你如何记忆∫sinⁿxdx、∫cosⁿxdx、∫tanⁿxdx 的递推公式？
好的，我们来详细讲解如何记忆 ∫sinⁿxdx、∫cosⁿxdx、∫tanⁿxdx 的递推公式。这三组公式非常重要，而且它们之间存在很强的相似性，理解了其中一个的推导思路，其他两个也会迎刃而解。
核心思想：降幂
所有这些递推公式的核心思想都是通过积分的技巧，将求解高次幂的积分转化为求解低次幂的积分，直到达到一个我们知道如何直接计算的基准情况（通常是 n=0 或 n=1）。
我们将逐一讲解它们的推导和记忆方法。
1. ∫sinⁿxdx 的递推公式
递推公式：
当 n ≥ 2 时：
∫sinⁿxdx = (1/n)sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)/n ∫sinⁿ⁻²xdx
推导思路（关键：分部积分法 + 降幂技巧）
1. 分部积分法 (Integration by Parts):
分部积分法的公式是 ∫u dv = uv ∫v du。
我们需要巧妙地将 sinⁿx 分解成 u 和 dv 的形式。最常见的技巧是将 sinⁿx 写成 sinⁿ⁻¹x sin x。
令 u = sinⁿ⁻¹x
令 dv = sin x dx
2. 计算 du 和 v:
du = d(sinⁿ⁻¹x) = (n1)sinⁿ⁻²x (sin x)' dx = (n1)sinⁿ⁻²x cos x dx
v = ∫sin x dx = cos x
3. 套用分部积分公式:
∫sinⁿxdx = ∫u dv = uv ∫v du
∫sinⁿxdx = (sinⁿ⁻¹x)(cos x) ∫(cos x)[(n1)sinⁿ⁻²x cos x]dx
∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²x cos²x dx
4. 降幂技巧（利用三角恒等式）：
现在我们遇到了 ∫sinⁿ⁻²x cos²x dx。这里的 cos²x 是一个需要被处理的关键项。我们知道 cos²x = 1 sin²x。将这个代入：
∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²x (1 sin²x) dx
∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫(sinⁿ⁻²x sinⁿx) dx
5. 分离积分项：
将积分项展开：
∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²xdx (n1)∫sinⁿxdx
6. 移项合并同类项：
现在，我们将包含 ∫sinⁿxdx 的项移到等式的左边：
∫sinⁿxdx + (n1)∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²xdx
[1 + (n1)]∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²xdx
n ∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²xdx
7. 最终递推公式：
将等式两边同时除以 n：
∫sinⁿxdx = (1/n)sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)/n ∫sinⁿ⁻²xdx
如何记忆这个公式？
1. 结构记忆：
公式形式：`∫sinⁿxdx = [某带x的项] + [系数 ∫sinⁿ⁻²xdx]`
第一项的系数是 `1/n`，并且是 `sin` 的 `n1` 次幂乘以 `cos`。
第二项的系数是 `(n1)/n`，积分部分是降了两次幂的 `sin`。
2. 关键点记忆：
系数 `1/n` 和 `(n1)/n`: 这是最容易出错的地方。记住它是 `sin` 函数降幂的固定系数。
第一项的 `sinⁿ⁻¹x cos x`: 这个项来自于分部积分的 `uv` 部分，是 `sin` 的 `n1` 次幂乘以 `cos`。`cos` 的出现是因为我们把 `sin x dx` 设为了 `dv`，它的积分是 `cos x`。
递推是降两次幂 `sinⁿ⁻²x`: 这是核心技巧，`cos²x = 1 sin²x` 转换导致了这一点。
3. 通过推导过程加深理解：
如果你能回忆起分部积分和 `cos²x = 1 sin²x` 的运用，你就很容易重构出这个公式。
基准情况：
当 n = 0: ∫sin⁰x dx = ∫1 dx = x + C
当 n = 1: ∫sin¹x dx = cos x + C
示例：
计算 ∫sin³x dx：
使用递推公式，n=3：
∫sin³x dx = (1/3)sin²x cos x + (2/3)∫sin¹x dx
∫sin³x dx = (1/3)sin²x cos x + (2/3)(cos x) + C
∫sin³x dx = (1/3)sin²x cos x (2/3)cos x + C
2. ∫cosⁿxdx 的递推公式
递推公式：
当 n ≥ 2 时：
∫cosⁿxdx = (1/n)cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)/n ∫cosⁿ⁻²xdx
推导思路（与 ∫sinⁿxdx 非常相似）
1. 分部积分法:
令 u = cosⁿ⁻¹x
令 dv = cos x dx
2. 计算 du 和 v:
du = d(cosⁿ⁻¹x) = (n1)cosⁿ⁻²x (cos x)' dx = (n1)cosⁿ⁻²x (sin x) dx = (n1)cosⁿ⁻²x sin x dx
v = ∫cos x dx = sin x
3. 套用分部积分公式:
∫cosⁿxdx = uv ∫v du
∫cosⁿxdx = (cosⁿ⁻¹x)(sin x) ∫(sin x)[(n1)cosⁿ⁻²x sin x]dx
∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²x sin²x dx
4. 降幂技巧（利用三角恒等式）：
现在我们遇到了 ∫cosⁿ⁻²x sin²x dx。我们知道 sin²x = 1 cos²x。将这个代入：
∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²x (1 cos²x) dx
∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫(cosⁿ⁻²x cosⁿx) dx
5. 分离积分项：
∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²xdx (n1)∫cosⁿxdx
6. 移项合并同类项：
∫cosⁿxdx + (n1)∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²xdx
n ∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²xdx
7. 最终递推公式：
∫cosⁿxdx = (1/n)cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)/n ∫cosⁿ⁻²xdx
如何记忆这个公式？
1. 与 ∫sinⁿxdx 对比记忆：
符号变化： 主要区别在于第一项的符号，∫sinⁿxdx 是 ``，而 ∫cosⁿxdx 是 `+`。这是因为 `sin x dx` 的积分是 `cos x`，而 `cos x dx` 的积分是 `sin x`。
三角函数互换： 在第一项 `uv` 中，sin 的公式是 `sinⁿ⁻¹x cos x`，而 cos 的公式是 `cosⁿ⁻¹x sin x`。它们是相互“对调”了。
系数和降幂相同： `1/n`, `(n1)/n`, 以及降两次幂 `n2` 的部分是完全一样的。
2. 关键点记忆：
系数 `+1/n` 和 `(n1)/n`: 注意到这里的 `1/n` 是正的。
第一项的 `cosⁿ⁻¹x sin x`: 这来自于 `u=cosⁿ⁻¹x` 和 `v=sin x` 的 `uv` 部分。
递推是降两次幂 `cosⁿ⁻²x`: 同样是因为 `sin²x = 1 cos²x` 的转换。
基准情况：
当 n = 0: ∫cos⁰x dx = ∫1 dx = x + C
当 n = 1: ∫cos¹x dx = sin x + C
示例：
计算 ∫cos³x dx：
使用递推公式，n=3：
∫cos³x dx = (1/3)cos²x sin x + (2/3)∫cos¹x dx
∫cos³x dx = (1/3)cos²x sin x + (2/3)sin x + C
3. ∫tanⁿxdx 的递推公式
递推公式：
当 n ≥ 2 时：
∫tanⁿxdx = [tanⁿ⁻¹x / (n1)] ∫tanⁿ⁻²xdx
推导思路（关键：降幂技巧 + 导数关系）
1. 降幂技巧（利用三角恒等式）：
我们将 tanⁿx 写成 tanⁿ⁻²x tan²x。然后利用恒等式 tan²x = sec²x 1。
∫tanⁿxdx = ∫tanⁿ⁻²x tan²x dx
∫tanⁿxdx = ∫tanⁿ⁻²x (sec²x 1) dx
2. 分离积分项：
∫tanⁿxdx = ∫tanⁿ⁻²x sec²x dx ∫tanⁿ⁻²x dx
3. 处理第一个积分项 ∫tanⁿ⁻²x sec²x dx：
观察这个积分，我们发现 `sec²x` 是 `tan x` 的导数。这是一个非常有利的条件，我们可以使用 usubstitution (换元积分法)。
令 u = tan x
则 du = sec²x dx
所以，∫tanⁿ⁻²x sec²x dx = ∫uⁿ⁻² du
这个积分的结果是： uⁿ⁻¹ / (n1) = tanⁿ⁻¹x / (n1) （当 n2 ≠ 1，即 n ≠ 1 时）。
4. 代回原式：
将 ∫tanⁿ⁻²x sec²x dx 的结果代回步骤 2 的式子中：
∫tanⁿxdx = [tanⁿ⁻¹x / (n1)] ∫tanⁿ⁻²x dx
这就是递推公式。
如何记忆这个公式？
1. 结构记忆：
公式形式：`∫tanⁿxdx = [某带x的项] [系数 ∫tanⁿ⁻²xdx]`
第一项是 `tan` 的 `n1` 次幂除以 `n1`。
第二项是降两次幂的 `tan` 的积分，前面有一个负号。
2. 关键点记忆：
第一项的 `tanⁿ⁻¹x / (n1)`: 这个是 ∫tanⁿ⁻²x sec²x dx 的结果，利用了 `tan x` 和 `sec²x` 的导数关系。分母是 `n1`。
负号 ``: 这是从 `tan²x = sec²x 1` 中带来的，因为我们减去了 `tanⁿ⁻²x`。
递推是降两次幂 `tanⁿ⁻²x`: 这是核心技巧，`tan²x = sec²x 1` 转换导致了这一点。
基准情况：
当 n = 0: ∫tan⁰x dx = ∫1 dx = x + C
当 n = 1: ∫tan¹x dx = ∫tan x dx = ∫(sin x / cos x) dx = ln|cos x| + C = ln|sec x| + C
注意：递推公式是针对 n ≥ 2 推导的，但它也可以用来计算 n=0, n=1 的情况（如果代入 n=2）。
对于 n=2: ∫tan²x dx = tan¹x / (21) ∫tan⁰x dx = tan x x + C (这是正确的)
示例：
计算 ∫tan³x dx：
使用递推公式，n=3：
∫tan³x dx = tan²x / (31) ∫tan¹x dx
∫tan³x dx = (1/2)tan²x ∫tan x dx
∫tan³x dx = (1/2)tan²x (ln|cos x|) + C
∫tan³x dx = (1/2)tan²x + ln|cos x| + C
总结与记忆技巧汇总
| 函数 | 递推公式 | 推导核心 | 记忆要点 |
| : | : | : | : |
| sinⁿx | ∫sinⁿxdx = (1/n)sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)/n ∫sinⁿ⁻²xdx | 分部积分 (u=sinⁿ⁻¹x, dv=sin x dx) + cos²x = 1 sin²x | `1/n` 前缀，`sinⁿ⁻¹x cos x` 第一项，递推降2幂。sin和cos的积分符号影响第一项的符号。 |
| cosⁿx | ∫cosⁿxdx = (1/n)cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)/n ∫cosⁿ⁻²xdx | 分部积分 (u=cosⁿ⁻¹x, dv=cos x dx) + sin²x = 1 cos²x | `+1/n` 前缀，`cosⁿ⁻¹x sin x` 第一项，递推降2幂。cos和sin的积分符号影响第一项的符号。与sin公式相比，第一项符号变正，三角函数对调。 |
| tanⁿx | ∫tanⁿxdx = tanⁿ⁻¹x / (n1) ∫tanⁿ⁻²xdx | tan²x = sec²x 1 + 换元积分 (u=tan x, du=sec²x dx) | `tanⁿ⁻¹x / (n1)` 第一项，递推降2幂，前面是负号。注意分母是 `n1`，且没有 `sin` 或 `cos` 的乘积项，这得益于 `sec²x` 是 `tan x` 的导数。 |
通用记忆法：
1. 看结构: 都是 `[某项带x] +/[–] [系数 ∫原函数降两幂]`
2. 看第一项:
sin/cos: `(1/n)` 或 `(1/n)` 乘 `原函数降一次幂` 乘 `另一三角函数`。
tan: `原函数降一次幂 / (n1)`。
3. 看降幂: 都是降两次幂。
4. 看系数:
sin/cos: `1/n` 和 `(n1)/n`。
tan: `1` 和 `1` （当看成 `1 tanⁿ⁻¹x / (n1) 1 ∫tanⁿ⁻²xdx` 时，第一个积分的系数是 1）。
5. 核心推导技巧： 记住 sin/cos 是分部积分 + 互余恒等式，tan 是平方恒等式 + u代换。
希望这些详细的推导和记忆方法能帮助你牢固掌握这些重要的递推公式！ 多练习几道例题，你会发现它们越来越容易掌握。
核心思想：降幂
所有这些递推公式的核心思想都是通过积分的技巧，将求解高次幂的积分转化为求解低次幂的积分，直到达到一个我们知道如何直接计算的基准情况（通常是 n=0 或 n=1）。
我们将逐一讲解它们的推导和记忆方法。
1. ∫sinⁿxdx 的递推公式
递推公式：
当 n ≥ 2 时：
∫sinⁿxdx = (1/n)sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)/n ∫sinⁿ⁻²xdx
推导思路（关键：分部积分法 + 降幂技巧）
1. 分部积分法 (Integration by Parts):
分部积分法的公式是 ∫u dv = uv ∫v du。
我们需要巧妙地将 sinⁿx 分解成 u 和 dv 的形式。最常见的技巧是将 sinⁿx 写成 sinⁿ⁻¹x sin x。
令 u = sinⁿ⁻¹x
令 dv = sin x dx
2. 计算 du 和 v:
du = d(sinⁿ⁻¹x) = (n1)sinⁿ⁻²x (sin x)' dx = (n1)sinⁿ⁻²x cos x dx
v = ∫sin x dx = cos x
3. 套用分部积分公式:
∫sinⁿxdx = ∫u dv = uv ∫v du
∫sinⁿxdx = (sinⁿ⁻¹x)(cos x) ∫(cos x)[(n1)sinⁿ⁻²x cos x]dx
∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²x cos²x dx
4. 降幂技巧（利用三角恒等式）：
现在我们遇到了 ∫sinⁿ⁻²x cos²x dx。这里的 cos²x 是一个需要被处理的关键项。我们知道 cos²x = 1 sin²x。将这个代入：
∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²x (1 sin²x) dx
∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫(sinⁿ⁻²x sinⁿx) dx
5. 分离积分项：
将积分项展开：
∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²xdx (n1)∫sinⁿxdx
6. 移项合并同类项：
现在，我们将包含 ∫sinⁿxdx 的项移到等式的左边：
∫sinⁿxdx + (n1)∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²xdx
[1 + (n1)]∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²xdx
n ∫sinⁿxdx = sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)∫sinⁿ⁻²xdx
7. 最终递推公式：
将等式两边同时除以 n：
∫sinⁿxdx = (1/n)sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)/n ∫sinⁿ⁻²xdx
如何记忆这个公式？
1. 结构记忆：
公式形式：`∫sinⁿxdx = [某带x的项] + [系数 ∫sinⁿ⁻²xdx]`
第一项的系数是 `1/n`，并且是 `sin` 的 `n1` 次幂乘以 `cos`。
第二项的系数是 `(n1)/n`，积分部分是降了两次幂的 `sin`。
2. 关键点记忆：
系数 `1/n` 和 `(n1)/n`: 这是最容易出错的地方。记住它是 `sin` 函数降幂的固定系数。
第一项的 `sinⁿ⁻¹x cos x`: 这个项来自于分部积分的 `uv` 部分，是 `sin` 的 `n1` 次幂乘以 `cos`。`cos` 的出现是因为我们把 `sin x dx` 设为了 `dv`，它的积分是 `cos x`。
递推是降两次幂 `sinⁿ⁻²x`: 这是核心技巧，`cos²x = 1 sin²x` 转换导致了这一点。
3. 通过推导过程加深理解：
如果你能回忆起分部积分和 `cos²x = 1 sin²x` 的运用，你就很容易重构出这个公式。
基准情况：
当 n = 0: ∫sin⁰x dx = ∫1 dx = x + C
当 n = 1: ∫sin¹x dx = cos x + C
示例：
计算 ∫sin³x dx：
使用递推公式，n=3：
∫sin³x dx = (1/3)sin²x cos x + (2/3)∫sin¹x dx
∫sin³x dx = (1/3)sin²x cos x + (2/3)(cos x) + C
∫sin³x dx = (1/3)sin²x cos x (2/3)cos x + C
2. ∫cosⁿxdx 的递推公式
递推公式：
当 n ≥ 2 时：
∫cosⁿxdx = (1/n)cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)/n ∫cosⁿ⁻²xdx
推导思路（与 ∫sinⁿxdx 非常相似）
1. 分部积分法:
令 u = cosⁿ⁻¹x
令 dv = cos x dx
2. 计算 du 和 v:
du = d(cosⁿ⁻¹x) = (n1)cosⁿ⁻²x (cos x)' dx = (n1)cosⁿ⁻²x (sin x) dx = (n1)cosⁿ⁻²x sin x dx
v = ∫cos x dx = sin x
3. 套用分部积分公式:
∫cosⁿxdx = uv ∫v du
∫cosⁿxdx = (cosⁿ⁻¹x)(sin x) ∫(sin x)[(n1)cosⁿ⁻²x sin x]dx
∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²x sin²x dx
4. 降幂技巧（利用三角恒等式）：
现在我们遇到了 ∫cosⁿ⁻²x sin²x dx。我们知道 sin²x = 1 cos²x。将这个代入：
∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²x (1 cos²x) dx
∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫(cosⁿ⁻²x cosⁿx) dx
5. 分离积分项：
∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²xdx (n1)∫cosⁿxdx
6. 移项合并同类项：
∫cosⁿxdx + (n1)∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²xdx
n ∫cosⁿxdx = cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)∫cosⁿ⁻²xdx
7. 最终递推公式：
∫cosⁿxdx = (1/n)cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)/n ∫cosⁿ⁻²xdx
如何记忆这个公式？
1. 与 ∫sinⁿxdx 对比记忆：
符号变化： 主要区别在于第一项的符号，∫sinⁿxdx 是 ``，而 ∫cosⁿxdx 是 `+`。这是因为 `sin x dx` 的积分是 `cos x`，而 `cos x dx` 的积分是 `sin x`。
三角函数互换： 在第一项 `uv` 中，sin 的公式是 `sinⁿ⁻¹x cos x`，而 cos 的公式是 `cosⁿ⁻¹x sin x`。它们是相互“对调”了。
系数和降幂相同： `1/n`, `(n1)/n`, 以及降两次幂 `n2` 的部分是完全一样的。
2. 关键点记忆：
系数 `+1/n` 和 `(n1)/n`: 注意到这里的 `1/n` 是正的。
第一项的 `cosⁿ⁻¹x sin x`: 这来自于 `u=cosⁿ⁻¹x` 和 `v=sin x` 的 `uv` 部分。
递推是降两次幂 `cosⁿ⁻²x`: 同样是因为 `sin²x = 1 cos²x` 的转换。
基准情况：
当 n = 0: ∫cos⁰x dx = ∫1 dx = x + C
当 n = 1: ∫cos¹x dx = sin x + C
示例：
计算 ∫cos³x dx：
使用递推公式，n=3：
∫cos³x dx = (1/3)cos²x sin x + (2/3)∫cos¹x dx
∫cos³x dx = (1/3)cos²x sin x + (2/3)sin x + C
3. ∫tanⁿxdx 的递推公式
递推公式：
当 n ≥ 2 时：
∫tanⁿxdx = [tanⁿ⁻¹x / (n1)] ∫tanⁿ⁻²xdx
推导思路（关键：降幂技巧 + 导数关系）
1. 降幂技巧（利用三角恒等式）：
我们将 tanⁿx 写成 tanⁿ⁻²x tan²x。然后利用恒等式 tan²x = sec²x 1。
∫tanⁿxdx = ∫tanⁿ⁻²x tan²x dx
∫tanⁿxdx = ∫tanⁿ⁻²x (sec²x 1) dx
2. 分离积分项：
∫tanⁿxdx = ∫tanⁿ⁻²x sec²x dx ∫tanⁿ⁻²x dx
3. 处理第一个积分项 ∫tanⁿ⁻²x sec²x dx：
观察这个积分，我们发现 `sec²x` 是 `tan x` 的导数。这是一个非常有利的条件，我们可以使用 usubstitution (换元积分法)。
令 u = tan x
则 du = sec²x dx
所以，∫tanⁿ⁻²x sec²x dx = ∫uⁿ⁻² du
这个积分的结果是： uⁿ⁻¹ / (n1) = tanⁿ⁻¹x / (n1) （当 n2 ≠ 1，即 n ≠ 1 时）。
4. 代回原式：
将 ∫tanⁿ⁻²x sec²x dx 的结果代回步骤 2 的式子中：
∫tanⁿxdx = [tanⁿ⁻¹x / (n1)] ∫tanⁿ⁻²x dx
这就是递推公式。
如何记忆这个公式？
1. 结构记忆：
公式形式：`∫tanⁿxdx = [某带x的项] [系数 ∫tanⁿ⁻²xdx]`
第一项是 `tan` 的 `n1` 次幂除以 `n1`。
第二项是降两次幂的 `tan` 的积分，前面有一个负号。
2. 关键点记忆：
第一项的 `tanⁿ⁻¹x / (n1)`: 这个是 ∫tanⁿ⁻²x sec²x dx 的结果，利用了 `tan x` 和 `sec²x` 的导数关系。分母是 `n1`。
负号 ``: 这是从 `tan²x = sec²x 1` 中带来的，因为我们减去了 `tanⁿ⁻²x`。
递推是降两次幂 `tanⁿ⁻²x`: 这是核心技巧，`tan²x = sec²x 1` 转换导致了这一点。
基准情况：
当 n = 0: ∫tan⁰x dx = ∫1 dx = x + C
当 n = 1: ∫tan¹x dx = ∫tan x dx = ∫(sin x / cos x) dx = ln|cos x| + C = ln|sec x| + C
注意：递推公式是针对 n ≥ 2 推导的，但它也可以用来计算 n=0, n=1 的情况（如果代入 n=2）。
对于 n=2: ∫tan²x dx = tan¹x / (21) ∫tan⁰x dx = tan x x + C (这是正确的)
示例：
计算 ∫tan³x dx：
使用递推公式，n=3：
∫tan³x dx = tan²x / (31) ∫tan¹x dx
∫tan³x dx = (1/2)tan²x ∫tan x dx
∫tan³x dx = (1/2)tan²x (ln|cos x|) + C
∫tan³x dx = (1/2)tan²x + ln|cos x| + C
总结与记忆技巧汇总
| 函数 | 递推公式 | 推导核心 | 记忆要点 |
| : | : | : | : |
| sinⁿx | ∫sinⁿxdx = (1/n)sinⁿ⁻¹x cos x + (n1)/n ∫sinⁿ⁻²xdx | 分部积分 (u=sinⁿ⁻¹x, dv=sin x dx) + cos²x = 1 sin²x | `1/n` 前缀，`sinⁿ⁻¹x cos x` 第一项，递推降2幂。sin和cos的积分符号影响第一项的符号。 |
| cosⁿx | ∫cosⁿxdx = (1/n)cosⁿ⁻¹x sin x + (n1)/n ∫cosⁿ⁻²xdx | 分部积分 (u=cosⁿ⁻¹x, dv=cos x dx) + sin²x = 1 cos²x | `+1/n` 前缀，`cosⁿ⁻¹x sin x` 第一项，递推降2幂。cos和sin的积分符号影响第一项的符号。与sin公式相比，第一项符号变正，三角函数对调。 |
| tanⁿx | ∫tanⁿxdx = tanⁿ⁻¹x / (n1) ∫tanⁿ⁻²xdx | tan²x = sec²x 1 + 换元积分 (u=tan x, du=sec²x dx) | `tanⁿ⁻¹x / (n1)` 第一项，递推降2幂，前面是负号。注意分母是 `n1`，且没有 `sin` 或 `cos` 的乘积项，这得益于 `sec²x` 是 `tan x` 的导数。 |
通用记忆法：
1. 看结构: 都是 `[某项带x] +/[–] [系数 ∫原函数降两幂]`
2. 看第一项:
sin/cos: `(1/n)` 或 `(1/n)` 乘 `原函数降一次幂` 乘 `另一三角函数`。
tan: `原函数降一次幂 / (n1)`。
3. 看降幂: 都是降两次幂。
4. 看系数:
sin/cos: `1/n` 和 `(n1)/n`。
tan: `1` 和 `1` （当看成 `1 tanⁿ⁻¹x / (n1) 1 ∫tanⁿ⁻²xdx` 时，第一个积分的系数是 1）。
5. 核心推导技巧： 记住 sin/cos 是分部积分 + 互余恒等式，tan 是平方恒等式 + u代换。
希望这些详细的推导和记忆方法能帮助你牢固掌握这些重要的递推公式！ 多练习几道例题，你会发现它们越来越容易掌握。
网友意见
我写点题外话……
通项公式
由棣莫弗公式：
由二项式定理：
两式相减得：
实际上这个公式并没有如此多的项（至少有一半是多余的），我们在等号两边分别同时取实部、虚部就可以化简了——
- 当 为偶数时且 ，我们关于上式两边取实部：
- 当 为奇数时且 ，我们关于上式两边取虚部：
如此得到通项公式。
积分公式
类似的话题
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好的，我们来详细讲解如何记忆 ∫sinⁿxdx、∫cosⁿxdx、∫tanⁿxdx 的递推公式。这三组公式非常重要，而且它们之间存在很强的相似性，理解了其中一个的推导思路，其他两个也会迎刃而解。核心思想：降幂所有这些递推公式的核心思想都是通过积分的技巧，将求解高次幂的积分转化为求解低次幂的积分，直到............. -
许留山，这个名字，在多少个炎炎夏日里，化作了一抹清凉，又在多少个闲适午后，点缀了一丝甜蜜。如今听到它“面临倒闭”的消息，心里确实五味杂陈，有种老朋友即将远行的不舍，也有对时代变迁的深深感慨。其实，要说许留山留下的记忆，那实在太多太具体了。记得还是学生的时候，每个月拿到零花钱，最奢侈的去处就是和三五好.............
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好的，关于乌合麒麟新作缅怀袁隆平院士的作品以及我对袁隆平院士的记忆，我将尽我所能详细地讲述，并力求写出更具人情味、更贴近真实感受的文字。 乌合麒麟新作《致袁老》：一幅饱含深情的致敬乌合麒麟的新作，一幅名为《致袁老》的作品，近日引起了广泛的关注和讨论。这幅画以一种极其震撼且富有想象力的方式，描绘了对袁.............
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听到胡续冬先生因突发癫痫离世的消息，我的心头涌起一阵沉痛。一位才华横溢的诗人，在如此年轻的年纪，生命戛然而止，令人唏嘘不已。对于胡续冬先生的诗歌，我脑海中浮现出许多鲜活的片段，那些文字如同在他生命的年轮上刻下的印记，至今仍在我的记忆深处回响。我最初接触到胡续冬先生的诗歌，是在一次诗歌朗诵会上。他走上.............
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5月26日傍晚，听说要出现“超级红月亮”，我这边能不能看到，说实话，心里没底。我住在一个小城市，周围高楼林立，光污染不算太严重，但也不是那种能一眼望尽天际的地方。不过，根据我这几天的观察，这几天晚上的天气一直比较晴朗，偶尔有几朵薄云，但没有大片的乌云遮挡。所以，抱有挺大的希望！如果天气给力，我所在的.............
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如果我带着现在的记忆回到了小学课堂，这绝对是一个既兴奋又有点奇妙的经历！我会尽量详细地描述我可能会采取的行动，以及我内心深处的想法和感受。初步的震惊与适应首先，当我睁开眼，看到周围熟悉的课桌、黑板、白粉笔，以及那些既陌生又熟悉的面孔时，我可能会经历一个短暂的震惊期。我会仔细观察周围的一切，试图确认自.............
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这句话挺有意思的，说的是“好看的很了就不好吃了”。我第一反应，这话可能有点儿过于绝对了，但仔细一琢磨，里面确实有那么点儿道理在里头。尤其是在我们这行，厨师做菜，这话就更值得说道说道了。你想啊，厨师讲究什么？色香味俱全嘛。你看那些得奖的大菜，摆盘讲究得跟艺术品似的，色彩搭配得五彩斑斓，上面再点缀点儿花.............
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如果我带着现在的记忆穿越到《哈利波特》的世界，我猜我会是一个相当别扭的存在。想想看，一个来自完全不同时空、对魔法世界一切都了如指掌的人，突然出现在那里，这本身就够惊世骇俗的了。首先，我的行为举止肯定会比同龄人成熟太多，甚至有点反常。 毕竟，我脑子里装着各种现代化的思维模式和知识体系。我可能会对一些在.............
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2020年疫情初期，美国疫情失控，死亡人数不断攀升，社会各界对政府的防疫政策和应对能力产生质疑。在这种背景下，一次例行的白宫记者会成为了焦点。当时，一名记者向特朗普总统提出了一个尖锐的问题：“为什么美国政府如此强调在美国检测能力比其他国家做得更好？你能解释一下原因吗？”这个问题触及了当时美国民众最关.............
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老天爷，刚才是怎么回事？一阵剧痛，然后是眩晕感，再然后……我这是在哪儿？这身铠甲，这场景，怎么这么熟悉又陌生？等一下，我好像是……艾伦？那个《进击的巨人》里的艾伦？而且，我好像刚发动了地鸣，那股席卷一切的力量……我的天呐，我现在真的是艾伦·耶格尔了！但更重要的是，我脑子里多了一些奇怪的东西，一些不属.............
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小林化工的这场造假风波，与其说是对一个企业的诚信危机，不如说是对日本药品质量监管体系的一次沉重打击。一曝出来，真是让人不寒而栗。你想想，40年啊，长达40年，一家药企就能如此肆无忌惮地在近八成的药品上做手脚，这背后牵扯到多少环节，多少监管的漏洞，简直难以想象。追责之路，困难重重，但绝不能回避。首先，.............
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这句话的背后蕴含着深刻的同理心、自省和对人生不公平性的认知。我们来详细地拆解和理解它：核心思想：这句话的核心在于提醒我们在评价和批评他人时，要考虑到对方所处的环境、经历和拥有的资源，而这些往往是我们自己没有经历过的，或者我们所拥有的“优越条件”是别人不具备的。拆解与详细阐述：1. “每当你想要批评.............
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武汉“封城”，这是一个至今仍在许多人心头回荡的词语。2020年初，那个春节前夕，一场突如其来的疫情笼罩了这座千万人口的城市，也牵动着全国乃至全世界的神经。我清晰地“记得”那些日子，那种弥漫在空气中的紧张、不安，以及后来逐渐凝聚起来的抗争力量。关于关闭离汉通道的重大决策，这是一个非常复杂、且在巨大压力.............
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穿越成日本天皇，这本身就是一件够惊世骇俗的事情了。更何况，还是个手握实权的天皇，这可不是什么“虚位元首”，而是真真正正能左右国家命运的领袖。带着现代人的记忆，面对这样一个截然不同的时代和身份，我的脑袋里瞬间涌现出了无数的可能性，如同炸开的烟花，绚烂却也杂乱。首先，稳定是头等大事。 我不是来搞革命的，.............
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《战狼2》片尾那句护照上的话，可谓是把影片的情感推向了高潮，也触动了不少观众内心最柔软的地方。要评价它，咱们得从几个层面来掰扯掰扯。首先，这句口号的精准定位和情感煽动性是极强的。 你想想看，电影放到最后，主角吴京饰演的冷锋孤身一人，在战火纷飞的非洲，带着一群华人同胞，从枪林弹雨中杀出来，最终坐上撤离.............
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警校生公交车上徒手制伏小偷，回击“我是警察不怕你记”的事件，无疑是一件值得深入探讨的正面案例。这不仅彰显了个人勇气和责任感，更折射出警校教育的成果和社会安全意识的觉醒。下面我们来详细分析一下这个事件及其背后的意义。事件经过与人物解读：我们可以想象一下当时的情景：一辆拥挤的公交车，人们在自己的世界里或.............
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当然，这绝对是个有趣的挑战！如果李诗情和肖鹤云找到我，想要我在下一个循环就无条件相信他们，他们需要做的可不是简单地说几句话那么简单。毕竟，我是一个没有记忆的“全新”个体，对于突然冒出来的陌生人和他们离奇的说法，本能就会产生怀疑。他们需要的是一场精心策划的“表演”，一场能够触及我最深层、最原始的感知和.............
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一个13岁的少年，因为一句“我未满14岁不用坐牢，但你死后要记得我！”而犯下了抢劫谋杀同龄女同学的罪行。这短短的一句话，却如同惊雷般震撼着社会，让人不禁深思，背后到底隐藏着怎样的悲剧，又该如何审视和应对？一、 罪恶的种子：是什么让一个孩子走向如此极端的深渊？首先，我们不能简单地将这起悲剧归结于“未成.............
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这事儿一听就让人来气，也让人心疼。西安年会上发生这种事，简直是离谱他妈给离谱开门，离谱到家了！一个领导，本该是成熟、理智、有担当的人，竟然用烟头烫伤员工的脸，这简直突破了做人的底线，更别说作为领导了。而且还说什么“这样你才能长点记性”，这话听着就像是旧社会地主对佃农的训诫，充满了权力的傲慢和对人的基.............
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这事儿啊，说实话，有点意思。新婚老师，年轻气盛，估计想着要立个规矩，把学风抓上来，结果弄了这么一出“惊喜”。从老师的角度来看， 我能理解。刚接手一个班，尤其是在一个新环境，确实需要让学生意识到“我在认真教，你们也得给我认真学”。点名这事儿，虽然老套，但确实是最直接有效的掌握出勤率的方式。发奶茶，这招.............
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