经济学理论模型在设计函数形式时应该注意哪些问题？ 第1页

谢谢

的邀请。

经济学的的函数形式，以及函数性质，刚刚读文献的时候都会觉得很神秘，我也觉得——怎么他们就知道把函数设置成这个样子呢？

后来多看文献，自己也写了一些，温水煮青蛙被煮熟了，倒也不觉其异。其实主要是就是两点：

• 现实中的原因，如果随便代入几个数字进去就有一个荒谬的结果，那是会被人攻击的，所以至少要有一部分是贴合现实，这个函数性质的方方面面，在你所研究的这个问题上“看上去像那么回事”。
• 数学上的原因，一般这个称之为技术假设，目的是为了让模型能够被算出来。能算出来解析解当然最好，实在不行也要能描述出几个特性出来。

就拿你举的例子来说： 来说，如果这是一个利润函数，里面的x y z应该都是某种输入，p是价格，然后f是个净产出。如果你把其中一个参数，比如 设定成大于1的，当然不是不可以，但是这意味着函数是x的凸函数，二阶导数大于0.。对x的投入越多越好，比如你往一群程序猿中间投一个妹子做鼓励师，效率加成为10%，投两个可能加成是30%，投三个加成为80%，投N个… 什么Windows， OSX都是一天写完加调试加debug^_^ 在很小的规模内或许是可行的，但是这个边际生产率递增，显然和我们在现实中的观察不一致的。

数学上说，一个凸函数，只有极小值，没有极大值，而经济学的收益最大化需要我们求极大值，怎么求呢？这个时候问题就变得很没趣，只要我们不断的投入x，这个函数给我们创造的产出会越来越多，根本不存在一个最优的组合。这个数学上没有问题，就说到无穷远就好了，但是这个问题有什么意义呢？最后得出的结论就是企业应该不断的扩大扩大x的投入，然后生产出无穷多的产品。

除非x的价格可变，也是买越多，价格越贵，比如说, 这样的话，函数又凹回去了, 又可以求最大值了。

有些套路是约定俗成的，当大家都知道怎么回事的时候，用起来几乎不需要解释，不需要刻意的justify，所以越来越多的人会采用相似的设定。比如你例子中的柯布-道格拉斯函数就是一例，审稿人除非有特别的理由，一般不会去质疑你为什么用这个形式。再比如当effort是线性的时候，effort成本往往就设成二次方，这样求导的时候，正好能得出一个漂亮的解析解... 这都是很直观的技术假设。

再举一个稍微复杂一点的例子：

委托代理问题经常会要求 Inverse Hazard Rate 随着代理人的类型单调。开始接触的时候可能会觉得不知所以，但是如果你真的去解那个动态优化问题，就会发现如果这个东西不单调，就无法保证代理人的产出随着代理人类型的不同而单调变化，从而无法保证你求的解是全局最优的。有两种可能，第一你可能需要分情况讨论不单调的时候是什么产出水平（Bunching），这样还算好的，因为只是麻烦了一点，还能得出有意义的结论；第二就是可能会导致整个模型不tractable，得不出一个漂亮的结论来说些什么，那么这个时候建模的意义又何在呢？

一切都是套路，多看看就好了，看得多了，自己也就有自己的套路了。

还有就是，学点latex写写公式还是挺方便的:-)