在控制、自动化领域，用到的最高深最先进的数学理论工具是什么？控制是否是工科里用到数学最多最深的领域？ 第1页

经典控制理论：

首先是拉普拉斯变换。

在s域内，就有了传递函数。

为了分析控制系统，就会引入计算零极点，画根轨迹图。

在用频率响应法分析系统的时候，就会引入波特图和奈奎斯特图，波特图和奈奎斯特图用到的是复变函数的理论。

为了设计自动控制系统，就要引入各种校正装置，但背后还是复变的理论支持。

到了离散系统，就要用到采样定理和z变换，此时的传递函数就是脉冲传递函数了。

现代控制理论：

矩阵论，线性代数是最重要的基础，没有它们，就没有状态空间模型。

传统的传递函数只能处理单输入单输出的情况，而且只看输入输出，相较于现代控制理论的状态的视角，其实是丢失了不少信息的。

为了分析线性动态系统，就会引入矩阵指数、状态转移矩阵、状态响应、输出响应。

分析系统稳定性的时候，引入李雅普诺夫分析方法，构造李雅普诺夫函数，用到二次型的知识。

对系统的能控性和能观性的许多分析与判据，都要涉及到矩阵论的知识，比如能控性矩阵满秩说明系统能控。

对于线性反馈系统的综合，就要引入状态反馈，但本质上还是矩阵论的东西，不过是引入怎样的状态反馈，来进行负反馈调节。

模型预测控制（MPC）：

离散时间的线性系统，引入许多分析性指标stability, reachability, PBH test。

有限时间最优控制，线性二次型最优控制

用动态规划的思想设计控制器

在状态更新或者观测的时候如果有disturbance，就要引入Kalman Filter的方法。

引入finite horizon 和 infinite horizon的问题，控制器的设计涉及到LQR，然后扩展LQR，可以考虑状态或输入的限制，需要设计权重矩阵，这也是MPC控制器调参的重要内容。

非线性控制（Nonlinear Control）：

首先是基于线性化的方法，这里要引入equilibrium point的概念，会有许多稳定性的定义，比如稳定，渐近稳定，指数稳定。然后，引入状态反馈、增益设计等方法。

然后，会讲到李雅普诺夫稳定，吸引域（Region of Attraction），这里的数学支撑是拉萨尔不变集原理，基于此，就有非线性控制中的重要方法了：反步法（Backstepping）。

再次考虑输入输出的关系，会有描述函数法。

还有一些advanced的非线性控制的方法，比如滑模控制，状态观测，基于观测器的输出反馈，跟踪。

强化学习：

这一部分自己也正在学习中，textbook是看的Dimitri P. Bertsekas的REINFORCEMENT LEARNING AND OPTIMAL CONTROL

想办法做值空间或策略空间近似：MPC就是将J star直接看做零；用神经网络来近似J star，得到的就是深度强化学习；Rollout方法也是试图近似J star得到J tilde。

除此之外，在控制人眼里看来，强化学习中的学习就是解决一个动态规划问题但不用explicit的数学模型。学习到了一个模型，就是系统辨识（System identification）之意。

更新：一张控制世界的地图，值得好好把玩