因子分析的计算过程能否手算得出？
我可以为您详细介绍其计算过程，并解释为什么手动计算是极其不切实际的。我将尽量以一种易于理解的方式来阐述，避免使用过于技术性的术语，并融入一些实际的思考。
因子分析的核心思想
在开始计算之前，我们先回顾一下因子分析的核心思想。我们假设我们观察到的多个变量（比如学生的数学成绩、英语成绩、物理成绩）实际上是由一些更深层次、无法直接观测到的“潜在因子”所影响的。因子分析的目标就是找出这些潜在因子，以及每个变量与这些因子之间的关系强度。
想象一下，你有很多关于一个人品行的描述性词语（比如诚实、守信、慷慨、乐于助人等），你会发现其中一些词语总是倾向于同时出现（比如诚实和守信经常一起被提及）。因子分析就像是试图找到一个“正直”这个潜在的品质，来解释为什么“诚实”和“守信”这两个词会一起出现。
手动计算因子分析的步骤（理论上）
因子分析的计算过程主要围绕着相关矩阵展开，因为相关性是发现潜在因子之间关系的基础。
第一步：计算变量之间的相关系数
这是最基础的一步。你需要计算所有观察变量两两之间的皮尔逊相关系数。假设我们有 $p$ 个变量，$x_1, x_2, dots, x_p$。
相关系数公式：
$r_{ij} = frac{sum_{k=1}^{n} (x_{ik} ar{x}_i)(x_{jk} ar{x}_j)}{sqrt{sum_{k=1}^{n} (x_{ik} ar{x}_i)^2 sum_{k=1}^{n} (x_{jk} ar{x}_j)^2}}$
其中，$n$ 是样本量，$x_{ik}$ 是第 $k$ 个样本在第 $i$ 个变量上的值，$ar{x}_i$ 是第 $i$ 个变量的均值。
手动计算的挑战：
如果你有 $p$ 个变量，你需要计算 $p(p1)/2$ 个相关系数。对于一个包含20个变量的调查问卷，你需要计算 $20 imes 19 / 2 = 190$ 个相关系数。这还不包括计算每个变量的均值和标准差。即使是处理几十个变量，手算这些相关系数也可能需要数小时甚至数天的时间，并且极易出错。想想看，你需要逐个计算每对变量的差值、平方差、乘积，然后进行累加。
第二步：构建相关矩阵（R矩阵）
将计算出的所有相关系数排列成一个矩阵。这个矩阵是对称的，对角线上的值为1（变量与自身的相关性）。
$R = egin{pmatrix}
1 & r_{12} & r_{13} & cdots & r_{1p} \
r_{21} & 1 & r_{23} & cdots & r_{2p} \
r_{31} & r_{32} & 1 & cdots & r_{3p} \
vdots & vdots & vdots & ddots & vdots \
r_{p1} & r_{p2} & r_{p3} & cdots & 1
end{pmatrix}$
手动计算的挑战：
如上所述，构建这个矩阵本身就是一项繁琐的任务。
第三步：确定因子数量（m）
这是因子分析中一个比较主观但又至关重要的步骤。通常有几种方法来指导因子数量的确定，其中一些也需要计算：
Kaiser准则（特征值大于1）： 计算相关矩阵的特征值。只有特征值大于1的因子才被保留。
碎石图（Scree Plot）： 将特征值由大到小排列，绘制成图。观察图中的“拐点”来确定因子数量。
主成分分析（PCA）的贡献率： 先进行主成分分析，看前几个主成分的累计方差贡献率是否达到某个阈值（如70%80%）。
手动计算的挑战：
计算特征值（Eigenvalues）是手动计算中最困难的部分。 对于一个 $p imes p$ 的矩阵 $R$，其特征值 $lambda$ 是满足 $|R lambda I| = 0$ 的解，其中 $I$ 是单位矩阵。这个方程展开后是一个关于 $lambda$ 的 $p$ 次多项式方程，称为特征方程。
手动求解一个高次多项式方程的根几乎是不可能的，尤其当 $p$ 稍大时。 即使是求解一个三阶或四阶方程也需要复杂的公式和大量的运算。对于一个20x20的矩阵，你需要在纸上写下展开的特征方程，那将是一个非常非常长的代数表达式，然后尝试求解它的根。这远远超出了普通人能够手工完成的范畴。
第四步：计算因子载荷矩阵（A矩阵）
一旦确定了因子数量 $m$，因子分析的目标就是找到一个 $p imes m$ 的矩阵 $A$，其中元素 $a_{ij}$ 表示第 $i$ 个变量在第 $j$ 个因子上的载荷强度。这个载荷表示了变量与因子之间的相关性。
最常用的因子提取方法是主轴因子法（Principal Axis Factoring）或最大似然法（Maximum Likelihood）等。以主轴因子法为例，其核心思想是通过求解相关矩阵的特征向量来获得因子载荷。
基本原理（简化）： 如果我们能够找到相关矩阵 $R$ 的特征值 $lambda_j$ 和对应的特征向量 $v_j$（标准化后），那么因子载荷矩阵 $A$ 的每一列可以由 $sqrt{lambda_j} v_j$ 的一部分构成。
具体来说，如果设 $R = V Lambda V^T$，其中 $V$ 是由特征向量组成的矩阵，$Lambda$ 是由特征值组成的对角矩阵。那么因子载荷矩阵 $A$ 可以近似为 $A = V Lambda^{1/2}$，其中 $Lambda^{1/2}$ 是 $Lambda$ 的平方根（对角线上元素的平方根）。
手动计算的挑战：
求解特征向量： 在找到特征值之后，还需要求解对应的特征向量。对于每个特征值 $lambda_j$，需要解方程 $(R lambda_j I)v_j = 0$ 来求得特征向量 $v_j$。这同样涉及到解一个线性方程组，虽然相比求解特征值要容易一些，但对于手算来说依然复杂且耗时，尤其是在矩阵维度较高的情况下。
矩阵运算： 即使你找到了特征值和特征向量，还需要进行矩阵的平方根运算和矩阵乘法，这些都是非常繁琐的手工计算过程。
第五步：因子旋转（Factor Rotation）
通常情况下，计算得到的因子载荷矩阵并不一定具有明确的解释性。因子旋转的目的是在保持因子方差贡献率不变的情况下，改变因子载荷矩阵，使得每个变量尽可能只与一个因子有较高的载荷，而与其他因子载荷较低，从而更容易解释因子的含义。常见的旋转方法有：
正交旋转（Orthogonal Rotation）： 如方差最大化旋转（Varimax）、Equamax。这种旋转保持因子之间的独立性。
斜交旋转（Oblique Rotation）： 如Oblimin、Promax。这种旋转允许因子之间存在相关性。
手动计算的挑战：
因子旋转的计算涉及三角函数和矩阵乘法。例如，Varimax旋转会计算一个旋转矩阵（通常用正交矩阵表示），然后用原始因子载荷矩阵乘以这个旋转矩阵。计算三角函数的具体数值，然后进行矩阵乘法，这些都是需要大量精确计算的。
总结为什么手动计算因子分析不现实：
1. 计算量巨大： 从计算相关系数到求解特征值和特征向量，再到旋转，每一步都涉及到大量的数值计算和矩阵运算。变量越多，计算量呈指数级增长。
2. 精度要求极高： 手工计算容易引入误差，而因子分析的计算对精度非常敏感。微小的误差可能导致最终结果的显著偏差，使得解释失去意义。
3. 缺乏工具支持： 历史上，在没有计算机的时代，数学家们确实会尝试手动计算，但通常只针对非常小的样本和变量数量，并且会依赖大量的表格和简化方法。现代的统计分析软件（如SPSS, R, Python的scikitlearn库）可以瞬间完成这些计算，这是它们存在的价值。
4. 解释的重要性大于计算本身： 因子分析的最终目的是解释潜在因子。即使你能手动算出来，你可能已经耗尽了精力，而忽略了对结果的深入理解和解释。
我可以举个例子来说明某个步骤的手动难度，比如计算一个 3x3 矩阵的特征值，这已经相当复杂了。
假设我们有一个 3x3 的相关矩阵 $R$:
$R = egin{pmatrix}
1 & 0.7 & 0.5 \
0.7 & 1 & 0.6 \
0.5 & 0.6 & 1
end{pmatrix}$
我们要找到特征值 $lambda$，即解 $|R lambda I| = 0$:
$| egin{pmatrix}
1lambda & 0.7 & 0.5 \
0.7 & 1lambda & 0.6 \
0.5 & 0.6 & 1lambda
end{pmatrix} | = 0$
展开这个行列式（3x3行列式展开公式是 $a(eifh) b(difg) + c(dheg)$），你会得到一个关于 $lambda$ 的三次多项式方程：
$(1lambda)[(1lambda)(1lambda) 0.6 imes 0.6] 0.7[0.7(1lambda) 0.5 imes 0.6] + 0.5[0.7 imes 0.6 0.5(1lambda)] = 0$
展开和化简这个式子：
$(1lambda)[(12lambda+lambda^2) 0.36] 0.7[0.70.7lambda 0.3] + 0.5[0.42 0.5 + 0.5lambda] = 0$
$(1lambda)[lambda^2 2lambda + 0.64] 0.7[0.4 0.7lambda] + 0.5[0.08 + 0.5lambda] = 0$
$lambda^2 2lambda + 0.64 lambda^3 + 2lambda^2 0.64lambda 0.28 + 0.49lambda + 0.02lambda 0.04 = 0$
$lambda^3 + 3lambda^2 + (2 0.64 + 0.49 + 0.02)lambda + (0.64 0.28 0.04) = 0$
$lambda^3 + 3lambda^2 2.13lambda + 0.32 = 0$
$lambda^3 3lambda^2 + 2.13lambda 0.32 = 0$
解一个三次多项式方程已经很困难了，需要使用卡尔达诺公式或其他数值方法。对于一个20x20的矩阵，特征方程将是一个20次多项式！这几乎是不可能用纸和笔完成的。
因此，虽然理论上因子分析的计算步骤是存在的，但实际操作中，我们依赖于统计软件来完成这些复杂的计算，以便我们能将精力集中在对结果的理解和解释上。希望这个详细的解释能够解答你的疑问！
网友意见
这个问题，在知乎上挂了好多天，回答的人也很少（几乎没有╮(╯_╰)╭），大概是因为我刚开始用知乎，没什么人缘，只是根据系统推荐邀请了几个人回答，所以可能没什么人看到我的问题吧。所以，感谢一楼回答的那位。
后来，我自己又查找各种资料，终于找到了因子分析的手算方法了。
如下，因子分析的数学模型
手算步骤——
1.标准化原始数据X，具体方法可以在网上“轻易”找到
2.计算X的相关系数矩阵R（手算比较繁琐，但SPSS很容易导出）
3.也是我当时最困惑的一点，如何计算出 因子载荷阵A（没有求出A，那么一切都无法继续啊啊啊，所以A应该怎么求啊啊啊，如下）
（1）求R的特征值λ1≥λ2≥λ3≥…λp≥0及对应的单位特征向量μ1,μ2,μ3,…μp
（2）计算因子载荷a(ij)，得到因子载荷阵A
4.根据特征根λ大小确定公因子F个数，选出公因子（选λ>1的为公因子）
5.计算共同度和方差贡献率
Xi的变量共同度为因子载荷矩阵A中第i行元素的平方和；因子变量Fj的方差贡献为因子载荷矩阵A中第j列各元素的平方和。
6.因子旋转，得出旋转后的成分矩阵（这个手算太可怕，不知道要用正交阵去乘因子载荷阵多少次，所以一般用SPSS导出吧。。。）
7.计算因子得分
用SPSS导出的结果中，【成分矩阵】就是初始的 因子载荷阵A！！！
具体步骤和分析道理，可见百度文库一篇文
链接：
因子分析的基本思想、基本步骤、数学模型及求解自己的问题自己回答o(╯□╰)o，总之就酱啦~希望给后来人一个小借鉴吧。。。
谢邀，对于此问题也不甚了解，只能粗略回答一下。
1.因子分析的基本步骤
（1）确认待分析的原始变量是否适合作因子分析；
（2）构造因子变量；
（3）利用旋转方法使因子变量具有可解释性；
（4）计算每个样本的因子变量得分。
2.因子分析的数学模型
3.因素分析的主要方式
围绕浓缩原有变量提取因子的核心目标，因子分析主要涉及以下五大基本步骤：
1、因子分析的前提条件
由于因子分析的主要任务之一是对原有变量进行浓缩，即将原有变量中的信息重叠部分提取和综合成因子，进而最终实现减少变量个数的目的。因此它要求原有变量之间应存在较强的相关关系。否则，如果原有变量相互独立，相关程度很低，不存在信息重叠，它们不可能有共同因子，那么也就无法将其综合和浓缩，也就无需进行因子分析。本步骤正是希望通过各种方法分析原有变量是否存在相关关系，是否适合进行因子分析。
SPSS提供了四个统计量可帮助判断观测数据是否适合作因子分析：
（1）计算相关系数矩阵Correlation Matrix
在进行提取因子等分析步骤之前，应对相关矩阵进行检验，如果相关矩阵中的大部分相关系数小于0.3，则不适合作因子分析；当原始变量个数较多时，所输出的相关系数矩阵特别大，观察起来不是很方便，所以一般不会采用此方法或即使采用了此方法，也不方便在结果汇报中给出原始分析报表。
（2）计算反映象相关矩阵Anti-image correlation matrix
反映象矩阵重要包括负的协方差和负的偏相关系数。偏相关系数是在控制了其他变量对两变量影响的条件下计算出来的净相关系数。如果原有变量之间确实存在较强的相互重叠以及传递影响，也就是说，如果原有变量中确实能够提取出公共因子，那么在控制了这些影响后的偏相关系数必然很小。
反映象相关矩阵的对角线上的元素为某变量的MSA（Measure of Sample Adequacy）统计量，其数学定义为：
观察反映象相关矩阵，如果反映象相关矩阵中除主对角元素外，其他大多数元素的绝对值均小，对角线上元素的值越接近1，则说明这些变量的相关性较强，适合进行因子分析。与（1）中最后所述理由相同，一般少采用此方法。
（3）巴特利特球度检验Bartlett test of sphericity
Bartlett球体检验的目的是检验相关矩阵是否是单位矩阵（identity matrix），如果是单位矩阵，则认为因子模型不合适。Bartlett球体检验的虚无假设为相关矩阵是单位阵，如果不能拒绝该假设的话，就表明数据不适合用于因子分析。一般说来，显著水平值越小（<0.05）表明原始变量之间越可能存在有意义的关系，如果显著性水平很大（如0.10以上）可能表明数据不适宜于因子分析。
（4）KMO（Kaiser-Meyer-Oklin Measure of Smapling Adequacy）
KMO是Kaiser-Meyer-Olkin的取样适当性量数。KMO测度的值越高（接近1.0时），表明变量间的共同因子越多，研究数据适合用因子分析。通常按以下标准解释该指标值的大小：KMO值达到0.9以上为非常好，0.8～0.9为好，0.7～0.8为一般，0.6～0.7为差，0.5～0.6为很差。如果KMO测度的值低于0.5时，表明样本偏小，需要扩大样本。
综上所述，经常采用的方法为巴特利特球度检验Bartlett test of sphericity和KMO（Kaiser-Meyer-Oklin Measure of Smapling Adequacy）。
2、抽取共同因子，确定因子的数目和求因子解的方法
将原有变量综合成少数几个因子是因子分析的核心内容。本步骤正是研究如何在样本数据的基础上提取和综合因子。决定因素抽取的方法，有“主成份分析法”（principal components analysis）、主轴法、一般化最小平方法、未加权最小平方法、最大概似法、Alpha因素抽取法与映象因素抽取法等。使用者最常使用的是主成份分析法与主轴法，其中，又以主成份分析法使用最为普遍，在SPSS使用手册中，也建议研究者多采用主成份分析法来估计因素负荷量。所谓主成份分析法，就是以较少的成份解释原始变量方差的较大部分。进行主成份分析时，先要将每个变量的数值转换成标准值。主成份分析就是用多个变量组成一个多维空间，然后在空间内投射直线以解释最大的方差，所得的直线就是共同因子，该直线最能代表各个变量的性质，而在此直线上的数值所构成的一个变量就是第一个共同因子，或称第一因子。但是在空间内还有剩余的方差，所以需要投射第二条直线来解释方差。这时，还要依据第二条准则，即投射的第二条直线与第一条直线成直交关系，意为代表不同的方面。第二条直线上的数值所构成的一个变量，称为第二因子。依据该原理可以求出第三、第四或更多的因子。原则上，因子的数目与原始变量的数目相同，但抽取了主要的因子之后，如果剩余的方差很小，就可以放弃其余的因子，以达到简化数据的目的。
因子数目的确定没有精确的定量方法，但常用的方法是借助两个准则来确定因子的个数。一是特征值（eigenvalue）准则，二是碎石图检验（scree test）准则。特征值准则就是选取特征值大于或等于1的主成份作为初始因子，而放弃特征值小于1的主成份。因为每个变量的方差为1，该准则认为每个保留下来的因子至少应该能解释一个变量的方差，否则达不到精简数据的目的。碎石检验准则是根据因子被提取的顺序绘出特征值随因子个数变化的散点图，根据图的形状来判断因子的个数。散点曲线的特点是由高到低，先陡后平，最后几乎成一条直线。曲线开始变平的前一个点被认为是提取的最大因子数。后面的散点类似于山脚下的碎石，可舍弃而不会丢失很多信息。
3、使因子更具有命名可解释性
通常最初因素抽取后，对因素无法作有效的解释。这时往往需要进行因子旋转（rotation），通过坐标变换使因子解的意义更容易解释。转轴的目的在于改变题项在各因素负荷量的大小，转轴时根据题项与因素结构关系的密切程度，调整各因素负荷量的大小，转轴后，使得变量在每个因素的负荷量不是变大（接近1）就是变得更小（接近0），而非转轴前在每个因素的负荷量大小均差不多，这就使对共同因子的命名和解释变量变得更容易。转轴后，每个共同因素的特征值会改变，但每个变量的共同性不会改变。常用的转轴方法，有最大变异法（Varimax）、四次方最大值法（Quartimax）、相等最大值法（Equamax）、直接斜交转轴法（Direct Oblimin）、Promax转轴法，其中前三者属于“直交转轴法”（orthogonal rotations），在直交转轴法中，因素（成份）与因素（成份）间没有相关，亦即其相关为0，因素轴间夹角为90°；而后二者（直接斜交转轴、Promax转轴法）属“斜交转轴”（oblique rotations），采用斜交转轴法，表示因素与因素间彼此有某种程度的相关，亦即因素轴间的夹角不是90°。
直交转轴法的优点是因素间提供的信息不会重叠，观察体在某一个因素的分数与在其它因素的分数，彼此独立不相关；而其缺点是研究者迫使因素间不相关，但在实际情境中，它们彼此有相关的可能性很高。因而直交转轴方法偏向较多人为操控方式，不需要正确响应现实世界中自然发生的事件（Bryman&Cramer,1997）。
所谓直交旋转法（orthogonal rotations），就是要求各个因子在旋转时都要保持直角关系，即不相关。在直交旋转时，每个变量的共同性（commonality）是不变的。不同的直交旋转方法有不同的作用。在直交旋转法中，常用于社会科学研究的方式是Varimax旋转法。该方法是在旋转时尽量弄清楚在每一个因子上各个变量的因子负荷情况，也即让因子矩阵中每一列的的值尽可能变成1或0，该旋转法的作用是突出每个因子的性质，可以更清楚哪些变量是属于它的。由此可见，Varimax旋转法可以帮助找出多个因子，以澄清概念的内容。Quartimax旋转法可以则可以尽量弄清楚每个变量在各个因子上的负荷情况，即让每个变量在某个因子上的负荷尽可能等于1，而在其它因子上则尽可能等于0。该方法可以增强第一因子的解释力，而使其它因子的效力减弱。可见Quartimax旋转法适合于找出一个最强效力的因子。Equamax旋转法则是一种折中的做法，即尽可能简化因子，也可弄清楚负荷情况。其缺点是可能两方面都未照顾好。
斜交旋转（oblique rotarion）方法是要求在旋转时各个因子之间呈斜交的关系，表示允许该因子与因子之间有某种程度上的相关。斜交旋转中，因子之间的夹可以是任意的，所以用斜交因子描述变量可以使因子结构更为简洁。选择直接斜交旋转时，必须指定Delta值。该值的取值范围在0～－1之间，0值产生最高相关因子，大的负数产生旋转的结果与直交接近。Promax斜交旋转方法也允许因子彼此相关，它比直接斜交旋转更快，因此适用于大数据集的因子分析。
综上所述，不同的因子旋转方式各有其特点。因此，究竟选择何种方式进行因子旋转取决于研究问题的需要。如果因子分析的目的只是进行数据简化，而因子的确切含义是什么并不重要，就应该选择直交旋转。如果因子分析的目的是要得到理论上有意义的因子，应该选择斜交因子。事实上，研究中很少有完全不相关的变量，所以，从理论上看斜交旋转优于直交旋转。但是斜交旋转中因子之间的斜交程度受研究者定义的参数的影响，而且斜交选装中所允许的因子之间的相关程度是很小的，因为没有人会接受两个高度相关的共同因子。如果两个因子确实高度相关，大多数研究者会选取更少的因子重新进行分析。因此，斜交旋转的优越性大打折扣。在实际研究中，直交旋转（尤其是Varimax旋转法）得到更广泛的运用。
4、决定因素与命名
转轴后，要决定因素数目，选取较少因素层面，获得较大的解释量。在因素命名与结果解释上，必要时可将因素计算后之分数存储，作为其它程序分析之输入变量。
5、计算各样本的因子得分
因子分析的最终目标是减少变量个数，以便在进一步的分析中用较少的因子代替原有变量参与数据建模。本步骤正是通过各种方法计算各样本在各因子上的得分，为进一步的分析奠定基础。
地质生一枚，Geology isn't a real science!啊……
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