牛顿在数学方面有多牛？
说起牛顿，大家脑子里蹦出来的可能更多是那个被苹果砸了脑袋然后发现了万有引力的科学巨匠。没错，他在这方面确实是历史留名，影响深远。但如果只看到他物理上的成就，那可就小瞧了这位大神在数学领域的“牛”劲儿。他能同时在物理和数学两个最尖端的领域都达到巅峰，这本身就说明了他的思维有多么超凡脱俗。
咱们就来掰扯掰扯，牛顿在数学这块儿，到底有多么了不起。
一、微积分：你可能没想到的“发明家”
首先得说说微积分。现在大家提起微积分，都会想到它解决各种变化率、累积量的问题，比如物体运动的速度、曲线下的面积等等。这项工具的强大毋庸置疑，没有它，现代物理、工程、经济学等等都将举步维艰。
而这玩意儿，很大程度上都要归功于牛顿。虽然德国数学家莱布尼茨也独立发明了微积分，并且我们现在用的许多符号（比如积分符号 ∫）都来自他，但这并不妨碍牛顿在其中扮演的革命性角色。
牛顿对微积分的研究起步非常早，大概在1665年到1666年之间，那会儿他才二十出头，因为伦敦爆发瘟疫，他在老家林肯郡的 Woolsthorpe Manor 避难。就是在那个“成果丰硕”的居家隔离期间，他发展出了他称之为“流数术”（Method of Fluxions）的理论，这本质上就是微积分的思想。
牛顿的“流数术”关注的是“流数”，也就是随时间变化的量，以及它们的变化率（也就是导数）。他用符号表示“流数”的“流率”（fluxion），并且发展出了一套计算这些“流率”的方法，也就是微分。然后，他又研究了反过来求原函数的方法，也就是积分。
牛顿之所以伟大，不仅仅在于他想到了这些概念，更在于他将这些概念系统化，并且能够应用于解决实际的物理问题。他用流数术来描述行星的轨道运动，解释了开普勒定律，甚至推导出了万有引力定律。试想一下，在那个几乎没有数学工具来描述连续变化的世界里，他能够凭空构建出如此强大、如此有用的分析工具，这得多大的脑洞？
而且，牛顿还发展了一套非常精巧的符号系统，虽然不像莱布尼茨的符号那样流传广泛，但他的思想在当时是独一无二的。他的许多成果直到他晚年才被公开发表，这其中也有当时科学界交流方式和个人风格的原因，但毋庸置疑，他对微积分的贡献是开创性的。
二、二项式定理：超越时代的“超能力”
除了微积分，牛顿在其他数学领域也展现出了惊人的天赋。其中一个非常重要的贡献就是对二项式定理的推广。
我们知道， $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$，这些都是指数是正整数时的二项展开式。但牛顿更牛，他发现这个定理还可以推广到任意实数指数，包括负数和分数。
比如，他给出了 $(1+x)^n$ 的展开式，当 $n$ 不是正整数时，这个展开式变成了一个无穷级数：
$(1+x)^n = 1 + nx + frac{n(n1)}{2!}x^2 + frac{n(n1)(n2)}{3!}x^3 + dots$
这项成果在16641665年左右就被他发现了，这个成果有多重要呢？你想想看，我们现在计算无理数的平方根、立方根，或者处理像 $(1+x)^{1/2}$ 这样的表达式，都是依靠这个广义二项式定理。它为处理复杂的代数和分析问题提供了强大的武器，也是后来许多高等数学理论的基石。
举个例子，要计算 $sqrt{1+x}$ 的近似值，我们就可以用二项式定理把它展开成 $1 + frac{1}{2}x + frac{frac{1}{2}(frac{1}{2}1)}{2!}x^2 + dots = 1 + frac{1}{2}x frac{1}{8}x^2 + dots$。当你需要知道 $sqrt{2}$ 或者 $sqrt{3}$ 的值时，就可以通过这个级数来进行近似计算，而且计算的项越多，结果越精确。
这就像是，别人只能算整数的次方，而牛顿直接给你把次方这个概念延伸到了小数、分数甚至负数，而且还给出了一个通用的计算公式。这就像是别人只能用算盘打字，而牛顿发明了计算器。
三、数论与代数：精准的“手术刀”
牛顿在数论和代数方面同样留下了深刻的印记。
在数论方面，他对丢番图方程（也就是不定方程，变量通常是整数的方程）的研究也做出了贡献。比如，他提出了“牛顿莱布尼茨公式”的一个早期形式，用于解决某些二次丢番图方程。虽然这个领域后来有更系统化的发展，但牛顿的思考方式和提出的方法已经展现了他对数学深邃的洞察力。
在代数方面，牛顿的研究非常广泛。他对方程的根有深入的研究，提出了牛顿求根法（也称牛顿迭代法），这是一种非常有效的求解方程近似根的方法。我们现在计算机里很多数值计算的算法，都或多或少地受到了牛顿求根法的启发。
此外，他还研究了多项式的根的性质，例如他提出的牛顿不等式，就是关于多项式系数的代数关系，具有重要的理论意义。他还对方程的求根方法进行了分类和研究，比如他提出了方程的相容性判断法，用来判断方程是否有实数解，或者有多少个实数解。
你可能会觉得，这些听起来有点专业，但试想一下，在那个没有计算机辅助的时代，牛顿能够通过纯粹的逻辑和推理，找出这些关于数字和方程之间关系的精妙规律，并且这些规律到现在依然被广泛应用和研究，这是多么不容易的事情。
四、物理与数学的融合：浑然天成的“双绝技”
牛顿的伟大还在于他将数学和物理完美地结合起来，并且互相促进。他发展出来的数学工具，比如微积分，是为了解决物理问题而生的，比如解释行星运动的轨道。而反过来，牛顿对物理学的深刻理解，又为他发展更精妙的数学方法提供了灵感和方向。
他写的《自然哲学的数学原理》（Principia Mathematica）这本书，可以说是数学和物理学的巅峰之作。在这本书里，牛顿用他发展出的数学工具，严谨地阐述了万有引力定律和三大运动定律，并且用这些定律解释了从地面上的物体运动到天体运行的各种现象。这本书不仅是物理学的奠基之作，也充分展示了数学在描述和理解自然界中的无与伦比的力量。
牛顿在数学上的“牛”劲儿，体现在他敢于提出全新的概念，并且系统化地发展出解决问题的工具。他不仅解决了很多当时存在的数学难题，更重要的是，他为后人开辟了全新的研究方向，构建了强大的分析框架。
可以说，牛顿在数学方面的贡献，就像是为整个科学界打开了一扇通往更深层次理解世界的大门。他不是那种只钻研象牙塔里的理论的人，他更像是那个发现了一把万能钥匙的炼金术士，这把钥匙不仅能打开物质世界的奥秘，更能解锁数学本身的可能性。他的数学成就，和他的物理成就一样，都是历史性的、革命性的。他让数学从一种计算的工具，变成了一种描述宇宙运行规律的语言，这是何等的“牛”！
网友意见
我们可以从一场数学史上极富盛名的挑战赛来比较一下牛顿和同时代其他数学家的水平。
约翰·伯努利在1696年提出最速降线的问题（problem of brachistochrone），向全欧洲数学家征求解答。这个问题最早由伽利略在1630年提出：
“一个质点在只受重力的作用下，从一个给定点A到不在它垂直下方的另一点B，问沿着什么曲线下滑所需时间最短？”
然而伽利略自己给出的答案是错误的：他认为这条曲线是过AB的圆弧。这条曲线也不是连接AB两点的直线，尽管AB间线段最短，但小球滚下来的时间不是最短。
伯努利把此问题发布在Acta Eruditorum上，他还这么说：
“我，约翰·伯努利，想找到世界上最出色的数学家。对聪明人而言，没有什么能比一道诚实而富有挑战性的难题更有吸引力，其可能的解决方案将会成为一个永恒的纪念碑。按照帕斯卡，费马等人设定的例子，请允许我代表整个数学界将这个尤其能在今天考验大家的数学技巧和思维耐力的问题展示在最优秀的数学家面前。如果有人能把答案递交与我，我会将其公开，并授予其应得的奖赏。”
伯努利原定的截止期限是1696年年底，可是他只受到了一份来自他的老师莱布尼兹的解答。莱布尼兹要求伯努利将截止期限延长到来年复活节（大致在3月下旬到4月下旬之间），以便让欧洲数学家们有更多时间来充分解决此道难题。约翰·伯努利亲自把最速降线问题抄了一份，装进信封寄给在英国的牛顿。
1697年1月29日，牛顿正在造币局里忙着改铸新币的工作。下午4点回到家里，他看到了邮箱里伯努利寄来的问题。尽管牛顿非常疲惫，他立即彻夜未眠的投入研究，在凌晨4点时得到问题的解答。他将他的解答寄给好友兼皇家协会主席查尔斯，随后皇家协会以匿名的形式发表在Philosophical Transactions上。
要知道，此时的牛顿已经56岁，工作重点是皇家铸币厂监管。他还在1690年代写了很多处理圣经的文字解释的宗教小册子。即使如此，在忙了一天的本职工作后，牛顿还是用几个小时就解决了许多欧洲数学家都无法解出的难题。约翰·伯努利本人也花了两个星期的时间才完成解答。
1697年复活节的截止期限，伯努利共收到了5份答案，他自己和其老师莱布尼兹，第三份是他的哥哥雅可布·伯努利，洛必达是第四个，最后是一份匿名答案。伯努利在阅读最后一份解答时立即认出它的作者，他惊叹自己
“从利爪上认出了这头狮子（recognizes a lion from his claw mark）”
在给查尔斯的信里（谢评论区@安然 指出），牛顿还写道：我不喜欢在数学上被外国人糊弄（I do not love to be dunned and teased by foreigners about mathematical things）。
莱布尼兹后来还有一次向牛顿发起挑战。那是1715年，莱布尼兹要挑战英国数学家，当然主要是挑战牛顿，要求给出寻找单参数曲线族的正交轨道（orthogonal trajectories of a given family of curves）的一般方法。这在当时是个悬而未决的难题，莱布尼兹本人也仅仅解决了该问题的特殊情形，不像约翰·伯努利在发起最速降线问题的挑战时，他本人已经知道答案。
尽管牛顿当时已经是74岁高龄，他依旧一身疲惫的从造币厂下班回家，然后花一个晚上时间把问题解决，并将解答发表在1716年的Philosophical Transactions上。
容许我再作一些说明。我举这两个挑战的例子，根本不是为了说明最速降线问题和曲线族正交轨道这两个工作对牛顿的数学成就有多么重要。实际上，牛顿求解这两个问题用到的技巧都不是最巧妙的，在求解最速降线上用到变分的思想，在曲线族问题上用了普通的二阶常微分方程。解决这两个挑战，不过是牛顿对莱布尼兹和伯努利等欧洲数学家的质疑进行回应。提这两个挑战，目的就是展示牛顿在数学方面的天赋和求解难题上惊人的智力。
将牛顿和高斯，欧拉放在一起比较数学贡献是毫无意义且不公平的。他们都是天赋禀异的大师，他们的数学工作对后世的启发都是极其深远的（当然欧拉更是一位以高产闻名的数学大师）。但他们根本不是一个时代的数学家。哪怕是同一个时代的莱布尼兹，他在数学上的贡献也是极其广泛，连牛顿早期也称赞他是“最杰出的几何学家”。有人会说没有牛顿，微积分也会被莱布尼兹提出。这当然没有错，但牛顿对微积分的贡献同样是莱布尼兹所无法取代的。他从物理运动和几何方法出发研究微积分，莱布尼兹则更为系统严密的从分析学出发。
牛顿对数学的贡献是极其广泛的。广义二项式定理，牛顿恒等式、牛顿法（逼近函数的零点），立方面曲线分类，有限差分理论，丢番图方程。他用对数趋近了调和级数的部分和（这是欧拉求和公式的一个先驱），并首次有把握地使用幂级数和反转幂级数。莱布尼兹跟牛顿争了大半辈子关于微积分的发明权，直到去世后几年学术界还在争执。但莱布尼兹是这样评价牛顿在数学上的成就：
“在从世界开始到牛顿生活的时代的全部数学中，牛顿的工作超过了一半”。
卓里奇的《数学分析》开篇就把牛顿和莱布尼兹创立微积分这件事称赞为数学史上最伟大的革命。我想这应该能说明牛顿的伟大之处了吧？
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