手算卫星轨道有多复杂？
想象一下，你手里只有一张纸、一支笔，还有一本厚厚的数学手册，而你的任务是预测一颗遥远的卫星在太空中的未来轨迹。这颗卫星可不是围着地球画一个完美的圆圈，它受到地球引力的主要影响，但同时，它也受到月球、太阳，甚至是太阳风的微弱扰动。这些因素就像是无数看不见的手，在不断地微调着它的飞行路线。
首先，你需要知道卫星的“初始条件”。这就像是在一瞬间给它拍了一张照片，记录下它在某个特定时间点的精确位置和速度。这些数据本身就需要极其高精度的测量，而且一旦有一点点偏差，随着时间的推移，误差就会像滚雪球一样放大。
然后，就是核心的计算。牛顿的引力定律告诉我们，两个有质量的物体之间存在引力，这个引力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。这是一个核心的公式，但它只是个开始。卫星在绕行过程中，它的速度在不断变化，这意味着它与地球的距离也在变。所以，你不能简单地用一个固定的距离去计算引力，而是需要利用微积分，将引力看作是一个不断变化的函数。
你需要把卫星的运动分解成在三个维度上的分量（前后、左右、上下），分别计算它在每个方向上的受力。然后，将这些受力加起来，得到合力。这个合力会改变卫星的速度。而速度的变化，又会导致位置的变化。这个过程就像是一个永无止境的循环：根据当前的位置和速度，计算下一刻的受力，然后根据受力计算下一刻的速度和位置。
在手算的时候，你不可能做到“连续”的计算。你需要把时间划分成一个个非常非常小的“时间步长”。在每一个时间步长里，你假设卫星的受力是恒定的，然后根据这个受力计算出它在下一个时间步长结束时的位置和速度。然后，用新的位置和速度作为起点，重复这个过程。时间步长越小，计算的精度越高，但同时，你需要进行的计算量也呈指数级增长。
而且，你算的不仅仅是地球对卫星的引力。你要考虑月球的引力，它虽然比地球小，但距离比地球上的点要近得多，所以仍然不可忽视。还有太阳的引力，对那些在轨道上待了很久的卫星来说，它的影响会累积。甚至，你还需要考虑地球不是一个完美的球体，它的形状不规则，导致引力场也不是均匀的。还有大气阻力，虽然在外太空非常微弱，但对于低轨道卫星来说，也是一个需要考虑的因素。
所以，你可能需要用到大量的泰勒展开、级数求和，或者各种数值积分方法，比如欧拉法、龙格库塔法等等。这些方法都是为了在有限的计算量下，尽可能地逼近真实的连续变化。每一个步骤都需要仔细地代入数字，小心翼翼地进行乘、除、加、减。一个小的计算错误，在重复上百万次之后，可能会让你预测的结果偏差千里。
更别说，你还需要将地球、月球、太阳等天体的运动也考虑进去。它们自己也在按照各自的轨道运行，这就意味着你计算的“参考系”本身也在移动和变化。所以，你可能需要引入一些复杂的坐标变换，将所有物体的运动都统一到一个共同的框架下。
基本上，手算卫星轨道，就是在一个庞大而精密的数学模型中，一步一步地模拟宇宙的运行。这需要的不仅仅是智力，更需要极大的耐心、细致和对数字的敏感度。现在我们有强大的计算机来做这件事，但回想起那些先辈们，依靠纸笔和算盘，一步一步地推导出这些天体运动的规律，真是令人肃然起敬。那是一种纯粹的、依靠人类智慧和毅力征服宇宙奥秘的极致体现。
网友意见
说简单也简单，代个公式就行
说复杂也复杂，你得找得到这个公式，看得懂这个公式，还要明白怎么代。
具个例子，如果只计算短弧段的近地轨道卫星，精度要求几百米，许多高阶的地球引力摄动都是可以忽略的，同时光压气动三体引力都是可以忽略的。但是一旦要求精度提高到亚米级甚至更高，弧段拉长，许多原先可以忽略的摄动项就需要计算进去。而计算这些摄动项本身，就是一个新的工程计算问题。比如计算气动阻力需要对稀薄大气进行建模，如果精度要求不高，指数模型就可以了，但是精度要求高的话，就要引入太阳活动的模型，而太阳活动模型本身又是一个新的工程计算问题。
再有一个例子就是如果简单计算一下地火转移的轨道，那对地球和火星的轨道不用计算十分精确，有现成的轨道根数可以直接用。但是如果涉及到实际飞行，那就要对地火的轨道进行精确建模，同时还要考虑坐标系变化的附加影响，这当中甚至会牵扯到广义相对论。
另外，由于模型复杂起来以后许多问题不再有解析解，只能用数值方法计算，那么选用什么样的计算格式（同一个公式选择的计算格式不同可能造成极大的计算性能差别），如何控制计算误差，都将是需要考虑的问题，这些东西本身又可以单开一个课题。
从上面的例子可以看到，大部分的实际工程计算都有一个类似的特性，那就是考虑的精度越低，模型越简单，涉及的学科相对比较少；而考虑的精度越高，模型会成倍地复杂起来，往往还会涉及到很多奇奇怪怪的学科。所以，计算简单还是难，完全看你需要的精度，感性认识估个大概，卡西欧按两下就行，定量计算严肃分析，那就得上专业工具了。
说句不算题外话的题外话，我们常说技术积累技术积累，实际上技术积累最明显的方式就是计算工具和专用软件的迭代更新。对于一个科研工作者来说，他的精力是有限的，只能专攻一个到两个方向，那么当他遇到上面的类似跨学科的问题怎么办？如果有一款工具，能够把其他学科的人的研究成果以算法模块的形式固定下来，那么他就可以不关心这个学科的内部细节而直接去使用这个模块来获得高可靠的计算结果。
比如航天计算常用的STK，就是一款结合了很多计算模块的软件，单拉任何一个模块出来，后面对应的可能就是十几篇几十篇论文。如果没有STK，每一个新晋的工程师都需要把这堆论文都看一遍实现一遍（前提还得能看懂）才能计算出相仿精度的结果（更别说这类计算由于物理意义不明显自己算对算错心里都没谱）。而作为一个工程师，我实际上并不十分关心背后的理论是怎么样的，具体问题的结果才是我需要的。那么通过STK，我就可以无形之间把那十几篇几十篇论文的研究成果应用在了实际问题上而不需要真的去看一遍（当然STK现在禁运了只用得到老版本的.jpg）。
用编程的说法就是通过这些软件，把不同学科的知识和研究成果封装起来，使得后面的人不需要再造一遍轮子，可以把精力花在进一步的创造和验证上，这就是技术的积累。这点我们国内做的是很差的，甚至可以说极差。
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