素数的 Willans 公式是否正确？
素数的 Willans 公式：一个引人入胜的探索
关于素数生成，数学家们孜孜不倦地寻求着规律和公式。在众多尝试中，Willans 公式因其独特的形式而格外引人注目，它试图用一个明确的公式来描述第 $n$ 个素数。那么，这个公式是否真的能够精确地生成素数呢？让我们深入探究一番。
Willans 公式究竟是什么？
Willans 公式，由 Clifford Willans 在 1964 年提出，其形式如下：
$p_n = 1 + sum_{i=1}^{2^n} leftlfloor left( frac{n}{sum_{j=1}^{i} leftlfloor cos^2left(frac{(j1)!pi}{j} ight) ight floor} ight)^{1/n} ight floor$
乍一看，这公式确实有些复杂，充满了阶乘、求和以及向下取整函数（floor function）。其核心思想是利用 Wilson 定理 的一个变体。Wilson 定理指出，如果 $p$ 是一个素数，则 $(p1)! equiv 1 pmod{p}$。Willans 将此推广，通过一个精心构造的表达式来判断某个数是否为素数，并以此来“计数”素数。
简单来说，公式的右侧部分是在尝试构建一个表达式，该表达式的值在 $i$ 等于第 $n$ 个素数时会发生特定的变化，从而使得整个求和能够“捕捉”到第 $n$ 个素数。公式中的向下取整函数 $lfloor x floor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。
公式的“正确性”：理论上的优雅与实践中的挑战
从理论上讲，Willans 公式是 正确 的。它确实能够根据 $n$ 的值，计算出第 $n$ 个素数。这背后依赖于一个巧妙的构造：
Wilson 定理的变体与素数判断： 公式中 $leftlfloor cos^2left(frac{(j1)!pi}{j} ight) ight floor$ 这一项是关键。当 $j$ 是素数时，根据 Wilson 定理的推论，$(j1)! equiv 1 pmod{j}$。这意味着 $frac{(j1)!pi}{j}$ 实际上是某个整数 $ imes pi$ 的一个“偏移量”。而 $cos^2$ 函数在这里的作用是巧妙地将其转化为一个接近于 0 或 1 的值。具体来说，当 $j$ 是素数时，$frac{(j1)!pi}{j}$ 的余数项会使得 $cos^2$ 的值非常接近于 1。而当 $j$ 是合数时，$cos^2$ 的值会非常接近于 0。
“计数”素数的机制： 整个求和 $sum_{j=1}^{i} leftlfloor cos^2left(frac{(j1)!pi}{j} ight) ight floor$ 实际上是在计算从 1 到 $i$ 之间素数的个数。当这个计数达到 $n$ 时，外层求和的表达式 $left( frac{n}{dots} ight)^{1/n}$ 的值就会发生变化，使得向下取整后能够精确地得到第 $n$ 个素数。
然而，尽管理论正确，Willans 公式在实际应用中却显得“不那么有用”，甚至可以说是一种“理论上的存在”。原因如下：
1. 计算量巨大到令人发指： 要计算第 $n$ 个素数，需要计算到 $2^n$ 这么大的数。即使是计算相对较小的 $n$，例如 $n=10$，我们也需要计算到 $2^{10} = 1024$。这意味着我们需要计算从 1 到 1024 的所有数的阶乘，然后进行大量的三角函数和取整运算。这对于任何实际的计算来说，都是完全不可行的。更不用说计算更大的素数了，其计算成本将呈指数级增长。
2. 效率低下到无法接受： 相比于我们目前已知的更有效的素数筛选方法（例如埃拉托斯特尼筛法），Willans 公式在效率上简直是天壤之别。这些筛法可以通过系统地排除合数来找到素数，其计算效率远高于枚举和测试每个数的素性。
3. “先有鸡还是先有蛋”的悖论： 要计算第 $n$ 个素数 $p_n$，公式中需要用到 $i$ 到 $2^n$ 的值，而 $2^n$ 的大小本身就与 $p_n$ 的增长速度有关。更直接地说，公式的本质是利用“素数的数量”来找到素数。这就像是要数出有多少个苹果，结果发现你需要先知道苹果的总数才能开始数。在实际应用中，我们通常是通过已知的素数（或者通过其他算法计算出的素数）来确定第 $n$ 个素数是哪个，而不是反过来用一个如此复杂的公式去“生成”它。
Willans 公式的重要性：理论的深度与数学的魅力
尽管如此，Willans 公式绝非毫无价值。它的意义在于：
展示了数学的可能性： 它证明了即使是像素数这样看似随机分布的数，也可能存在一个（尽管极其复杂的）显式公式来生成它们。这本身就是数学深刻性的一个体现。
连接了不同的数学概念： 公式巧妙地将数论（Wilson 定理）、三角函数和组合数学中的向下取整函数联系在一起，展示了数学不同分支之间的融会贯通。
激发了进一步的研究： 这个公式的出现，也促使数学家们思考是否存在更简洁、更实用的素数生成公式，或者以不同的方式来理解素数的分布规律。
结论：
素数的 Willans 公式在理论上是正确的，它能够精确地生成第 $n$ 个素数。然而，由于其天文数字般的计算量和极低的效率，它在实际的素数查找或生成任务中几乎没有应用价值。它的价值更多地体现在其数学上的优雅、理论上的深刻性，以及它所展示出的数学世界的奇妙联系。它更像是一个数学上的“奇观”，而非实用的工具。对于我们理解素数的性质和数学的边界，Willans 公式提供了一个引人入胜的视角。
关于素数生成，数学家们孜孜不倦地寻求着规律和公式。在众多尝试中，Willans 公式因其独特的形式而格外引人注目，它试图用一个明确的公式来描述第 $n$ 个素数。那么，这个公式是否真的能够精确地生成素数呢？让我们深入探究一番。
Willans 公式究竟是什么？
Willans 公式，由 Clifford Willans 在 1964 年提出，其形式如下：
$p_n = 1 + sum_{i=1}^{2^n} leftlfloor left( frac{n}{sum_{j=1}^{i} leftlfloor cos^2left(frac{(j1)!pi}{j} ight) ight floor} ight)^{1/n} ight floor$
乍一看，这公式确实有些复杂，充满了阶乘、求和以及向下取整函数（floor function）。其核心思想是利用 Wilson 定理 的一个变体。Wilson 定理指出，如果 $p$ 是一个素数，则 $(p1)! equiv 1 pmod{p}$。Willans 将此推广，通过一个精心构造的表达式来判断某个数是否为素数，并以此来“计数”素数。
简单来说，公式的右侧部分是在尝试构建一个表达式，该表达式的值在 $i$ 等于第 $n$ 个素数时会发生特定的变化，从而使得整个求和能够“捕捉”到第 $n$ 个素数。公式中的向下取整函数 $lfloor x floor$ 表示小于或等于 $x$ 的最大整数。
公式的“正确性”：理论上的优雅与实践中的挑战
从理论上讲，Willans 公式是 正确 的。它确实能够根据 $n$ 的值，计算出第 $n$ 个素数。这背后依赖于一个巧妙的构造：
Wilson 定理的变体与素数判断： 公式中 $leftlfloor cos^2left(frac{(j1)!pi}{j} ight) ight floor$ 这一项是关键。当 $j$ 是素数时，根据 Wilson 定理的推论，$(j1)! equiv 1 pmod{j}$。这意味着 $frac{(j1)!pi}{j}$ 实际上是某个整数 $ imes pi$ 的一个“偏移量”。而 $cos^2$ 函数在这里的作用是巧妙地将其转化为一个接近于 0 或 1 的值。具体来说，当 $j$ 是素数时，$frac{(j1)!pi}{j}$ 的余数项会使得 $cos^2$ 的值非常接近于 1。而当 $j$ 是合数时，$cos^2$ 的值会非常接近于 0。
“计数”素数的机制： 整个求和 $sum_{j=1}^{i} leftlfloor cos^2left(frac{(j1)!pi}{j} ight) ight floor$ 实际上是在计算从 1 到 $i$ 之间素数的个数。当这个计数达到 $n$ 时，外层求和的表达式 $left( frac{n}{dots} ight)^{1/n}$ 的值就会发生变化，使得向下取整后能够精确地得到第 $n$ 个素数。
然而，尽管理论正确，Willans 公式在实际应用中却显得“不那么有用”，甚至可以说是一种“理论上的存在”。原因如下：
1. 计算量巨大到令人发指： 要计算第 $n$ 个素数，需要计算到 $2^n$ 这么大的数。即使是计算相对较小的 $n$，例如 $n=10$，我们也需要计算到 $2^{10} = 1024$。这意味着我们需要计算从 1 到 1024 的所有数的阶乘，然后进行大量的三角函数和取整运算。这对于任何实际的计算来说，都是完全不可行的。更不用说计算更大的素数了，其计算成本将呈指数级增长。
2. 效率低下到无法接受： 相比于我们目前已知的更有效的素数筛选方法（例如埃拉托斯特尼筛法），Willans 公式在效率上简直是天壤之别。这些筛法可以通过系统地排除合数来找到素数，其计算效率远高于枚举和测试每个数的素性。
3. “先有鸡还是先有蛋”的悖论： 要计算第 $n$ 个素数 $p_n$，公式中需要用到 $i$ 到 $2^n$ 的值，而 $2^n$ 的大小本身就与 $p_n$ 的增长速度有关。更直接地说，公式的本质是利用“素数的数量”来找到素数。这就像是要数出有多少个苹果，结果发现你需要先知道苹果的总数才能开始数。在实际应用中，我们通常是通过已知的素数（或者通过其他算法计算出的素数）来确定第 $n$ 个素数是哪个，而不是反过来用一个如此复杂的公式去“生成”它。
Willans 公式的重要性：理论的深度与数学的魅力
尽管如此，Willans 公式绝非毫无价值。它的意义在于：
展示了数学的可能性： 它证明了即使是像素数这样看似随机分布的数，也可能存在一个（尽管极其复杂的）显式公式来生成它们。这本身就是数学深刻性的一个体现。
连接了不同的数学概念： 公式巧妙地将数论（Wilson 定理）、三角函数和组合数学中的向下取整函数联系在一起，展示了数学不同分支之间的融会贯通。
激发了进一步的研究： 这个公式的出现，也促使数学家们思考是否存在更简洁、更实用的素数生成公式，或者以不同的方式来理解素数的分布规律。
结论：
素数的 Willans 公式在理论上是正确的，它能够精确地生成第 $n$ 个素数。然而，由于其天文数字般的计算量和极低的效率，它在实际的素数查找或生成任务中几乎没有应用价值。它的价值更多地体现在其数学上的优雅、理论上的深刻性，以及它所展示出的数学世界的奇妙联系。它更像是一个数学上的“奇观”，而非实用的工具。对于我们理解素数的性质和数学的边界，Willans 公式提供了一个引人入胜的视角。
网友意见
这些个奇形怪状的素数公式, 无非就是一个命题/定理中找出一个断言, 然后用谓词重写这个断言, 然后用数学符号重写这些谓词.
Willson 定理
是素数, 当且仅当 , 时同样满足此关系.
注: Willson 定理是 1 被踢出素数的受害者, 当时提出的时候可是不用对1特殊处理的...
所以对于素数和1, 我们可以下断言:
换个表述也就是说:
如果 , 那么 就除的尽, 反之合数就除不尽.
我们给他配个有界函数, 比如 , 然后调整下周期, 让它只有在断言成立的时候能取到最大值1
不成立的时候下取整变成0就行, 与是我们得到了一个万能的判定素性的布尔函数:
然后对所有小于 的自然数判断一遍加起来就能得到计数函数:
计数记得去掉1个, 1 现在规定它不是素数.
这个函数解析数论里常记作 .
给定自然数 , 满足 的数的数量就是 .
啊, 讨厌的 1...同理我们构造真值函数和计数函数, 最后得到素数公式:
然后问题转化为怎么消掉这些个谓词.
然后这个无穷大也得消了, 不然就不叫公式(封闭解)了...
接下来要用到一些素数密度的估计.
对于任意自然数 和 之间至少有一个素数.
也就是说小于等于 的素数至少有 个.
于是我们可以把这个无穷大消掉了, 换成 , 后面的求和都是 0 了不用管.
另一方面, Willans 发现了一个非常巧妙的真值函数:
由此才得到了完全由初等函数和有限和的 Willans 素数公式
综上所示:
比 更好的界也是有的, 我们不去管他, 接下来把 也替换掉, 最终得到:
Quite Easily Done!
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