以数学史的观点来看，集合论是如何成为数学基础的？
萌芽：直觉的呼唤与数的扩展
在集合论正式登上舞台之前，数学家们早已在不自觉地使用着集合的概念。比如，古代几何学中对点集、线段的讨论，算术中对数的分类（偶数、奇数、质数等），无不隐含着集合的思想。然而，这些都还停留在直觉和经验的层面。
真正将“集合”这个词语及其概念提上日程的，可以追溯到19世纪中后期。当时，数学家们在处理一些看似基础的概念时遇到了困境，尤其是数的概念。
无穷的困扰： 随着微积分的蓬勃发展，无穷小、无穷大等概念被广泛运用，但其严格定义却相当模糊。数学家们急需一种更强大的工具来理解和操作无穷。
数的扩展： 从自然数到整数，再到有理数、实数，数的概念一直在不断扩展。如何统一和严谨地定义这些数系，尤其是实数，成为了一个重要的课题。例如，实数的戴德金分割和柯西序列等方法，本质上就是在利用一些“集合”的性质来定义实数。
先驱者的探索：康托尔与他的朴素集合论
19世纪末，德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）无疑是这场革命的核心人物。他以惊人的洞察力，将朴素的集合概念发展成了一门独立的学科——集合论。
建立集合的直观定义： 康托尔将集合定义为“由明确的、可区别的事物所构成的整体”。这些“事物”可以是具体的物体，也可以是抽象的概念，例如数字、点、甚至集合本身。
引入“势”的概念： 这是康托尔最伟大的贡献之一。他发现，即使是无穷集，也可以比较它们的大小。他引入了“势”（cardinality）的概念，并定义了两个集合具有相同势，当且仅当它们之间存在一对一的对应关系。
惊人的发现： 通过“对角线论证”，康托尔证明了自然数集（计数无穷）的势小于实数集（连续无穷）的势。这一结果彻底颠覆了人们对无穷的传统认知，揭示了无穷集合内部的丰富结构，即存在不同“大小”的无穷。这就像打开了一个潘多拉的盒子，展示了前所未有的数学宇宙。
连续统假设的提出： 基于他的发现，康托尔还提出了著名的“连续统假设”（Continuum Hypothesis），即实数集的势是否是自然数集的势的下一个无穷势。这个问题在后来的数学史中成为了一个极其重要的研究对象。
康托尔的朴素集合论以其强大的解释力和统一性，迅速吸引了众多数学家的目光。它提供了一种全新的语言和框架，可以用来定义和研究几乎所有的数学对象，包括数、函数、几何图形等等。许多数学家开始尝试用集合论来重构数学的各个分支，这股浪潮预示着它可能成为数学的基础。
危机与反思：悖论的出现
然而，康托尔的朴素集合论并非完美无缺。在他之后不久，一些看似合理的构造却导致了令人不安的矛盾，即集合论悖论。
罗素悖论（Russell's Paradox）： 这是最著名也是最具毁灭性的悖论之一。伯特兰·罗素（Bertrand Russell）发现，如果允许构造“不包含自身的集合”，那么会产生矛盾。考虑一个集合 $R = { x mid x otin x }$，即所有不包含自身的集合组成的集合。那么，$R$ 是否包含自身呢？如果$R in R$，那么根据定义，$R otin R$，这显然是矛盾的。如果$R otin R$，那么根据定义，$R$ 应该被包含在$R$ 中，即$R in R$，这同样是矛盾的。
布拉利福尔蒂悖论（BuraliForti Paradox）： 这个悖论涉及到序数的概念，揭示了有序集合可能产生的矛盾。
这些悖论的出现，如同一记重锤，动摇了朴素集合论作为数学基础的地位。如果连最基础的构建块都充满了矛盾，那么整个数学大厦还能稳固吗？这引发了数学界前所未有的危机，数学家们开始深刻反思集合论的公理基础。
重塑基础：公理化集合论的兴起
为了应对悖论的挑战并为集合论提供坚实的基础，数学家们开始尝试用公理化的方法来构建集合论。目标是建立一套尽可能少、尽可能简单且不产生矛盾的公理，从中可以推导出所有正确的集合论命题，同时避免悖论的出现。
策梅洛弗兰克尔集合论（ZFC）： 这是最被广泛接受和使用的公理化集合论系统，由恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）和阿布拉罕·弗兰克尔（Abraham Fraenkel）在20世纪初发展起来。ZFC包含一系列公理，例如：
外延公理（Axiom of Extensionality）： 如果两个集合拥有完全相同的元素，那么它们是同一个集合。
空集公理（Axiom of Empty Set）： 存在一个不包含任何元素的集合。
对集公理（Axiom of Pairing）： 对于任意两个集合 $a$ 和 $b$，存在一个集合，其元素恰好是 $a$ 和 $b$。
并集公理（Axiom of Union）： 对于任意一个集合 $A$，存在一个集合，其元素是所有属于$A$的集合的元素的集合。
幂集公理（Axiom of Power Set）： 对于任意集合 $A$，存在一个集合，其元素是所有$A$的子集。
替换公理模式（Axiom Schema of Replacement）： 如果有一个定义了从集合 $x$ 到集合 $y$ 的“函数”的性质，那么对于任何集合 $A$，存在一个集合，其元素是所有$f(x)$（其中 $x in A$）的集合。
无穷公理（Axiom of Infinity）： 存在一个包含空集，并且对于其任何一个元素 $x$，也包含 $x cup {x}$ 的集合。这条公理保证了无穷集合的存在，例如自然数集。
正则公理（Axiom of Regularity / Foundation）： 每一个非空集合 $A$ 至少包含一个元素 $x$，使得 $x cap A = emptyset$。这条公理排除了循环包含的情况（如 $A in A$ 或 $A in B$ 且 $B in A$）。
选择公理（Axiom of Choice）： 对于任意一个非空集合的集合，存在一个选择函数，从每个集合中选择一个元素。
排除悖论的机制： ZFC系统通过对集合的构造进行限制，例如“分类公理模式”（Axiom Schema of Separation，这是对策梅洛原始系统中的“分离公理”的补充和发展），来巧妙地避免了罗素悖论等。分类公理模式允许我们从一个已有的集合中，通过一个性质来定义它的子集，从而避免了直接构造“不包含自身的集合”。
可满足性与完备性： 公理化集合论的出现，并没有完全解决所有问题。哥德尔（Kurt Gödel）的不完备定理表明，任何足够强大的、一致的公理系统，都无法在自身体系内证明其一致性。这意味着我们无法绝对地证明ZFC系统是完全没有矛盾的，我们只能相信它在实践中确实没有产生过已知的矛盾。
成为数学基础的地位：统一性、解释力和方法论的优势
尽管存在关于一致性的讨论，集合论最终之所以能成为数学的基础，主要得益于以下几个方面：
1. 无与伦比的统一性： 集合论提供了一种强大的语言和框架，几乎所有的数学概念都可以用集合来定义和构建。例如：
自然数： 可以定义为 $0 = emptyset$, $1 = {0}$, $2 = {0, 1}$, 以此类推，即自然数可以表示为集合的集合。
有序对： 可以用肯定的集合来表示，例如凯尔·库尔莱（Kuratowski）的定义：$(a, b) = {{a}, {a, b}}$。
函数： 可以定义为满足特定条件的点的集合（即一个关系，其中每个定义域的元素恰好对应一个值域的元素）。
实数： 可以用戴德金分割或柯西序列（都是数的集合）来定义。
拓扑空间、代数结构等： 都可以用集合以及集合上的关系和运算来定义。
这种统一性极大地简化了数学的表达方式，使得不同领域的数学概念之间有了清晰的联系，也方便了数学的教学和传播。
2. 强大的解释力： 集合论能够精确地描述和分析各种数学对象，包括无穷。它为微积分中的极限、连续性等概念提供了坚实的逻辑基础，也为其他抽象数学领域（如范畴论）提供了表达和研究的语言。
3. 方法论的优势： 集合论所蕴含的逻辑推理和集合构造的方法，已经渗透到数学的各个角落。它提供了一种严谨的思考方式，帮助数学家们清晰地定义问题、推导结论。
4. 历史的必然与选择： 在20世纪初，面对逻辑学和数学基础的危机，多种基础理论方案被提出，例如逻辑主义（将数学还原为逻辑）和直觉主义（强调数学对象的构造性）。然而，集合论以其强大的实用性和解释力，以及在克服悖论方面取得的相对成功，最终成为了大多数数学家所接受的基础。虽然其他基础理论在某些领域仍有影响，但集合论的普适性使其占据了主导地位。
结论：
从数学史的宏观视角来看，集合论成为数学基础并非一个被“钦定”的结果，而是经历了从直觉萌芽、大胆探索、深刻危机到公理化重塑的艰难历程。康托尔的开创性工作揭示了无穷的奥秘，但随之而来的悖论也迫使数学家们进行深刻的反思。通过策梅洛和弗兰克尔等人的努力，公理化集合论（特别是ZFC）为这门学科提供了坚实的逻辑基石。最终，集合论以其无与伦比的统一性、强大的解释力和实用的方法论，成为了现代数学这座宏伟大厦不可或缺的地基，支撑着几乎所有其他数学分支的建立和发展。它代表了数学的一次深刻的自我认知和逻辑的飞跃。
网友意见
"集合论是数学的基础"这一个说法更多是历史上的一个巧合（详见我的另一篇回答: https://www.zhihu.com/question/363043105/answer/971089249).现代教科书里将"数学对象"看作"集合"这个做法, 是在集合论发展较为完善后, 人们才发现可以系统性地这么做. 如果说集合论的诞生给数学带来了什么贡献, 那应该有两个: 1) 严格化了"实数", "实数集", "函数"的概念; 2) 解答了当时关于傅里叶级数唯一表示性的开问题. 而后者则是康托发明集合论的初衷, 并不是单纯为了研究无穷或者给数学找基础. 这篇回答将试图描述这段历史.
在19世纪末20世纪初期, "集合论"这一学科是隶属于分析学和拓扑学的. 这其中原因之一便是康托(Cantor)在集合论上的工作给当时的数学家带来了一个全新的严格理解"实数"和"函数"的方式. 在此之前, 一个函数总是由某些规则或某些公式给出, 这使得"存在一个函数/对于任意函数"这类表述显得不够严谨: 在给出"什么是一个函数"的数学回答之前, 我们无法严格证明或证伪对函数进行量化的语句.
例如实分析入门中所常见的"使用柯西序列的等价类定义实数"这一方法和视角, 正是康托在职业生涯初期为了研究傅里叶级数的唯一性问题而提出的. 在Heine的建议下, 康托着手研究的问题是当时分析学中一个重要的开问题:
如果级数 对每一个的都收敛到0, 那么所有的是否都为0?
这个在当时是极为困难的问题, 分析学祖师爷Dirichlet, Lipschitz, Riemann, Heine等人都仅仅获得了部分特殊情形上的解答. 这个问题的其中困难之一便是这样的一个命题过于一般, 并且在康托之前数学界中并没有找到一个合适的视角或工具来处理具有如此一般性的问题.
康托的第一份贡献便是对这个问题的肯定回答: 如果级数 对每一个的都收敛到0, 那么所有的都为0. 这个结果在当时本身就是十分了不起的一个成就, 但是康托并没有就此满足. 在他看来, "该级数对每一个都收敛到0"是一个过于强的前提条件. 如果我们可以通过弱化这个前提条件来得到相同的结论, 那么这将会是一个更强的数学结果.
康托在这个方向所采取的策略是考虑被允许的例外集: 对于哪些实数集, 我们可以证明:
如果级数 对每一个的都收敛到0, 那么所有的都为0?
通过当时传统的方法, 康托得到了如下结果: 如果上下均无界, 那么就会是一个被允许的例外集.
通过对这一结果的探索, 康托发现对于一个实数集, 我们可以递归地通过一种操作(取导集, derived set, 具体定义不影响本文阅读)将它缩小, 得到一个新的集合. 而这个递归操作本身就能给我们带来关于是否是例外集的答案. 归纳地, 我们定义: ; . 康托的到的结果则是:
定理: 如果对于某个自然数, , 则是一个被允许的例外集.
当时的数学工具的极限基本就在这里止步了. 而令康托载入数学史册的创新发现则是, 存在一些实数集, 使得严格递减, 并且如果我们考虑, 我们仍然可以对这个集合取导集, 并且能得到一个更小的集合. 这允许我们记; , 如此类推, 并且令, 一直迭代下去.
我们在这里先暂停一下来品味一下康托这一概念上的创新. 首先值得一提的是, 康托将实数构造为柯西序列的等价类(康托称它们为fundamental sequences), 正是为了严格化"取导集"这一概念以及找到上述这一类集合; 显然, 这个构造也延续到了今天的实分析教科书中, 足见其对后世影响力有多广. 包括现在我们所熟悉的康托集, 也是当时研究这一系列集合所带来的产物. 其次, 康托的观察在数学上有两个颠覆性的突破: 1) 我们第一次需要认真严肃地对待一个操作的进行次数这样一个具有"元数学"风味的对象; 2) 我们第一次认识到, 自然数作为归纳定义和递归操作时采取的"步数", 是不够用的. 为了能严格化"比自然数更长的递归操作"这一概念, 康托考虑了"良序集"这一对"自然数"概念的推广. 简单来说, 一个集合是良序的, 当且仅当每一个非空子集都存在一个(在所考虑的序下)最小的元素; 良序集将扮演自然数集在中的角色, 帮助我们将取导集这一操作延伸至无穷多步. 康托所考虑的良序集, 在现在的视角来看, 就是集合论中至关重要的对象: 超限序数. 至此, 集合论作为一门研究无穷的学科就此诞生.
用现在的语言来说, 我们称为这样一个良序集: 它自己是一个不可数的良序集, 并且它的每一个真前段(proper initial segment)都是可数的. 我们可以将的元素和它们所决定的前段看作一个东西, 并称的元素为"可数序数". 康托得到的结果是:
定理(Cantor-Bendixson Analysis): 对于任意实数集, 都存在一个可数序数, 使得对于任意比"更长"的可数序数, 我们都有. 也就是说, "取导集"这一操作的结果总是会在可数步内稳定下来.
和它里面的可数序数给实数和实数集的研究带来了全新的视角, 通过Cantor-Bendixson Analysis, 康托得到了他想要的更强的结果:
定理: 所有的可数闭集都是被允许的例外集. 康托集也是被允许的例外集.
"被允许的例外集"在数学文献里被称为sets of uniquenuess. 很有趣的是, 多年以后另外一个彻底颠覆集合论的数学家, 因为发明力迫法而获得菲尔兹奖的Paul Cohen, 博士论文(Topics in the Theory of Uniqueness of Trigonometrical Series)写的正是关于sets of uniqueness的内容.
在有了研究实数集的新工具之后, 康托的注意力很快就从三角级数上转移到了实数和实数集本身以及可数性和不可数性上来. 在取导集操作的研究上, 康托很快发现了"稠密, 无处稠密, dense-in-itself, perfect, 康托集"等拓扑学中的重要概念. 在集合论上, 康托的工作给集合论学家带来了最基本的工具: 超限序数, 超限递归, 超限归纳, 阿列夫数等. 其中他对代数数可数性, 实数集的不可数性, 和对超越数存在性的证明直到现在都会在实分析的课本上出现(对角线法, 区间套法, Baire纲定理法). 康托对超越数存在的构造性证明同时也给出了一个构造超越数的一般规则, Robert Gray 1994的论文Georg Cantor and Transcendental Numbers甚至将康托的构造性论证通过算法实现.
在建立了无穷集合的基本理论之后, 康托考虑的问题就是他最早发现的两个不可数集合的关系: 和实数集. 一个很自然的问题就是这两个集合是否是同构的. 考虑到有理数集(一个可数集)在中稠密, 这个问题的答案显然是否定的. 但是康托考虑了一个更一般的问题: 如果我们完全忘掉两个集合上的所有结构, 只考虑元素之间的相等关系, 这两个集合是否是同构的. 不难发现, 这种最弱意义上的同构关系, 就是康托一开始发现的"双射"关系 (细心的读者会发现, 两个集合之间存在双射的定义实际上说的就是这两个结构之间存在同构映射). 也就是说, 康托考虑的是:
是否存在一个和之间的双射?
这便是后来希尔伯特23个问题中排名第一的连续统假设.
在康托活跃的这个期间, 康托的一个忠实的支持者与好友便是戴德金(Richard Dedekind). 在康托系统性地采用集合论方法来研究实数集之前, 戴德金就在自己的代数数论工作中通过集合论方法考虑了我们现在所熟悉的理想(ideal)和戴德金分割(Dedekind cuts). 实数的一个重要性质, 完备性(completeness/Dedekind-completeness), 也正是由戴德金本人抽象地提炼出来的. 在康托发表集合论论文的期间, 他和戴德金一直有保持书信联系. 可能是由于自己也采取了同样的数学视角, 戴德金本人十分欣赏且认可康托的工作, 并在多处具体问题上基于了康托帮助. 康托对于超越数存在和实数集不可数的区间套证明所依赖的便是实数的完备性. 在之后很长一段时间里, 康托和戴德金当时的往来书信都是数学史文献中乐于研究的对象.
很令人惋惜的是, 康托的视角和他的后续工作也许对当时的数学界来说过于具有颠覆性, 使得部分权威并不认可甚至是攻击康托的工作. 说出"上帝给了我们自然数, 剩下的全都是人类的工作"这句话的Kronecker, 自然对"不可数集", "超限序数"等概念非常抗拒. 他对康托的工作评价接近于人身攻击: "我不知道康托的工作里面包含的是神学还是哲学, 但肯定没有数学." 除了学界的打击之外, 康托自己也在工作和生活上遭受了重创, 在无法晋升且收入微薄的同时, 康托也久久不能释怀自己无法证明或证伪良序原则和连续统假设(我们今天知道这两个命题都是独立于集合论公理的), 他甚至一度放弃了数学工作而转向研究"莎士比亚是否就是弗朗西斯培根的笔名"这一问题. 最后, 康托也因为自己小儿子的突然去世而完全丧失了对数学的任何信心. 多方面的精神创伤也使得康托多次被送入精神病院, 并最终由于身体和精神原因在郁郁不得志中心脏病发去世.
在今天看来, 康托的工作对后世的数学贡献了难以衡量的价值. 从他创造的抽象集合论工具和对实数集研究的严格化, 到他对拓扑学基础概念的发现, 康托对现代数学的影响无处不在. 他的对角线论证法也是20世纪初数理逻辑中限制性定理大爆发时代(哥德尔不完备定理, 塔斯基不可定义定理, 图灵停机问题)的一个关键论证方法. 后来大名鼎鼎的冯诺依曼的博士毕业论文处理的也正是超限序数在公理化集合论中的严格构造的问题, 这也是为什么如今超限序数也常常被称作冯诺依曼序数. 另一方面, 康托发现的第一个不可数序数, 作为递归操作/归纳定义中超出自然数长度的所需步数, 在20世纪初期给Baire, Borel, Lebesgue的测度论和实分析工作提供了至关重要的奠基工具: 一种显著意义上"可构造"的实数集或者实数函数, 总能通过简单的实数集或实数函数, 通过某种操作, 在可数(即)步内生成(参考: https://zhuanlan.zhihu.com/p/449221076). 这样的一种层级研究便是日后描述集合论的萌芽. 正如康托去世后若干年后希尔伯特所写: 没有人能将我们从康托创造的乐园中驱逐出去; 康托和他发明的集合论对当今数学深刻的影响或许可以是对他悲惨晚年的一些迟到的慰藉.
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