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问题

扫雷这个游戏，雷怎么摆使场上数字之和最大？

回答
扫雷游戏里，要让雷布置出来，让场上所有数字的总和达到最大，这绝对是个考验你空间想象力和策略布局的烧脑问题。咱们不玩虚的，直接说怎么干。

想让数字总和最大，核心思路就是制造最多的、数字值最高的“包围圈”。你想啊，那些数字代表的是周围的雷有多少，数字越大，说明它被雷“包围”得越严实。所以，咱们的目标就是最大化这种“严实”程度。

怎么做到呢？

首先，要舍得用雷，而且要用得巧。别指望藏一两颗雷就能指望高数字，那是不现实的。我们要做的，是在棋盘上尽可能地密集地埋雷，但又不是胡乱埋。

最直接有效的方法，就是制造大片的“雷海”。想象一下，你画一个大大的正方形，或者长方形，在这个区域里面，几乎都填满雷。然后，在雷海的边缘，留出一些空地。这些空地旁边的格子，就会因为紧挨着一大片雷，而显示出很高的数字。

比如说，你画一个 5x5 的区域，里面放 20 颗雷，只留一两个空格。那些紧挨着这片雷海的空格旁边的格子，它们周围肯定有 3、5、8 这么高的数字。而且，这种大片雷海会互相“叠加”影响，让边缘的数字更高。

但光有雷海还不够，我们还需要“引导”数字的产生。最能产生高数字的格子，是那些同时被多个雷包围的格子。所以，你要想办法让雷的分布形成一些“尖角”或者“拐角”。

比如说，你在棋盘的边缘，画一个 L 形的雷区，或者一个 T 字形的雷区。在这些雷区的“内角”或者“尖端”附近，会有一些格子，它们周围会同时被好几条雷线“戳到”，数字自然就高了。

举个例子，想象你在棋盘的左上角，故意用雷围出一个小小的“口子”，在这个口子外面的空格，它周围的雷数量会一下子增多，可能直接就是 8。然后，你再往里面稍微扩展一点，就能形成一个 7，旁边一个 6 这样。

关键在于“连贯性”和“密度”。雷不是孤立存在的，它们之间会互相影响，也影响着周围的数字。所以，你制造的雷区，最好是相互连接的，形成一个整体。同时，在制造这些区域的时候，尽量让雷的密度保持在一个比较高的水平。

还有一点，棋盘的边界很重要。棋盘的边界格子，它们被雷包围的可能性就小一些，因为只有一边是棋盘。所以，要让数字最大化，你可能需要在棋盘的中心区域，制造更复杂的雷区，让那些位置上的数字能够达到顶峰。

总而言之，要想让扫雷场上数字之和最大，你就得像一个建筑师一样，用雷来“雕刻”这个棋盘。多制造密集的雷区，多利用雷区的边缘和“拐角”来产生高数字，让雷和空格之间形成一种“互相逼迫”的关系。把这些高数字的格子越多、越集中，你得到的总和也就越高。别怕浪费雷，在这个追求数字最大化的目标下，雷是你最好的“画笔”。

网友意见

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雷数限定且场地足够大的情况下，显然，只需考虑避免贴边和相邻，在此原则下任意摆放即可。

此时分数=雷数*8。

限定场地尺寸但雷数不限的情况下，首先考虑保持「雷数*8」前提下最大化雷数的摆放，即水平/竖直都是隔一格放一个雷。以5x5的奇数正方形情况为例，首先放4颗如图1（分数=32）：

       1 1 2 1 1 1 X 2 X 1 2 2 4 2 2  = 32分 1 X 2 X 1 1 1 2 1 1

此时再增加新雷就要看位置了。上图中角落1分位置和边上2分位置每个新雷可以赚1分，且互不干涉。如此增加8个雷则增加8分（分数=40）。另外，中心的4分位置虽然摆不摆新雷都是平手，但如果这里摆上以后，最开始的4个雷就又变成可以去除的状态了。

于是我们得到了3种40分的方案——第三版本质上其实还是隔一格放一个。

       X 3 X 3 X      X 3 X 3 X      X 2 X 2 X 3 X 3 X 3      3 X 4 X 3      2 4 2 4 2 X 3 4 3 X  同  X 4 X 4 X  同  X 2 X 2 X  = 40分 3 X 3 X 3      3 X 4 X 3      2 4 2 4 2 X 3 X 3 X      X 3 X 3 X      X 2 X 2 X

但这些并不是最优解。

首先重新看图1，显然还有更赚的位置，即边上的1分位置（每个新雷赚3分）和中场的2分位置（每个新雷赚4分）。以该原则填满两列增加6个雷可以增加20分（分数=52）。
另外，图2中的第三版也有优化空间。边上的2分位置每个新雷可以赚1分；中场的2分位置和上面一样也是每个新雷则可以赚4分。增加6个雷填满三列后，总分也是52。不过使用的雷数比上面更多一些。

这两种方案其实意思是一样的，因为贴边的空格列只和一列雷相邻，它的分数是中间空格列的一半。在奇数列正方形的情况下，总是可以发展成这两个流派。

       2 X 4 X 2      X 4 X 4 X 3 X 6 X 3      X 6 X 6 X 3 X 6 X 3  或  X 6 X 6 X  = 52分 3 X 6 X 3      X 6 X 6 X 2 X 4 X 2      X 4 X 4 X

到这里为止，应该就是极限了。虽然我也没有从数学上严格证明这就是最优解，但至少它发展到了一个无法改进、也无法平等置换的局面。

每一个雷都无法去掉，因为你去掉一个雷时，获得的分数=它原本相邻的雷数；失去的分数=它原本相邻的空格数。
显然，上面所有的雷都是邻居空格比雷多的状态。
同理，你也不能再摆新雷上去，因为每个空格填上新雷时，获得的分数=它原本相邻的空格数；失去的分数=它原本相邻的雷数。
显然，上面所有的空格也都是邻居雷比空格多的状态。

下面我们扩展到5x7，再看一下长方形行列不对称的情况。结果是左图78分，右图76分。所以推论是，布雷的列应该沿着短边排：

       X 4 X 4 X 4 X        X X X X X X X X 6 X 6 X 6 X = 78分 4 6 6 6 6 6 4 X 6 X 6 X 6 X  大于  X X X X X X X X 6 X 6 X 6 X 76分 = 4 6 6 6 6 6 4 X 4 X 4 X 4 X        X X X X X X X

奇数x偶数（以4x5为例）的情况也是类似的：

       X 4 X 4 X        X X X X X X 6 X 6 X = 40分 4 6 6 6 4 X 6 X 6 X  大于  X X X X X X 4 X 4 X 39分 = 2 3 3 3 2

偶数x偶数（以4x6为例）依然是这个样子：

       X 4 X 4 X 2        X X X X X X X 6 X 6 X 3 = 50分 4 6 6 6 6 4 X 6 X 6 X 3  大于  X X X X X X X 4 X 4 X 2 48分 = 2 3 3 3 3 2

原理也很简单。稍微计算一下就知道：

列数 = (A边长 - 1) / 2。贴边的算半列，因此当该边长为偶数时依然有效。
行数 = B边长。
分数
= 列数 * (行数 * 6 - 4)
= ((A - 1) / 2) * (B * 6 - 4)
= 3AB - 3B - 2A + 2。

显然，当A和B可以互换时，令B < A时，分数会较高一些。

结论，场地为矩形、限定场地尺寸但雷数不限时，分数最高的解法为：贴着短边一条线摆满雷，然后隔一条线空格、摆一条线雷，如此铺满。

受@黄21 的染色法启发，稍微重新想了一下这个问题。题主的扫雷规则本质上可以理解成：用连线表示横竖斜相邻的格子关系，每一对同色（双方都是雷，或者都是空格）格子不得分，异色得1分。

对于宽为A高的B矩形场地，显然，线段数遵循这几个式子：

横：(A - 1) * B
竖：(B - 1) * A
斜：(A - 1) * (B - 1) * 2

线段总数为上述三者之和，即 4AB - 3A - 3B + 2。

条纹分布策略相当于是令竖向的线段全部不得分，其余全部得分。其结果就是前面说的3AB - 3B - 2A +2。

以上简易思考，不严谨。等数学家打脸。

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