出现了。这个结论可以用来反驳 为什么说谈判当中谁先报价谁先死？

3，在这个最基础的 Rubinstein bargaining 模型里，我们的得到的结果是有效率的，大家会在最短的时间里达成协议，不存在延迟接受（delay）的问题。但如果有人 hold up，这就不一定了。而且，Rubinstein game 里面也没有僵局的危险。这些都帮助我们得到一个简单明了的出发点。

研究 Rubinstein model 最大的意义，不在于去讨论它的设定是否完全符合现实。而在于现实中更复杂的谈判往往可以被拆解为 Rubinstein model 的复合版或变体。作为一个起点，它为我们的深入探索提供了简化的工具。