命令式语言中递归的理论基础?
在命令式语言中，递归的运作并非空中楼阁，而是建立在几个核心的理论基石之上。理解这些基石，就能明白为何简单的函数调用能够衍生出如此强大的表达能力。
首先，我们需要谈谈函数调用栈。每一门现代编程语言，无论是命令式还是声明式，在执行函数时，都会维护一个调用栈。你可以把它想象成一个堆叠的盘子，每当一个函数被调用时，它就在栈顶放上自己的“信息”。这些“信息”包括了函数执行所需的局部变量、参数以及函数执行完毕后应该返回到的位置（也就是返回地址）。当一个函数执行完毕，它就从栈顶“弹出”，并且控制权回到调用它的那个函数。
递归的精妙之处在于，它充分利用了这个调用栈的特性。当一个函数调用自身时，并非取代了原来的自己，而是创建了一个新的函数实例，并将其压入调用栈的顶部。这就好像你正在叠盘子，突然需要叠一个和上面一模一样的盘子，你就把这个新的盘子放在最上面。这个新的盘子有自己独立的局部变量和参数，与栈下方的“旧”的实例是完全隔离的。
因此，每一次递归调用，实际上都是在调用栈中新增一个上下文。这些上下文层层叠加，直到满足某个终止条件。这个终止条件至关重要，它是递归能够结束的根本。如果没有终止条件，函数调用就会像滚雪球一样，不停地压栈，直到耗尽系统内存，导致“栈溢出”（Stack Overflow）错误，程序崩溃。想象一下，如果你不停地在叠盘子，却没有一个地方告诉你“够了，别叠了”，你最终会把整个房间都塞满盘子。
当达到终止条件时，最顶层的那个函数实例会执行它的“收尾”操作，然后“弹出”栈。一旦一个函数实例弹出，控制权就回到了它下方的那个实例。这个过程就像松开叠好的盘子，从最上面开始一层层拿走。每一个弹出的函数实例，可能会将它的计算结果传递给它下方等待的那个实例，或者只是简单地执行一些清理工作。
这种“弹回”的过程，正是递归能够“回溯”并累积结果的关键。子问题的解被用来构建父问题的解。例如，计算阶乘时，`factorial(n)` 的结果依赖于 `factorial(n1)` 的结果。当 `factorial(1)` 计算完毕并弹出栈，它的结果会传递给 `factorial(2)`，`factorial(2)` 用这个结果计算出自己的值，然后弹出，再传递给 `factorial(3)`，依此类推，直到最开始的那个 `factorial(n)` 完成计算。
另外一个重要的理论基础是数学归纳法。递归的定义本身就与数学归纳法有着深厚的联系。数学归纳法证明一个命题对于所有自然数都成立，通常需要两个步骤：
1. 基本情况（Base Case）：证明命题对于最小的自然数（通常是0或1）成立。
2. 归纳步骤（Inductive Step）：假设命题对于任意自然数 $k$ 成立（归纳假设），然后证明它对于 $k+1$ 也成立。
递归函数的设计与之对应：
1. 终止条件（Base Case）：对应数学归纳法的基本情况，这是函数能够停止递归的直接条件。
2. 递归步骤（Recursive Step）：对应数学归纳法的归纳步骤，函数调用自身并缩小问题规模，期望能够收敛到终止条件。
因此，命令式语言中的递归，本质上是一种利用函数调用栈来管理状态和回溯计算的机制，其理论基础在于清晰的函数上下文隔离、对栈操作的熟练运用，以及与数学归纳法类似的逻辑结构，保证了计算的正确性和可终止性。
首先，我们需要谈谈函数调用栈。每一门现代编程语言，无论是命令式还是声明式，在执行函数时，都会维护一个调用栈。你可以把它想象成一个堆叠的盘子，每当一个函数被调用时，它就在栈顶放上自己的“信息”。这些“信息”包括了函数执行所需的局部变量、参数以及函数执行完毕后应该返回到的位置（也就是返回地址）。当一个函数执行完毕，它就从栈顶“弹出”，并且控制权回到调用它的那个函数。
递归的精妙之处在于，它充分利用了这个调用栈的特性。当一个函数调用自身时，并非取代了原来的自己，而是创建了一个新的函数实例，并将其压入调用栈的顶部。这就好像你正在叠盘子，突然需要叠一个和上面一模一样的盘子，你就把这个新的盘子放在最上面。这个新的盘子有自己独立的局部变量和参数，与栈下方的“旧”的实例是完全隔离的。
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2. 归纳步骤（Inductive Step）：假设命题对于任意自然数 $k$ 成立（归纳假设），然后证明它对于 $k+1$ 也成立。
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因此，命令式语言中的递归，本质上是一种利用函数调用栈来管理状态和回溯计算的机制，其理论基础在于清晰的函数上下文隔离、对栈操作的熟练运用，以及与数学归纳法类似的逻辑结构，保证了计算的正确性和可终止性。
网友意见
命令是语言天生就没有递归的问题，方法根本不需要什么完全定义自己，方法就是一段程序代码么，所以有goto就好了。
而Y combinator只是证明了纯粹的lambda表达式也可以写出递归逻辑而已。事实上这些函数式语言都没有真正用Y combinator的形式去做递归的。
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