三扇门的概率问题，直觉为什么会产生问题？
先简单复述一下问题：
你面前有三扇门，其中一扇门后面有汽车，剩下两扇门后面是山羊。你选了一扇门，但还没打开。这时，主持人（知道哪扇门后面是汽车）会主动打开另一扇你没选的门，而且他会确保打开的门后面是一只山羊。现在，主持人问你：“你要坚持你最初的选择，还是换另一扇还没打开的门？”
为什么直觉会骗人？
大多数人听到这，脑子里会想：“现在只剩下两扇门了，一扇是我选的，另一扇是主持人没开的。主持人开了一扇山羊门，所以汽车要么在我这扇门后面，要么在那扇没开的门后面。概率不就是一比一了吗？”
这就是直觉在捣鬼的地方。我们不自觉地把重点放到了“现在剩下两扇门”这个信息上，觉得之前的选择和情况无关了。
但实际上，主持人“打开一扇山羊门”这个行为，传递了一个非常关键的信息，这个信息是基于他知道汽车在哪里的前提下进行的。他有选择地打开了一扇门，而不是随机打开的。
深入剖析一下，到底是怎么回事：
想象一下你最初选门时的概率。
你选对汽车的概率是 1/3。 这意味着有两扇门后面是山羊，你选到汽车的几率就是三分之一。
你选到山羊的概率是 2/3。 这意味着有两扇门后面是山羊，你选到山羊的几率就是三分之二。
现在，关键来了：
1. 如果你最初选对了汽车 (概率 1/3)： 主持人无论打开剩下的哪扇门，后面都一定是山羊。这时，如果你换门，你就会输，换到山羊。
2. 如果你最初选错了，选到了山羊 (概率 2/3)： 这里有两种情况。
情况A：你选了第一扇山羊门，另一扇后面是山羊，还有一扇后面是汽车。主持人为了不让你发现汽车，必须打开那扇有山羊的门。这时，剩下的没开的门后面一定是汽车。如果你换门，你就赢了。
情况B：你选了第二扇山羊门，和情况A一样，主持人只能打开那扇有山羊的门。剩下的没开的门后面就是汽车。如果你换门，你就赢了。
看到没？在你最初选对汽车的那三分之一的可能性里，换门你会输。但在你最初选到山羊的三分之二可能性里，换门你都会赢！
这么说是不是有点抽象？我们换个角度：
想象一下有100扇门。你选了一扇。主持人打开了98扇后面都是山羊的门，只留下了你选的那扇和你没选的另一扇。现在，你是不是觉得换门和不换门概率各是二分之一了？绝对不是！
在你最初选那扇门的时候，你选对的概率是1/100。而剩下那99扇门里有汽车的概率是99/100。主持人帮你“排除”掉了98个错误答案，那99/100的概率并没有消失，它们都集中到了那扇你没选的、唯一剩下还没被打开的门上。
所以，在这种100扇门的情况下，换门会让你赢的概率就变成了99/100，而坚持原先的选择赢的概率仍然是1/100。
回到三扇门的问题，主持人打开山羊门这个动作，实际上是将“那两扇你没选的门”里藏有汽车的2/3的概率，全部“转移”到了那扇主持人没开的门上。
直觉为什么会“短路”？
我们的直觉，特别是对于概率问题的直觉，很多时候是基于我们日常生活中遇到的“对称性”和“独立性”的经验。比如，抛硬币，两次结果是独立的，第二次抛硬币出现正面的概率永远是二分之一，跟第一次有没有关系。
但在蒙提霍尔问题里，主持人并不是随机打开一扇门，他知道汽车在哪儿，并且有意地避开了汽车。这种“知情”和“有意”的行为，打破了我们直觉里认为的“独立性”。主持人提供的信息，看似是消除了不确定性，实际上是重新分配了概率。
我们的大脑倾向于将注意力放在当前可见的两个选项上，而忽略了导致当前局面发生的过程中，信息是如何被过滤和传递的。主持人排除一个错误选项的行为，并没有改变你最初选择的那个门后面有汽车的1/3概率，但却显著增加了另一个未被排除的门后面有汽车的概率。
所以，简单来说，坚持原先的选择，你赢得汽车的概率是1/3；而换另一扇门，你赢得汽车的概率是2/3。这个结论虽然违反直觉，但却是统计学上的事实。下次遇到类似的问题，不妨多想想“主持人给了什么额外信息”，以及这个信息是如何影响概率的。
网友意见
在三门问题中，是否换门，取决于每个门的概率是否发生了相对变化。注意是相对变化。只有均衡的概率被打破，才需要考虑换门。
打破概率均衡，取决于两个条件：
第一，是否有新的信息被引入系统。
如果主持人不知道哪扇门后有奖品，那么就不会有新的信息引入系统。这时，不管主持人干什么，只会同时改变所有门的概率。各个门的概率始终均衡变化，无需换门。
第二，新的信息作用到系统局部，打破了整个系统的概率均衡。
三门问题的原题中，主持人不能打开已经选好的那扇门。这样，主持人的信息不能作用到整个系统，只是提高了系统局部的概率。这就破坏了整个系统的概率均衡，需要换门。
如果变化一下原题，让主持人的开门范围包括那扇已经被选择的门，那么，主持人的信息就作用到了整个系统。这时，概率均衡会继续维持，无需换门。
回答题主的问题——与猜奖着数量无关
在引入三个猜奖者后，题主没有描述主持人的开门范围是什么。我这里假设主持人是在三扇门中随意打开一扇空门。这时，主持人的信息作用范围是整个系统，概率均衡继续维持，无需换门。
问题的引申——错误的信息不改变概率
假如说，这个主持人的信息是错误的，也就是说，他自以为知道某扇门后有奖品而实际奖品在其它门后，那么主持人的行为不会改变中奖概率。
问题再引申——不准确的信息怎样改变概率
在原始三门问题中，假设这个主持人的信息不是完全准确。譬如说，他被告知某扇门后有奖品，但是这个信息只有70%的准确率。只要这个准确率大于自然概率，在三门问题中是33%，那么就应该换门。
说明你压根儿还是没有理解三门问题。
三门问题的绝大多数的解读都是错的。
正确的表述是，有三扇门，其中一扇门后有大奖，你选择了一扇门。这时候根据游戏规则（注意了！这是重点），主持人会在剩下的两扇门中，打开一扇没有奖品的门，这时候你要不要换成主持人没有打开的那扇门？
只有在这种情况下，你换才是2/3的概率。
所以这里有两个关键：
1、主持人必须从剩下的两扇门中打开一扇，不管你选择的是什么。
2、主持人明确的知道奖品在哪扇门，所以一定会打开一扇没有奖品的门。
忽略这两个条件的解读都是哗众取宠的。
题目又更新了？变成2玩家4门了？
答案是，如果是互换位置，换不换都行，不改变结局。
先用一个简单的解法：
开门前，正确答案在参赛者手上的几率是1/2,两人各1/4; 在另外两门的概率是1/2，两门各1/4
开门后，正确答案在参赛者手上的几率是1/2,两人各1/4;在另外两门的概率是1/2，一门0，一门1/2
互换，无非是把我的1/4换给你，没有任何意义。这个时候换第三门才能提高获胜概率。
如果这个听不明白，我们就用枚举法详细解释一下。
四个门，任意选两个，你选A，你的对手选B。那么实际上第一轮选完之后是三种情况
① A对，B错，另外两个全错 (1/4）
② A错，B对，另外两个全错（1/4）
③ A错，B错，另外两个有一个是真（1/2）
换： 情况①错，情况②对 情况③错 对的概率是1/4
不换：情况①对，情况②错 情况③错 对的概率还是1/4
所以不换，这是答案。但我们应该加问一句，为什么会这样？
为什么会这样？
问这个问题的人没有get到三门问题为什么出现了概率变化。
三门问题要实现改变概率必须同时满足三个条件：
① 主持人必须知道哪个是正确答案
② 参赛者必须在主持人选择之前做选择
③ 主持人不能把参赛者已经选定的选项作为错误答案排除。
只有在三个条件都满足的情况下，主持人才能改变【没被选择的选项】的概率
② 我们就不说了，最主要的是要正确理解①、③
问出这个问题的人，主要是完全没有注意到③，“主持人不能把参赛者已经选定的选项作为错误答案排除”
如果我们假设对门为a，错门为b，且a远远大于b
实际上，三门问题可以写成一个三元一次方程：
X参 + X主 + X未 = a+2b。
X参 是参赛者选择的门，X主 是主持人选择的门，X未 是未选择的门。
选择，实际上是一个对未知数赋值的过程。
因为参赛者不知道哪个门后面是a，所以被参赛者选择的门，会被赋予一个值 ⅓a + ⅔b
被主持人选择的门，也会被赋予一个值：
情况一：当主持人知情的时候，这个值就是b；
情况二：当主持人不知情的时候，这个值就和参赛者一样，是⅓a + ⅔b
对于情况一而言，X未=⅔a +⅓b，这种情况下，a出现的几率才被改变了。
对于情况二而言，X未 =⅓a + ⅔b = X参，所以换与不换没有区别。
因此，主持人知情是一个决定性的条件。
另一个关键点，主持人不能宣布参赛人的答案为错。
如果主持人可以改变参赛人的答案，即他可以指认X1为b，那么，对参赛人来说，又变成了X2+X3=a+b的问题，这种选择是没有区别的。
好，我们回过头来理解四门问题
四门问题实际上就是
C1（参赛者1）+C2（参赛者2）+Z（主持人）+U（未知门）= a+3b
参赛者1、2在选定之后，已经对C1、C2进行了赋值，即C1=C2 = ¼a +¾b
主持人没有资格开参赛者的门，所以只能改变U出现a的概率，不能改变C1、C2。
所以，你无论加多少个参赛者都是一样的，只要是参赛者之间互换，中奖概率就不会改变。
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