如何理解在对对易关系取trace时出现的这种矛盾？
好，我们来好好聊聊这个“对对易关系”取trace时出现的“矛盾”，争取不让它听起来像AI一本正经地胡说八道。
你遇到的问题，我大概能体会到。这种“矛盾”感，往往源于我们习惯性地从一个角度去理解数学对象，但当换个操作（比如取trace）时，新的视角就可能冲击了我们之前的认知。
我们先别急着下结论，先铺垫一下，把几个关键的概念说清楚。
1. “对对易关系”到底是个啥？
“对对易关系”这个说法，我猜你指的应该是两个相互“对应”而且“易位”（交换位置）的量。在数学里，最常见也最容易引起trace操作关注的，就是矩阵。
矩阵的“对应”： 两个矩阵A和B，如果它们的维度相同，那么它们是“对应”的。我们可以在相同位置的元素上进行操作。
矩阵的“易位”： 如果我们谈论的是两个矩阵A和B，并且它们之间存在某种关系，使得交换它们的位置（例如在乘法中）会产生某种有趣的性质，那么就可以说它们有“易位”的意味。
然而，你提到“对对易关系取trace”，这里的“对对易”可能更侧重于一种结构上的对应，而不仅仅是两个独立的矩阵A和B。它更可能指的是一个更大的结构，这个结构中包含了两个“易位”的子结构，而这些子结构又是“对应”的。
比如说，在一些表示论、量子力学或者微分几何的语境中，我们可能会遇到形如 $ ho(g_1) otimes ho(g_2) $ 这样的张量积，其中 $ ho(g_1) $ 和 $ ho(g_2) $ 是群表示，而 $ g_1 $ 和 $ g_2 $ 是群中的元素。如果存在某种对称性，使得交换 $ g_1 $ 和 $ g_2 $ 的时候，表示也“易位”了，并且这种易位是“对应”于某种操作的，那就有点像你在说的“对对易关系”。
更抽象一点，可以想象一个更大的空间，里面有两个“副本”或者“子系统”，它们的状态是相互关联的，并且可以被“交换”。
2. Trace 是什么？
Trace (迹) 是一个很重要的线性算子。对于一个方阵 $A$，它的trace就是对角线上所有元素的和：
$ ext{Tr}(A) = sum_{i=1}^n A_{ii} $
Trace 最核心的性质之一是循环不变性 (Cyclic Property)：
$ ext{Tr}(ABC) = ext{Tr}(BCA) = ext{Tr}(CAB) $
只要乘积是方阵，这个性质就成立。
3. 矛盾可能从何而来？
现在我们把这两件事放在一起，“对对易关系”和“取trace”。你感觉到的“矛盾”，很可能是因为：
a) Trace 隐藏了“易位”的信息，但“对对易关系”强调的是“易位”。
想象一下，你有一个系统，里面有两个相互作用的粒子，或者两个相互关联的子系统。我们用某种方式（比如密度矩阵或者某种算符）来描述这个系统。
如果你描述的是一个单个的、不区分的粒子（或者一个高度对称的系统），它的量子态可能是对称的或者反对称的。当我们对这样的系统取trace时，我们是在“平均”或者“压平”所有可能的状态，得到一个全局的、不依赖于具体哪个粒子占据哪个位置的量。
而“对对易关系”暗示的，可能是系统存在两个可区分的、可以被交换的“部分”。
举个例子来解释这个潜在的矛盾：
假设我们考虑一个由两个量子比特组成的系统。
情况一：两个独立的、可区分的量子比特。
我们用 $ ho_1 $ 和 $ ho_2 $ 分别表示两个量子比特的密度矩阵。如果我们关心的是它们合起来的系统，那密度矩阵就是 $ ho_{12} = ho_1 otimes ho_2 $。
那么 $ ext{Tr}( ho_{12}) = ext{Tr}( ho_1 otimes ho_2) = ext{Tr}( ho_1) ext{Tr}( ho_2) $。
因为单个量子比特的密度矩阵的trace总是1（ $ ext{Tr}( ho_1) = 1 $, $ ext{Tr}( ho_2) = 1 $），所以 $ ext{Tr}( ho_{12}) = 1 imes 1 = 1 $。
这里，trace 1 是一个很自然的性质，表示系统的总概率为1。
情况二：一个“对对易”的系统，或者说，我们关注的是“交换”操作。
现在，设想我们的“对对易关系”指的是，存在某种操作 $ U $，使得 $ U $ 作用在系统上，并且 $ U $ 能够“交换”两个子系统的“身份”或“状态”。
例如，我们可能不是直接看 $ ho_1 otimes ho_2 $，而是看一个涉及到交换的量。
在一个更复杂的语境下，我们可能会遇到一个算符，它结合了两个算符 A 和 B，并且这个结合方式体现了A和B的“对对易”性。
这里的矛盾就可能出在这里：
1. 我们可能是在看一个张量积的算符，比如 $ A otimes B $。
如果 A 和 B 是两个独立的算符，那么 $ ext{Tr}(A otimes B) = ext{Tr}(A) ext{Tr}(B) $。
如果 A 和 B 并不是独立，而是通过某种“对对易”的方式联系在一起，比如它们是同一个算符在两个“位置”上的“映照”或者“分身”，并且这两个分身可以交换。
2. “对对易”可能意味着某种置换。
假设我们有一个算符 $ mathcal{O} $，它作用在一个由两个部分组成的系统上。这个算符可能长这样： $ mathcal{O} = sum_i C_i otimes D_i $，其中 $ C_i $ 作用在第一个部分，$ D_i $ 作用在第二个部分。
如果“对对易”是指，存在一个算符 $ P $（比如一个交换算符），使得 $ P $ 交换两个部分，而 $ mathcal{O} $ 的某种表示是“不变”的，或者以一种特定的方式“转化”的。
举一个更具体的、能体现矛盾的场景：
想象我们不是在处理两个独立的算符 $A$ 和 $B$，而是有一个算符 $M$，它的结构是这样的：
$ M = egin{pmatrix} A & 0 \ 0 & B end{pmatrix} $
这里的 $A$ 和 $B$ 是方阵，假设它们维度相同。
那么 $ ext{Tr}(M) = ext{Tr}(A) + ext{Tr}(B) $。
这看上去没什么问题。
但是，如果“对对易关系”指的是：
我们考虑的是一个更特殊的结构，它包含了 A 和 B，而且 A 和 B 的位置是可交换的，但它们相互对应。
比如，假设我们考虑的是一个算符 $S$，它是一个“块对角”矩阵，但对角块之间有某种联系：
$ S = egin{pmatrix} X & Y \ Z & W end{pmatrix} $
如果这里的“对对易关系”意味着 $ X $ 和 $ W $ 是“对应”的，而 $ Y $ 和 $ Z $ 也是“对应”的，并且它们之间可以“易位”。
一个更可能的“矛盾”来源是，trace 操作本身就“抹平”了信息。
trace 的循环不变性 $ ext{Tr}(AB) = ext{Tr}(BA) $ 告诉我们，乘法的顺序不影响trace。这是一种对信息进行“平均”的表现。
当你有一个“对对易关系”时，你可能是在关注具体的“易位”行为，比如 $ AB $ 和 $ BA $ 的差别。但trace却告诉你， $ ext{Tr}(AB) = ext{Tr}(BA) $，这直接“掩盖”了 $ AB $ 和 $ BA $ 本身作为算符的区别。
换句话说，trace 是一种“约化”，它把一个高维的、结构复杂的对象（矩阵）映射到一个标量。在这个约化过程中，一些关于“易位”的、关于“位置”的、关于“结构”的细节必然会丢失。
如果你对“对对易关系”的理解，恰恰在于抓住“易位”带来的具体变化（比如 $ AB eq BA $ 带来的某种效应），那么当你对涉及这个关系的某个对象取trace时，就会发现trace的结果并不能直接反映出那种“易位”带来的非通勤性或者具体的结构差异。
举一个量子信息领域的例子：
在量子信息中，我们经常会计算两个子系统的 偏迹 (Partial Trace)。偏迹也是一种trace。
假设一个两体系统的密度矩阵是 $ ho_{AB} $。
$ ho_A = ext{Tr}_B( ho_{AB}) $ （对 B 空间取迹，得到 A 的约化密度矩阵）
$ ho_B = ext{Tr}_A( ho_{AB}) $ （对 A 空间取迹，得到 B 的约化密度矩阵）
如果 $ ho_{AB} $ 是一个纠缠态，那么 $ ho_A $ 和 $ ho_B $ 通常是混合态（即使 A 和 B 的初态是纯态）。
现在，如果你的“对对易关系”是指纠缠，或者某种非局域关联，那么trace（包括偏迹）操作本身就是在“抹去”这种非局域性。
比如说，如果你计算的是一个最大纠缠态 $ |Psi^+ angle = frac{1}{sqrt{2}}(|00 angle + |11 angle) $。
其密度矩阵是 $ ho = |Psi^+ anglelanglePsi^+| = frac{1}{2}(|00 anglelangle00| + |00 anglelangle11| + |11 anglelangle00| + |11 anglelangle11|) $。
对其中一个量子比特取偏迹（比如B），得到：
$ ho_A = ext{Tr}_B( ho) = frac{1}{2}(|0 anglelangle0| + |1 anglelangle1|) = frac{1}{2} I $
这个结果是一个完全混合态。trace of this is $ ext{Tr}( ho_A) = ext{Tr}(frac{1}{2} I) = frac{1}{2} ext{Tr}(I) = frac{1}{2} imes 2 = 1 $。
这里，“对对易关系”体现在 $ |00 angle $ 和 $ |11 angle $ 之间存在一种特殊的“关联”和“对称性”，或者说，交换两个量子比特的“身份”会导致一种特定的变换。但当你取偏迹时，你得到的只是一个孤立量子比特的混合态，原先那层“纠缠”的、“交换”的精妙结构，通过trace的操作，变得不那么明显了。
总结一下，可能出现的“矛盾”点：
1. Trace 的“抹平”效应 vs. “对对易关系”的“结构保留”需求。 Trace 倾向于将对象约化到更低的维度，丢弃了关于“位置”、“顺序”和“局部结构”的信息。而“对对易关系”恰恰可能是在强调这些信息。
2. 循环不变性 vs. 非通勤性。 如果“对对易关系”涉及的是非通勤的算符（比如 $ AB eq BA $），trace 的循环不变性 $ ext{Tr}(AB) = ext{Tr}(BA) $ 就直接“消弭”了 $ AB $ 和 $ BA $ 之间最重要的区别——顺序。
3. 整体性质 vs. 局部（或子系统）性质。 Trace 可以看作是从整体的视角来审视一个系统，而“对对易关系”可能更关注系统内部不同部分之间的互动和交换。Trace 操作的结果（一个标量）往往不能直接揭示这种互动和交换的动态或结构。
所以，你遇到的“矛盾”，很可能不是trace算子本身的“错误”，而是trace操作将复杂的、具有“易位”结构的量约化成了一个更简单的标量，而这个约化过程，不可避免地会隐藏或抹去了你所关注的“对对易”所蕴含的精细结构和动态信息。你期望trace能保留“易位”的痕迹，但trace恰恰是一个“不看顺序”、“不关心位置”的算子，所以两者之间就产生了“不协调”。
希望这样解释能让你感觉更清晰一些，别想得太复杂，有时候就是不同工具“处理”信息的方式不一样，自然就可能产生“矛盾”的感觉。
你遇到的问题，我大概能体会到。这种“矛盾”感，往往源于我们习惯性地从一个角度去理解数学对象，但当换个操作（比如取trace）时，新的视角就可能冲击了我们之前的认知。
我们先别急着下结论，先铺垫一下，把几个关键的概念说清楚。
1. “对对易关系”到底是个啥？
“对对易关系”这个说法，我猜你指的应该是两个相互“对应”而且“易位”（交换位置）的量。在数学里，最常见也最容易引起trace操作关注的，就是矩阵。
矩阵的“对应”： 两个矩阵A和B，如果它们的维度相同，那么它们是“对应”的。我们可以在相同位置的元素上进行操作。
矩阵的“易位”： 如果我们谈论的是两个矩阵A和B，并且它们之间存在某种关系，使得交换它们的位置（例如在乘法中）会产生某种有趣的性质，那么就可以说它们有“易位”的意味。
然而，你提到“对对易关系取trace”，这里的“对对易”可能更侧重于一种结构上的对应，而不仅仅是两个独立的矩阵A和B。它更可能指的是一个更大的结构，这个结构中包含了两个“易位”的子结构，而这些子结构又是“对应”的。
比如说，在一些表示论、量子力学或者微分几何的语境中，我们可能会遇到形如 $ ho(g_1) otimes ho(g_2) $ 这样的张量积，其中 $ ho(g_1) $ 和 $ ho(g_2) $ 是群表示，而 $ g_1 $ 和 $ g_2 $ 是群中的元素。如果存在某种对称性，使得交换 $ g_1 $ 和 $ g_2 $ 的时候，表示也“易位”了，并且这种易位是“对应”于某种操作的，那就有点像你在说的“对对易关系”。
更抽象一点，可以想象一个更大的空间，里面有两个“副本”或者“子系统”，它们的状态是相互关联的，并且可以被“交换”。
2. Trace 是什么？
Trace (迹) 是一个很重要的线性算子。对于一个方阵 $A$，它的trace就是对角线上所有元素的和：
$ ext{Tr}(A) = sum_{i=1}^n A_{ii} $
Trace 最核心的性质之一是循环不变性 (Cyclic Property)：
$ ext{Tr}(ABC) = ext{Tr}(BCA) = ext{Tr}(CAB) $
只要乘积是方阵，这个性质就成立。
3. 矛盾可能从何而来？
现在我们把这两件事放在一起，“对对易关系”和“取trace”。你感觉到的“矛盾”，很可能是因为：
a) Trace 隐藏了“易位”的信息，但“对对易关系”强调的是“易位”。
想象一下，你有一个系统，里面有两个相互作用的粒子，或者两个相互关联的子系统。我们用某种方式（比如密度矩阵或者某种算符）来描述这个系统。
如果你描述的是一个单个的、不区分的粒子（或者一个高度对称的系统），它的量子态可能是对称的或者反对称的。当我们对这样的系统取trace时，我们是在“平均”或者“压平”所有可能的状态，得到一个全局的、不依赖于具体哪个粒子占据哪个位置的量。
而“对对易关系”暗示的，可能是系统存在两个可区分的、可以被交换的“部分”。
举个例子来解释这个潜在的矛盾：
假设我们考虑一个由两个量子比特组成的系统。
情况一：两个独立的、可区分的量子比特。
我们用 $ ho_1 $ 和 $ ho_2 $ 分别表示两个量子比特的密度矩阵。如果我们关心的是它们合起来的系统，那密度矩阵就是 $ ho_{12} = ho_1 otimes ho_2 $。
那么 $ ext{Tr}( ho_{12}) = ext{Tr}( ho_1 otimes ho_2) = ext{Tr}( ho_1) ext{Tr}( ho_2) $。
因为单个量子比特的密度矩阵的trace总是1（ $ ext{Tr}( ho_1) = 1 $, $ ext{Tr}( ho_2) = 1 $），所以 $ ext{Tr}( ho_{12}) = 1 imes 1 = 1 $。
这里，trace 1 是一个很自然的性质，表示系统的总概率为1。
情况二：一个“对对易”的系统，或者说，我们关注的是“交换”操作。
现在，设想我们的“对对易关系”指的是，存在某种操作 $ U $，使得 $ U $ 作用在系统上，并且 $ U $ 能够“交换”两个子系统的“身份”或“状态”。
例如，我们可能不是直接看 $ ho_1 otimes ho_2 $，而是看一个涉及到交换的量。
在一个更复杂的语境下，我们可能会遇到一个算符，它结合了两个算符 A 和 B，并且这个结合方式体现了A和B的“对对易”性。
这里的矛盾就可能出在这里：
1. 我们可能是在看一个张量积的算符，比如 $ A otimes B $。
如果 A 和 B 是两个独立的算符，那么 $ ext{Tr}(A otimes B) = ext{Tr}(A) ext{Tr}(B) $。
如果 A 和 B 并不是独立，而是通过某种“对对易”的方式联系在一起，比如它们是同一个算符在两个“位置”上的“映照”或者“分身”，并且这两个分身可以交换。
2. “对对易”可能意味着某种置换。
假设我们有一个算符 $ mathcal{O} $，它作用在一个由两个部分组成的系统上。这个算符可能长这样： $ mathcal{O} = sum_i C_i otimes D_i $，其中 $ C_i $ 作用在第一个部分，$ D_i $ 作用在第二个部分。
如果“对对易”是指，存在一个算符 $ P $（比如一个交换算符），使得 $ P $ 交换两个部分，而 $ mathcal{O} $ 的某种表示是“不变”的，或者以一种特定的方式“转化”的。
举一个更具体的、能体现矛盾的场景：
想象我们不是在处理两个独立的算符 $A$ 和 $B$，而是有一个算符 $M$，它的结构是这样的：
$ M = egin{pmatrix} A & 0 \ 0 & B end{pmatrix} $
这里的 $A$ 和 $B$ 是方阵，假设它们维度相同。
那么 $ ext{Tr}(M) = ext{Tr}(A) + ext{Tr}(B) $。
这看上去没什么问题。
但是，如果“对对易关系”指的是：
我们考虑的是一个更特殊的结构，它包含了 A 和 B，而且 A 和 B 的位置是可交换的，但它们相互对应。
比如，假设我们考虑的是一个算符 $S$，它是一个“块对角”矩阵，但对角块之间有某种联系：
$ S = egin{pmatrix} X & Y \ Z & W end{pmatrix} $
如果这里的“对对易关系”意味着 $ X $ 和 $ W $ 是“对应”的，而 $ Y $ 和 $ Z $ 也是“对应”的，并且它们之间可以“易位”。
一个更可能的“矛盾”来源是，trace 操作本身就“抹平”了信息。
trace 的循环不变性 $ ext{Tr}(AB) = ext{Tr}(BA) $ 告诉我们，乘法的顺序不影响trace。这是一种对信息进行“平均”的表现。
当你有一个“对对易关系”时，你可能是在关注具体的“易位”行为，比如 $ AB $ 和 $ BA $ 的差别。但trace却告诉你， $ ext{Tr}(AB) = ext{Tr}(BA) $，这直接“掩盖”了 $ AB $ 和 $ BA $ 本身作为算符的区别。
换句话说，trace 是一种“约化”，它把一个高维的、结构复杂的对象（矩阵）映射到一个标量。在这个约化过程中，一些关于“易位”的、关于“位置”的、关于“结构”的细节必然会丢失。
如果你对“对对易关系”的理解，恰恰在于抓住“易位”带来的具体变化（比如 $ AB eq BA $ 带来的某种效应），那么当你对涉及这个关系的某个对象取trace时，就会发现trace的结果并不能直接反映出那种“易位”带来的非通勤性或者具体的结构差异。
举一个量子信息领域的例子：
在量子信息中，我们经常会计算两个子系统的 偏迹 (Partial Trace)。偏迹也是一种trace。
假设一个两体系统的密度矩阵是 $ ho_{AB} $。
$ ho_A = ext{Tr}_B( ho_{AB}) $ （对 B 空间取迹，得到 A 的约化密度矩阵）
$ ho_B = ext{Tr}_A( ho_{AB}) $ （对 A 空间取迹，得到 B 的约化密度矩阵）
如果 $ ho_{AB} $ 是一个纠缠态，那么 $ ho_A $ 和 $ ho_B $ 通常是混合态（即使 A 和 B 的初态是纯态）。
现在，如果你的“对对易关系”是指纠缠，或者某种非局域关联，那么trace（包括偏迹）操作本身就是在“抹去”这种非局域性。
比如说，如果你计算的是一个最大纠缠态 $ |Psi^+ angle = frac{1}{sqrt{2}}(|00 angle + |11 angle) $。
其密度矩阵是 $ ho = |Psi^+ anglelanglePsi^+| = frac{1}{2}(|00 anglelangle00| + |00 anglelangle11| + |11 anglelangle00| + |11 anglelangle11|) $。
对其中一个量子比特取偏迹（比如B），得到：
$ ho_A = ext{Tr}_B( ho) = frac{1}{2}(|0 anglelangle0| + |1 anglelangle1|) = frac{1}{2} I $
这个结果是一个完全混合态。trace of this is $ ext{Tr}( ho_A) = ext{Tr}(frac{1}{2} I) = frac{1}{2} ext{Tr}(I) = frac{1}{2} imes 2 = 1 $。
这里，“对对易关系”体现在 $ |00 angle $ 和 $ |11 angle $ 之间存在一种特殊的“关联”和“对称性”，或者说，交换两个量子比特的“身份”会导致一种特定的变换。但当你取偏迹时，你得到的只是一个孤立量子比特的混合态，原先那层“纠缠”的、“交换”的精妙结构，通过trace的操作，变得不那么明显了。
总结一下，可能出现的“矛盾”点：
1. Trace 的“抹平”效应 vs. “对对易关系”的“结构保留”需求。 Trace 倾向于将对象约化到更低的维度，丢弃了关于“位置”、“顺序”和“局部结构”的信息。而“对对易关系”恰恰可能是在强调这些信息。
2. 循环不变性 vs. 非通勤性。 如果“对对易关系”涉及的是非通勤的算符（比如 $ AB eq BA $），trace 的循环不变性 $ ext{Tr}(AB) = ext{Tr}(BA) $ 就直接“消弭”了 $ AB $ 和 $ BA $ 之间最重要的区别——顺序。
3. 整体性质 vs. 局部（或子系统）性质。 Trace 可以看作是从整体的视角来审视一个系统，而“对对易关系”可能更关注系统内部不同部分之间的互动和交换。Trace 操作的结果（一个标量）往往不能直接揭示这种互动和交换的动态或结构。
所以，你遇到的“矛盾”，很可能不是trace算子本身的“错误”，而是trace操作将复杂的、具有“易位”结构的量约化成了一个更简单的标量，而这个约化过程，不可避免地会隐藏或抹去了你所关注的“对对易”所蕴含的精细结构和动态信息。你期望trace能保留“易位”的痕迹，但trace恰恰是一个“不看顺序”、“不关心位置”的算子，所以两者之间就产生了“不协调”。
希望这样解释能让你感觉更清晰一些，别想得太复杂，有时候就是不同工具“处理”信息的方式不一样，自然就可能产生“矛盾”的感觉。
网友意见
首先隔壁答案已经指出， 和 均同构于无穷维矩阵。但无穷维算符不一定不能定义迹，只是有条件。
这里的坐标和动量算符都不满足足够“好”的性质（见下文），所以不能定义trace。
对于无穷维算符，要引入trace，比较麻烦。
对于一个算符 ，必须具有如下性质：
具有正的本征值：
且
此时可定义：
此处 是Hilbert空间中的任意一组基。可证明，这个trace是有限的：
Akhiezer N.I., Glazman I.M. Theory of linear operators in Hilbert space, vol.1 (1981) 第五章
还找到一个有意思的讨论（又是UC Berkeley的EECS的课。。。。。。那边对EECS的学生来说，真是知识的海洋啊）：
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好的，我们来聊聊北大中文系陈平原先生关于人文学科职业生涯的一句话，并尝试深入解读。陈平原先生，作为国内顶尖中文系的一位重要学者，他对人文学科的思考，尤其是关于其职业生涯的论断，往往带着深厚的学养和对现实的洞察。他曾说过一些非常精辟的话，我们今天就围绕着其中一句，试着把它掰开了、揉碎了，让大家有个更清.............
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你好！很高兴能和你一起深入探讨“矩阵可对角化”与“特征值的代数重数等于几何重数”之间的深刻联系。这不仅仅是一个数学定理，它更是理解矩阵行为、揭示其内在结构的关键钥匙。让我们一步一步来，把这其中的奥秘掰开了揉碎了说清楚。首先，我们得把一些基础概念理顺了。1. 什么叫做“矩阵”？简单来说，矩阵就是一堆数.............
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