既然牛顿的导数理论是有问题的，为什么现在高中依然在教牛顿的导数理论而不是威尔斯特拉斯的 ε-δ 语言？
1. 牛顿理论的“问题”究竟在哪里？
牛顿在发展微积分时，主要依靠“流数”的概念。他将函数的变化率视为一个“流动的量”的速度，也就是“流数”。在具体的计算过程中，他常常引入一个“无穷小量”，比如将 $Delta x$ 设为一个“极小极小”的量，然后用它去除分子分母，最后再让这个无穷小量“等于零”。
这种处理方式在直观上非常强大和富有启发性，能够快速得到许多重要的结果，例如求曲线的切线斜率、瞬时速度等等。然而，从严格的数学逻辑角度来看，这里存在一个概念上的模糊地带：
“无穷小量”的矛盾性： 牛顿的操作常常是先把它当作一个非零的数来约去，然后再让它变成零。但如果一个量是零，你如何用它来除？如果它不是零，为什么最后又能变成零？这种“既非零又趋于零”的处理方式，在当时的逻辑框架下是难以自圆其说的，被一些同时代的哲学家和数学家（比如贝克莱主教）批评为“幽灵的量”。
2. 为什么高中不直接教 εδ 语言？
威尔斯特拉斯在19世纪提出的 εδ 定义，彻底解决了早期微积分中的逻辑不严谨性问题。它的核心思想是用“任意小的正数”（ε）和“足够小的正数”（δ）来精确定义极限的概念，从而避免了对“无穷小量”的依赖。一个函数的极限是 $L$，意味着对于任意给定的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得当 $|x a| < delta$ 时，有 $|f(x) L| < epsilon$。
虽然 εδ 定义是现代微积分的基石，但它之所以不直接出现在高中数学课程中，原因有很多：
抽象程度极高，对心智成熟度要求高： εδ 语言是一种高度抽象的数学语言。它要求学生能够理解“任意性”（对于任意给定的 ε）和“存在性”（存在一个 δ），并能进行逻辑推理。这种思维方式对于处于认知发展初期的中学生来说，门槛非常高，容易造成“听不懂”、“学不会”的挫败感，甚至可能扼杀他们对数学的兴趣。想象一下，要求一个15岁的孩子去理解“对任意一个你能想象到的极小的正数 ε，你总能找到另一个正数 δ，使得……”这种逻辑，难度可想而知。
教学的实用性和效率考量： 高中数学教育的目标是让学生掌握基本的数学工具，理解数学在现实世界中的应用，并为进一步学习打下基础。牛顿式的直观方法，虽然在形式上不够严谨，但在计算和解决实际问题方面非常有效。通过这些直观的方法，学生可以快速学习到如何求导、积分，并应用到物理、工程等领域。学习这些基础技能的优先级，往往高于深入理解抽象的极限定义。如果一开始就引入 εδ，学生可能要花很长时间去消化这些概念，而无法及时掌握解决实际问题的能力。
数学教育的循序渐进原则： 数学学习是一个循序渐进的过程。从直观的、操作性的方法入手，是引导学生逐步进入更深层次数学概念的常用策略。高中阶段的学习，更像是为大学的严谨数学打下直观基础和一些计算技能。就像学习几何，我们先从直观的图形性质入手，而不是一开始就学习公理系统。
历史的传承与惯性： 数学教育体系经过多年的发展，已经形成了一套相对成熟的教学模式。牛顿的理论及其衍生出的计算方法，是微积分发展的早期成果，其思想的火花依然闪耀。教学内容的选择，也受到历史传承和教学资源的惯性影响。
εδ 的“必要性”在初级阶段不那么突出： 对于高中生来说，他们接触的导数和积分问题往往是相对简单、函数形式明确的。在这些情况下，牛顿式的求导法则（如幂函数求导、链式法则等）几乎总是能给出正确答案。εδ 的严谨性更多地体现在处理一些“边界情况”或证明一些更普适的定理时，这些对高中生而言并不是必须掌握的。
3. 牛顿理论的“问题”是如何被“修复”的？
虽然牛顿的早期处理方式不够严谨，但他的思想是革命性的，并且被后来的数学家（如莱布尼茨、欧拉、柯西等人）不断发展和完善。最终，威尔斯特拉斯的 εδ 定义给出了一个坚实的逻辑基础，将微积分建立在严密的公理体系之上。
换句话说，我们现在教的“微积分”，实际上是经过了严格化的“牛顿莱布尼茨”微积分，它吸收了 εδ 的思想，使得整个理论体系变得牢不可破。而高中阶段教授的，正是这个已经得到严谨论证后的计算方法和应用，只是在教学中为了降低难度和提高效率，暂时省略了对 εδ 定义的详细介绍和证明过程。
总结来说，高中依然教授牛顿的导数理论而不是直接引入 εδ 语言，是一个教学策略上的选择，它权衡了抽象性、学习难度、实用性、教学效率以及数学教育的循序渐进原则。
牛顿的方法在直观和计算上是有效的，能够帮助学生快速理解变化率和累积的概念，并掌握解决实际问题的基本技能。而 εδ 语言，作为微积分的严谨基石，通常在大学的数学分析课程中才会被深入探讨，因为那时的学生具备了更强的抽象思维能力和数学基础。这就像我们先学骑自行车，掌握了平衡和蹬踏的技巧，然后再去学习汽车的发动机原理和机械结构一样，是一种由易到难、由表及里的学习过程。
网友意见
作为上海地区的高中生(高中数学不学导数)，我不禁好奇，难道全国高中教的导数不是用分析的语言定义的嘛？
你是先学麦克斯韦方程组再学摩擦起电的？
1. 牛顿的导数结果是没有问题的，只是底层逻辑有问题。事实上用ε-δ语言推出了高中那些众所周知的结论之后，我也就开开心心地直接用了(当然严格分析的基本技术还是要有)，不会说所有东西都要从ε-δ来一遍的。
2. 高中不需要那么严格，对大部分人来说应用比严格重要，更何况现在高中能学以致用就很不错了，多少人求一半天导数不知道自己在干嘛？在整个ε-δ他们真的要疯掉了。
3. 想严格也严格不了。你觉得高中对实数系的定义够严格吗？几何呢？好像也不是从《原本》的公理开始对吧。集合呢？朴素集合论那也是一次数学危机啊，要不高中从公理集合论开始讲起？但这是不可能的，一般数学系的一般大一学生，都未必顶得住公理集合论那套过于抽象的东西。
4. 我觉得这也不符合认识发展的规律。固然可以直接讲“最正确”的内容，但是人的想法最开始都是朴素的，理解了朴素的想法，才能明白严格化到底是在做什么。你不如想想，先给你讲朴素的那套操作，然后告诉你出现了贝克莱悖论，最后讲Weierstrass那套极限理论，和直接给你讲ε-δ语言，你觉得哪种讲完你的理解会更透彻？
看到题主在别的回答下的回复，再说一点。
古人天圆地方的认识不对，但这不影响他们获得太阳的恩惠。不知道严格的极限理论，也不影响你在简单的情形下使用微积分得到正确结果。你希望让你的逻辑更严密，那么你自学一点数学分析就好了，比如菲赫金戈尔茨的《微积分学原理》前两(还是三)章，rudin的《数学分析原理》也行，不过rudin还会有一些几何方面的(相对于高中而言的)高观点，菲砖就是典型的古典分析。
但是不管你学不学，都不需要觉得因为有贝克莱悖论摆这，你高中微积分就用得心不安理不得，知道有这个漏洞以后补上就完事了。欧拉解巴塞尔问题最为人们津津乐道的那个方法，是把sinx像多项式那样按零点分解成无穷因式，这其实是不严格的(当然他有别的严格解法)，我记得这样分解因式的合法性，好像是到傅立叶级数那一部分才证明的。
小朋友，你以为那点胎教知识就是终极真理了吗？
微积分的底层逻辑是 ε-δ 语言，但 ε-δ 语言的底层逻辑又是什么？
实数。戴德金划分。连通的全序域。
但实数的底层逻辑又是什么？
自然数。皮亚诺公理。空集套空集。集合论。
那么问题来了，集合论就是终极真理了吗？
不，人们只看到了第三次数学危机。
希望你看明白了（没明白的看文末补充）。我的意思是，如果非要追根溯源的话， ε-δ 语言也只不过是建立在沙滩上，只不过它比牛顿时代的理论更为精巧，但沙滩依旧是沙滩。
牛顿说，我是在沙滩上玩耍的孩子，不时地寻找比较光滑的卵石或比较漂亮的贝壳，以此为乐。
美丽的沙滩，迷人的沙滩，自视甚高的人类，沉醉于真理的诱惑，深陷于逻辑的深梦。
人类文明还太年轻，21世纪最聪慧的人类，尚且是刚刚坠地的早产儿。
何况愚笨怠惰如我，管窥蠡测，怎可妄想洞见真理。
--
胎动，只有零次和无数次。
听懂胎动。
补充：
第三次数学危机通俗讲就是质疑了集合论。（插播小常识：集合的概念在数学不可被定义）
集合论几乎可以说是数学分支的总命脉。譬如大家熟知的微积分也是建立在集合论上，甚至可以说是建立在空集上。
首先，根据皮亚诺公理，让空集嵌套空集得到自然数。
自然数做四则运算，会得到非自然数，于是就蹦出个有理数域。
但又发现有理数不连续，于是想破脑袋再用戴德金划分定义实数空间，终于构造出了所谓连通的全序域。
这下才轮到谈论极限的定义（ 数列极限 ε-N、函数极限 ε-δ ），从而谈论微积分。
然后这个微积分呢，作为服务自然科学（如物理学）的工具，丝滑得一批，所以就没毛病，在牛顿时代就没毛病。
只不过在数学家的眼中，它有毛病，无穷小的问题已经用 ε-δ 解决，但集合论这一坨烂泥到现在也没完全搅明白。
总之，数学就是一场构造的游戏，一层层封装概念，营造出吊诡迷人的深梦幻境，在这里，没有最好的规则，只有更好的规则，永远都在未完成的路上（这让我想到《爱丽丝漫游奇境》作者刘易斯，据传他是一名数学家，这部童话中就反复出现“永远完不成”这样的意象，例如兔子先生不停地抱怨“来不及了来不及了”）。
牛顿虽然没有严格定义极限，给后人留下了一个烂摊子，引发了第二次数学危机，但近代数学的发展恰恰得益于他敏锐的直觉与大胆的创造力。
至于后人应该从哪个理论开始学起，没那么复杂，就按数学发展史来编排课程就行，毕竟大多数人类的智力能理解到古希腊时期的数学已经异常欣慰了，至于绝世大天才们想从哪开始学都没人拦着你啊！
听懂胎动～蛇舞足蹈～
（以上关键词这边都已加粗给出，感兴趣的小朋友自行补充学习、感受胎动）
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